(65幾何計(jì)算與證明

模塊一：幾何計(jì)算

考點(diǎn)分析

年份200820092010201120122013201420152016

題型解答21解答21解答21解答21解答21解答22解答22解答22解答21

分值101010101010101010

梯形背

銳角三

圓背景景下求圓背景圓背景銳角三解直角相似三

角比、解直角

內(nèi)容下求線余弦值下求三下求弦角比的三角形角形的

解直角三角形

段及線段角比長應(yīng)用的應(yīng)用性質(zhì)

三角形

長度

考點(diǎn)一：與銳角三角比相關(guān)的計(jì)算：

（1）熟練的掌握三個(gè)特殊角的四個(gè)特殊值；

（2）將銳角放在直角三角形中，通過作垂線構(gòu)造.

【例1】如圖，在梯形ABCO中,AD//BC,AC±AB,AD=CD,cosB=—,BC=26.

13

求（1）cos/D4c的值；（2）線段4。的長.

17

【答案】⑴—;（2）13.

13

AQ5

【解析】解：（1）在的ZVIBC中,ZBAC=90,cosB=——.

BC13

VBC=26,???AB=10.

：.AC=VBC2-AB2=V262-102=24.

,:ADMBC,：.ZDAC=ZACB,

4r12

cos/DAC二cos/ACB==—；

BC13

(2)過點(diǎn)。作DE_LAC,垂足為E.

?；AD=DC,DEVAC,

：.AE=EC=-AC=\2.

2

Ap12

在RtAADE中，\'cosZDAE=——=—

AD13

：.AD=\3.

【總結(jié)】本題是考察銳角三角比常用的形式，主要是構(gòu)造直角三角形.

【鞏固】如圖，在梯形中，AD//BC,AB=DC^S,ZB=60°,8c=12,聯(lián)結(jié)AC.

(1)求tanNACS的值；A0

(2)若M、N分別是45、0c的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN,求線段MN的長.\

【答案】(1)3；(2)8/\\

【解析】解：(1)過點(diǎn)A作垂足為E.B

在RtAABE中，

?.?ZB=60°,AB=S,

：.BE=ABcosB=8xcos60°=4,

AE-AB?sin3=8xsin600=4-73.

BE

\-BC=l2f：.EC=S.

在RtAAEC中，tanZ?lCS=—=—=—

EC82

(2)在梯形ABCD中，

?；AB=OC,NB=60°,:.NDCB=NB=60。.

過點(diǎn)。作_L8C,垂足為E,

NDFC=ZAEC=90°，,AE//DF.

.?.四邊形AEFO是平行四邊形..?.AZ)=￡：E.

在Rt△DCF中，F(xiàn)C=DC-cosZDCF=8xcos60°=4,

：.EF-EC-FC=4.AD=4.

-：M.N分別是AB、。。的中點(diǎn)，：.MN=AD+BC==

22

【總結(jié)】本題考察了梯形中常作的輔助線，從一頂點(diǎn)向底邊作高，構(gòu)造直角三角形.

【例2】如圖所示，在心△至C,N4cB=90。，。是邊河的中點(diǎn)，BELCD,垂足為E,

3

已知AC=15,cosA=g,.

(1)求線段CD的長；

(2)求s歷NOBE的值.

【答案】(1)g25(或12.5)；(2)7卷.

225

【解析】(1)應(yīng)用銳角三角比求出斜邊AB,再利用直角三角形的性質(zhì)即可求出C。的長;

(2)運(yùn)用COS5=3,算出CE=16,D￡=16-—=-,而。B=三，

5222

np7

所以sinNDBE=/=’.

DB25

【總結(jié)】這是一道銳角三角比的基礎(chǔ)題目，主要是構(gòu)造出直角三角形.

【鞏固】如圖，已知RMABC中，ZACB=90°,C。是斜邊48上的中線，過點(diǎn)A作

AELCD,AE分別與C。、CB相交于點(diǎn)，、E,AH=2CH.

(1)求sin8的值；

(2)如果C￡>=逐，求BE的值.

【答案】(1)—;(2)3.

5

【解析】(1)C￡>是RfZ\ABC斜邊的中線，則NOCB=/OBC,

又；C￡)_LAE,AC1.CE,：.ZCAE=ZB,

在放中，設(shè)C〃=2A4=2a,

則AH=a,AC—垂)a,

sinB=sinXACH==-y=-=

AC垂)a5

(2)?./￡>=右，。。是斜邊48上的中線，；.48=2逐

BC=4,AC=2,，CE=ACtanNC4E=1,

..BE=BC-CE=3.

【總結(jié)】本題主要考查銳角三角比及直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

考點(diǎn)二：銳角三角比的應(yīng)用

將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，建立合適的直角三角形.

【例3】某地下車庫出口處“兩段式欄桿”如圖7-1所示，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動的支點(diǎn)，點(diǎn)E是

欄桿兩段的連接點(diǎn).當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí)，欄桿田升起后的位置如圖7-2所示，其示意圖

如圖7-3所示，其中A3J.BC,EF//BC,NE4B=143°,AB=AE=1.2米，求當(dāng)車

輛經(jīng)過時(shí)，欄桿所段距離地面的高度（即直線E尸上任意一點(diǎn)到直線BC的距離）.

（結(jié)果精確到0.1米，欄桿寬度忽略不計(jì)參考數(shù)據(jù)：sin370=0.60,cos370=0.80,

tan37°=0.75.）

【答案】2.2米.

【解析】如圖，過點(diǎn)A作BC的平行線AG,過點(diǎn)E作EHLAG于”,

貝U/B4G=90°,ZEHA=90°.

；NE48=143°,N8AG=90°,

ZEAH=ZEAB-ZBAG=53°.

在△￡4H中，ZEHA=90°,

N4EH=90°-NE4”=37°,AE=1.2米，

EH=AE,cosNAEH=1.2*0.80=0.96（米）,

'：AB=1.2米，

欄桿￡尸段距離地面的高度為：AB+EHN1.2+0.96=2.16=2.2（米）.

故欄桿EF段距離地面的高度為2.2米

【總結(jié)】本題是銳角三角比的實(shí)際應(yīng)用題目，主要是構(gòu)造直角三角形.

【鞏固】如圖，MN表示一段筆直的高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓.已

知點(diǎn)A到MN的距離為15米，BA的延長線與MN相交于點(diǎn)D,且NBON=30。，假設(shè)

汽車在高速道路上行駛時(shí)，周圍39米以內(nèi)會受到噪音的影響.

（1）過點(diǎn)4作MN的垂線，垂足為點(diǎn)，.如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行

駛，當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)P處時(shí)，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時(shí)汽車與點(diǎn)”的距

離為多少米？

（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板.當(dāng)汽車行駛到.點(diǎn)。時(shí)，它與這

一排居民樓的距離QC為39米，那么對于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至

少需要多少米長?（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：百r.7）.

P

【答案】（1）36米；（2）89米.M-'

【解析】（1）聯(lián)結(jié)PA,由已知4P=39"，

在直角中，PH=4AP2-AH?=,392-15」=36（米）.

（2）由題意得，隔音板位置應(yīng)從P到Q,

在放中，DWM//cos300=15>/3（:米），

在.RfACDQ中,DQ=CQ羿=78（米）

sin30°1

2

PQ=PH+HQ=36+78-155/3=88.5七89（米）

【總結(jié)】本題相對復(fù)雜，考察了銳角三角比的應(yīng)用,

考點(diǎn)三：圓內(nèi)相關(guān)的計(jì)算

圓內(nèi)常做的兩種輔助線：

1、連半徑，構(gòu)造等腰或直角三角形；

2、做垂線，根據(jù)垂徑定理解直角三角形.

【例4】如圖，點(diǎn)C、。分別在扇形AOB的半徑04、08的延長線上，且0A=3,AC=2,

(2)過點(diǎn)0作OELWM垂足為點(diǎn)E,并連結(jié)0M,圖5

根據(jù)fa〃C=，與0C=5,可得0E=>/5,

2

在心△0E仞中，利用勾股定理，得ME=2,

即AM=2ME=4.

【總結(jié)】本題考察了圓內(nèi)的相關(guān)計(jì)算，熟練的運(yùn)用垂徑定理.

【例5】機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走“，如圖5所示,“海寶”從圓心0出發(fā),

先沿北偏西67.4。方向行走13米至點(diǎn)A處，再沿正南方向行走14米至點(diǎn)B處，最后沿

正東方向行走至點(diǎn)C處，點(diǎn)B、C都在圓。上.(1)求弦BC的長；(2)求圓0的半徑

12512

長.（本題參考數(shù)據(jù)：.”〃67.4。=77,cos67.4。=77,tan67.4°=飛~）

1313'7北

【答案】⑴12；(2)15.

【解析】(1)解：過點(diǎn)。作OOLAB,則NAOO+/AON=90",

即：sinZAOD=cos即：AD=A(?x^=5,

OD=AOxsin67.4°=A0><||=12,

又沿正南方向行走14米至點(diǎn)B處，

最后沿正東方向行走至點(diǎn)C處所以4B〃NS,ABLBC,

所以E點(diǎn)位BC的中點(diǎn)，且BE=OO=⑵所以BC=24；

(2)解：連接08,貝ijOE=B￡>=AB-A￡>=14-5=9

又在RTA80E中，BE=12,

所以80=V(9E2+BE2=V92+122=7225=15

即圓。的半徑長為15.

【總結(jié)】圓中常見的輔助線為“作垂線、連半徑”這道題是這兩種輔助線比較好的實(shí)踐.

3

【鞏固】已知：如圖，在A4BC中，ZABC=45°,tanA^-,AB=\4；

4注意：兩圓相切

的問題要分類討

(1)求：A43C的面積;

論

(2)若以C為圓心的圓C與直線四相切，以A為圓心的圓A

與圓C相切，試求圓A的半徑.

【答案】(1)42；(2)4或16.

【解析】(1)過C作C￡>_LA8交AB邊于點(diǎn)。，在肋△ACO中,C

由3滔二己，設(shè)CZ>3〃，AD=4a,則AC=5a.

4

在COB中，因?yàn)镹B=45°,所以

因?yàn)锳8=AO+8Z>7a=14,則a=2,所以CD=6,

所以S=—AB-CD=—xl4x6=42；

A4/?r22

(2)由(1)得AC=10,又因?yàn)閳AC與直線AB相切，所以y6,

圓A與圓C相切分兩種情況，即外切和內(nèi)切，

①當(dāng)兩圓外切時(shí)，AC=/>+rc，即10=/>+6,此時(shí)以=4；

②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),AC="rd，即10=|以-6|,此時(shí)以=16；

綜上，滿足題意的圓4的半徑為4或16.

模塊二：幾何證明

年份200820092010201120122013201420152016

題型解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23解答23

分值121212121212121212

菱形背

開放性菱形背梯形背平行四

判定特景下判四邊形四邊形圓、平行

求邊相景證明景下特邊形的

內(nèi)容殊的四定特殊相似三相似三四邊形

等(四位置關(guān)殊的四判定及

邊形的四邊角形角形的判定

邊形)系邊形性質(zhì)

形

考點(diǎn)四：三角形背景下相關(guān)證明

兩種證明方向：

1、通過證明全等，尋找邊與角的關(guān)系;

2、通過相似，證明邊、角之間的關(guān)系.

【例6】在△ABC中，點(diǎn)。在邊AC上，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是A8的中點(diǎn).

（1）求證：EF=-AB；

2

A

（2）過點(diǎn)4作AG〃EF,交BE的延長線于點(diǎn)G,求證：/\

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析./?

【解析】證明：（1）連結(jié)BE,F/yCA

?.?O8=8C,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，C.BEVCD./

:點(diǎn)F是RmABE中斜邊上的中點(diǎn)，以/\

.BC

.?衣=濟(jì)；圖6

（2）［方法一］在AABG中，AF=BF,AG//EF,

：.BE=EG.

在△ABE和△AGE中，AE=AE,ZAEB=ZAEG=90°,

：.△A8E絲△AGE；

（方法二］由（I）得，EF=AF,：.ZAEF=ZFAE.

'JEF//AG,：.ZAEF=ZEAG.：.ZEAF=ZEAG.

'：AE=AE,ZAEB=ZAEG=90°,

：.AABEdAGE.

【總結(jié)】本題中直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是一薄弱點(diǎn).

【例7】如圖，在中，ZACB=90,NB>Z4,點(diǎn)。為邊45的中點(diǎn)，DE//BC交

A

AC于點(diǎn)E,C產(chǎn)〃AB交。E的延長線于點(diǎn)P.

(1)求證：DE=EF；

(2)聯(lián)結(jié)CD,過點(diǎn)。作￡>C的垂線交CF的延長線于點(diǎn)G,D--E』

求證：ZB=ZA+ADGC.

【答案】⑴詳見解析；⑵詳見解析..V

,BC

【解析】(1)'：DE//BC,CF//AB,

/.四邊形DBCF為平行四邊形，；.OF=BC,

為邊AB的中點(diǎn)，DE//BC,：.DE=-BC,

：.EF=DF-DE=BC--BC=-BC,:.DE=EF；

(2)I?四邊形。BCf為平行四邊形，/

：.DB//CF,：.ZADG=ZG,口/E/

VZACB=90°,。為邊AB的中點(diǎn)，CD=DB=AD,/

:.NB=NDCB,ZA=ZDCA,.：/

BC

'."DG1.DC,：.ZDCA+ZDHE=90°,

"：ZDCB+ZDCA=90°,ZDHE=ZDCB=ZB,

VZA+ZADG=ZDHE,二/A+/G=NB.

【總結(jié)】本題主要考察了中位線的相關(guān)性質(zhì)及利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行角度之間的轉(zhuǎn)換.

【鞏固】已知：如圖，在梯形A8CO中，AD//BC,BC=DC,CF平分A,--------弋

ZBCD,DF//AB,BF的延長線交QC于點(diǎn)E.//\

求證：⑴ABFCm/XDFC；(2)AD=DE.

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】證明：(1)?；。尸平分N8CO,:.NDCF=NBCF,

,:BC=DC,CF=CF,:./XDFC經(jīng)/\BFC；

(2)延長。尸交8c于點(diǎn)G

'JAD//BC,DF//AB,為平行四邊形，：.AD=BG

■:ADFCmABFC,：.DF=BF,NFDC=NFBC,

VZDFE=ZBFG,:.ADEF公4BGF,：.BG=DE,：.AD=DE.

【總結(jié)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和全等的判定定理的綜合運(yùn)用.

考點(diǎn)五：四邊形背景下相關(guān)證明

1、熟練的掌握特殊的平行四邊形的性質(zhì)；

2、利用特殊的平行四邊形的性質(zhì)得出相應(yīng)的邊之間的關(guān)系.其中特殊的平行四邊形的判定

定理也是常考的一個(gè)知識點(diǎn).

【例8】如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC,過點(diǎn)。作OEJLBC,垂足為E,并延

長DE至尸，使EF=DE.聯(lián)結(jié)8F、CD、AC.

（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；

（2）如果求證四邊形A8尸C是矩形.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】（1）???等腰梯形ABCD,

：.AB=DC,NABC=NDCB.

「△OFC是等腰三角形，:.NDCB=ZFCE,DC=CF,

：.ZABC=ZFCE,AB=CF,

易證四邊形ABFC是平行四邊形.

（2）提示：射影定理的逆定理不能直接在中考中使用,

必須通過相似三角形來證明，內(nèi)角為90。.

【總結(jié)】本題涉及到相似的基本圖形，熟練掌握可以幫助有效的解決問題.

【例9】已知梯形A8C力中，AD//BC,A8=AD（如圖所示），的平分線AE交8c于

點(diǎn)、E,連結(jié)DE.

（1）在圖中，用尺規(guī)作/區(qū)4。的平分線AE（保留作圖痕跡，不寫作法），并證明四邊

形ABE。是菱形；

An

（2）ZABC=6Q°,EC=2BE,求證：EDLDC./V-------

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析./V/V

【解析】（1）解：分別以點(diǎn)8、。為圓心，'

以大于48的長度為半徑，分別作弧，B匕--------￡一p----------------

且兩弧交于一點(diǎn)P，連接AP,即AP即為NBA。的平分線，且AP交BC于點(diǎn)E,

'：AB=AD,：.AABO^^AOD,：.BO=OD

'：AD//BC,：.ZOBE=ZODA,ZOAD=OEB,

:.XBOEQXDOA,：.BE=AD（平行且相等）

四邊形A8DE為平行四邊形，另A慶AD,...四邊形ADBE為菱形;

(2)設(shè)。E=2a,則CE=4a,過點(diǎn)。作。凡LBC

VZABC=60°,：.ZDEF=60°,：.ZEDF=3Q°,：.EF=-DE=a,

2

則力尸=64，CF=CE-EF=4a-a=3a,

：.CD=4DF2+CF2=yj3a2+9a2=2區(qū)

：.DE=2a,EC=4a,CD=20a,構(gòu)成一組勾股數(shù)，

.?.△EQC為直角三角形，則ECQC

【總結(jié)】本題考察了菱形的判定定理，通過題目的已知條件證明邊角的關(guān)系，是這類證明題

的常見題型.

【鞏固】如圖，已知平行四邊形ABCD^P,對角線AC,8。交于點(diǎn)O,E是延長線上的點(diǎn),

且AACE是等邊三角形.

(1)求證：四邊形ABCC是菱形；

(2)若/AEO=2/E4￡),求證：四邊形A8C。是正方形.

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】證明：(1)：四邊形ABC。是平行四邊形，.?.A0=C0.

又「△ACE是等邊三角形，J.E0VAC,即。8_L4c.

，平行四邊形4BCD是菱形；

(2)/XACE是等邊三角形，；./4EC=60。.

EOLAC：.ZAEO^-^4EC=30°

2

zAED=2NEAD,NEAD=15°，zADO=^EAD+，E￡)=45°

:四邊形ABCD是菱形，，NA￡)C=2,OO=90。.

四邊形ABC。是正方形.

【總結(jié)】在平行四邊形背景下的特殊四邊形判定問題是中考的一個(gè)熱門考點(diǎn)，注意特殊平行

四邊形的性質(zhì)及判定定理的運(yùn)用.

【例10]如圖所示，在菱形MCZ)中，點(diǎn)E、F分別在3C、CD上，ZBAF=ZDAE,AE

與如相交于點(diǎn)G.

(1)求證：BE=DF；--------~X7D

(2)當(dāng)竺=絲時(shí)，求證：四邊形3EFG是平行四邊形./\/

FCDF)

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.J1

[解析[(1)利用AABE=MDF(ASA)；EC

(2)證明：.AD//BC,—=—=—=:.GF//BE,

DFBEGBFC

易證：GB=BE,所以四邊形BEFG是平行四邊形.

【總結(jié)】本題考察了平行線的另一判定定理，利用比例線段證明，這也是中考的一大熱門考

【例11]已知：如圖，梯形ABCC中，AD//BC,AB=DC,

點(diǎn)E是邊8c延長線上一點(diǎn)，且/C￡>E=NA8D.

(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；

(2)聯(lián)結(jié)AE,交BO于點(diǎn)G,求證：—.

GBDB

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】(1)求證：四邊形ACE。是平行四邊形；.?.OE=AC.

又VZCDE=NABD,：.AC=BD.

,A8C￡＞為等腰梯形，MDB=\DAC

ZABD=ZDCA,■：NCDE=NABD

ZDCA=NCDE,AC//DE

vAD/ICE,AOEC為平行四邊形

ADDFAD

(2)vAD/IBC,:.—

GB

DFADDFAD

DF+FB~AD+BC

,/ADEC為口,AD=CE；AD+BC=BE,

,DFAD.DFADDGDF

,DF+FB~AD+BC"'DB"BE*'~GB~~DB

【總結(jié)】考查平行四邊形的性質(zhì)及平行線分線段成比例的性質(zhì)定理，綜合性稍強(qiáng).

【鞏固】已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相.交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在邊8C的延長線上,

J.OE=OB,聯(lián)結(jié)OE.

(2)設(shè)0E與C。交于點(diǎn)H,

"：OEYCD,:.NCEH+NHCE=NCDE+NDCE=9Q°.

；.NCDE=NCEH,VAOEB=^OBE,：.ZOBE=ZCDE,

:ADBESACDE,

DEDB

：.BD-CE=CD*DE.

【總結(jié)】本題第（1）問由性質(zhì)到角度，（2）由角度推邊關(guān)系，幫助同學(xué)們更好的掌握相似的

性質(zhì).

【回家作業(yè)】

1、如圖，在MA4BC中，N4CB=90。，AC=8C=3,點(diǎn)。在邊AC上，且4）=28,

DEVAB,垂足為點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)CE,

求：（1）線段龐:的長；（2）NEC3的余切值；

【答案】（1）20；（2）

2

【解析】（1）：AD=2CD,AC=3,AAD=2.

在RfAABC中，ZACB=90°,AC=BC=3,

：.ZA=45°,AB=yjAC2+BC2=3夜；

VDEYAB,ZA￡D=90°,ZA￡>￡=ZA=45。，

AE=ADcos45°=>/2；

?.BE=AB-AE=2>/2,即線段BE的長是2&；

（2）過點(diǎn)E作EH_L8C,垂足為點(diǎn)H；

在RfABEH中,NEW3=90°,ZB=45°,

:.EH=BH=EB-cos45。=2,又BC=3,：.CH=i；

在RrAEC〃中，cotZ￡CB=—=-,即N￡CB的余切值是工.

EH22

【總結(jié)】本題主要考查銳角三角比的綜合運(yùn)用，注意將特殊角放到直角三角形中去.

2.如圖，已知梯形ABCD中，A￡>〃BC,AC,8。相交于點(diǎn)O,ABLAC,AD=CD,A8=3,

BC=5.

求：（1）tanZAC￡>的值；（2）梯形ABCQ的面積.

【答案】（1）tanZACD=-：（2）SABCD=9.

4

【解析】（1）'：AB±AC,48=3,8c=5,

:.AC=\lBC2-AB2=,52-32=4,tanZACfi=—=-.

AC4,

3

5L'：AD^CD,AD//BC,：.ZACD^ZDAC^ZACB,：.tanZAC￡>=-；

4

（2）過。作。EJ_AC交AC于點(diǎn)E,則AE=CE=2,

3DEDE3

VtanZAC￡>=tanZDAE=-=—=—,：.DE=-,

4AE22

**?S=S+5=--AB-AC+-AC-DE=-x3x4+-x4x-=9.

AnrnAARrA4rn2222

【總結(jié)】本題考察了以梯形為背景的相關(guān)計(jì)算，主要是構(gòu)造合適的直角三角形.

3、小明與班級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)校操場上測得旗桿5c在地面上的影長至為12米,

同一時(shí)刻，測得小明在地面的影長為2.4米，小明的身高為1.6米.

（1）求旗桿3C的高度；

（2）興趣小組活動一段時(shí)間后，小明站在48兩點(diǎn)之間的。處（A、D、3三點(diǎn)在一條

直線上），測得旗桿的頂端C的仰角為a,且tan（z=Q8,求此時(shí)小明與旗桿之間的

距離.

【答案】（1）8米；（2）小明站在距離8處10米處.

【解析】（1）由題意，得：—=—=

2.4AB12

解得：BC=8；

（2）設(shè)小明所站的位置8D=x,

由題意得tanor=0.8=g^=色，解得：x=10>

BDx

即此時(shí)小明與旗桿之間的距離為10米.

【總結(jié)】本題考察了銳角三角比的實(shí)際應(yīng)用類問題，相對簡單.

4、己知，如圖，。。是AABC的外接圓，AB=4C,點(diǎn)。在邊3c上，AE//BC,

AE=BD-.

（1）求證：AD=CE；

（2）如果點(diǎn)G在線段DC上（不與點(diǎn)。重合），且AG=AD,

求證：四邊形AGCE是平行四邊形.

【答案】（D詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】（1）在。O中，VAB=AC：.AB^AC:.ZB=ZACB；

AE//BCZE4C=ZACB：.NB=ZE4C；

又BD=AE：.MBDgAC4E二AD=CE-.

(2)聯(lián)結(jié)AO并延長，交邊BC于點(diǎn)H,

VAB=AC,CM是半徑/.AHYBC:.BH=CH；

VAD=AG：.DH=HG

：.BH-DH=CH-GH,即3￡>=CG；

VBD=AECG^AE；

又：CG//AE四邊形AGCE是平行四邊形；

【總結(jié)】本題考察了圓內(nèi)的相關(guān)證明題垂徑定理是圓內(nèi)比較重要的定理，注意靈活運(yùn)用.

5、如圖9T,在心AABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。是邊48的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊8c上，4E=BE,

點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CM,點(diǎn)G在線段CM上，作NGDN=NAEB交邊BC于N.

（1）如圖9-2,當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)M重合時(shí)，求證：四邊形。MEN是菱形；

（2）如圖97,當(dāng)點(diǎn)G和點(diǎn)M、C不重合時(shí)，求證：DG=DN.6代義

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析./AV（

【解析】（1）是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，——

；.OG是△A8E的中位線，：.DG//BE,：.ZGDN=ZDNB,圖以2

又，：4GDN=NAEB,：.4AEB=4DNB,：.GE//DN,C

又AE=BE,：.DN=BN=EN,/J

四邊形GDNE是菱形；

（2）聯(lián)結(jié)CQ,證△CDG絲△B￡W,ADB

圖9-2

故可得Z）G=￡W.

【總結(jié)】本題考察了在直角三角形的背景下的相關(guān)性質(zhì)，特別是中線和斜邊的關(guān)系要做到靈

活運(yùn)用.

6、已知：如圖，在正方形ABC￡＞中，點(diǎn)E、尸分別在8c和C￡＞上，AE^AF.

（1）求證：BE=DF；

（2）連接AC交所于點(diǎn)。，延長0C至點(diǎn)G,使OG=OA,連接EG、FG.判斷四邊形

AEGF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論.4

【答案】（1）略；（2）菱形.

【解析】（1）?.SBC。是正方形，

：.AB=AD,ZABE=ZADF=90°,

B

又,：AE=AF,：.△ABE絲/\ADF,

:.BE=DF；

（2）四邊形AEG尸是菱形.

是正方形，."C平分/BCD,

又,：BE=DF,：.EC=FC,：./\AEC^/\AFC,

：.AE=AF,NEAC=/FAC,OE=OF,