21.4第3課時

用二次函數(shù)解決拋物線形運動問題教學(xué)幻燈片分頁內(nèi)容第1頁：標題頁標題：21.4第3課時

用二次函數(shù)解決拋物線形運動問題副標題：初二數(shù)學(xué)上冊授課教師：[教師姓名]日期：[授課日期]第2頁：復(fù)習(xí)回顧問題1：二次函數(shù)頂點式\(y=a(x-h)^2+k\)中，頂點坐標是什么？當(dāng)\(a＜0\)時，函數(shù)有什么最值情況？（頂點坐標為\((h,k)\)，當(dāng)\(a＜0\)時，函數(shù)在頂點處取得最大值\(k\)）問題2：已知拋物線經(jīng)過點\((1,3)\)、\((2,5)\)、\((3,3)\)，如何求其表達式？（可設(shè)一般式\(y=ax^2+bx+c\)，代入三點坐標求解方程組）問題3：在拋物線形建筑問題中，解決問題的關(guān)鍵步驟是什么？（建立坐標系、確定關(guān)鍵點坐標、求函數(shù)表達式、解決實際問題）第3頁：學(xué)習(xí)目標知識目標：學(xué)會將拋物線形運動問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，能根據(jù)運動情境建立合適的平面直角坐標系，求出二次函數(shù)表達式并解決運動中的最大高度、運動距離等問題。能力目標：提高從實際運動問題中抽象數(shù)學(xué)模型的能力，增強運用二次函數(shù)知識分析和解決運動問題的應(yīng)用能力。情感目標：感受數(shù)學(xué)在物理運動中的應(yīng)用價值，激發(fā)對數(shù)學(xué)和物理學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣。第4頁：情境引入展示圖片：運動員投籃、炮彈發(fā)射、噴泉噴水等拋物線形運動場景圖片。提問：這些運動的軌跡都近似于拋物線，如何利用二次函數(shù)知識求出投籃的最大高度、炮彈的射程、噴泉的噴水距離等問題呢？第5頁：新知探究1——投籃運動問題例1：一名籃球運動員在距離籃筐4米處投籃，球的運動軌跡是拋物線，當(dāng)球運動到水平距離投籃點2米時，達到最大高度3米。已知籃筐距離地面的高度為3.05米，問球能否投中籃筐？步驟解析：建立坐標系：設(shè)投籃點為原點\((0,0)\)，水平方向為\(x\)軸，豎直方向為\(y\)軸。確定關(guān)鍵點坐標：拋物線頂點為\((2,3)\)，投籃點為\((0,0)\)。設(shè)二次函數(shù)表達式：設(shè)頂點式為\(y=a(x-2)^2+3\)。代入點坐標求\(a\)：將\((0,0)\)代入得\(0=a×(0-2)^2+3\)，解得\(a=-\frac{3}{4}\)，表達式為\(y=-\frac{3}{4}(x-2)^2+3\)。判斷能否投中：當(dāng)\(x=4\)時，\(y=-\frac{3}{4}(4-2)^2+3=-\frac{3}{4}×4+3=0\)，而籃筐高度為3.05米，所以球不能投中籃筐。第6頁：例題講解2——拋體運動問題例2：一門火炮發(fā)射炮彈，炮彈的運動軌跡是拋物線，已知炮彈飛出后經(jīng)過3秒到達離地面15米的高度，經(jīng)過6秒到達離地面12米的高度，且炮彈的最大高度出現(xiàn)在第8秒。求炮彈的最大高度是多少？步驟解析：建立坐標系：設(shè)時間為\(x\)秒，高度為\(y\)米，設(shè)拋物線表達式為\(y=ax^2+bx+c\)。確定已知點坐標：由題意得點\((3,15)\)、\((6,12)\)，且對稱軸為\(x=8\)（即\(-\frac{2a}=8\)）。列方程組：\(\begin{cases}9a+3b+c=15\\36a+6b+c=12\\-\frac{2a}=8\end{cases}\)解方程組：由對稱軸得\(b=-16a\)，代入前兩個方程解得\(a=-\frac{1}{3}\)，\(b=\frac{16}{3}\)，\(c=-11\)。求最大高度：當(dāng)\(x=8\)時，\(y=-\frac{1}{3}×8^2+\frac{16}{3}×8-11=\frac{25}{3}≈8.33\)米。第7頁：方法總結(jié)解決拋物線形運動問題的步驟：建立坐標系：通常以運動的起點為原點，水平方向為\(x\)軸（時間或水平距離），豎直方向為\(y\)軸（高度）。確定關(guān)鍵點坐標：根據(jù)運動描述找出拋物線上的已知點，如起點、最高點（頂點）、某時刻的位置等。求二次函數(shù)表達式：根據(jù)已知點坐標選擇合適的表達式形式（頂點式或一般式）求出表達式。解決運動問題：利用表達式計算最大高度、運動時間、水平距離等，并結(jié)合實際意義驗證結(jié)果。注意：運動問題中變量可能是時間或水平距離，要明確變量的實際含義，確保坐標對應(yīng)正確。第8頁：課堂練習(xí)1練習(xí)1：一個小球從地面被拋出，其運動軌跡是拋物線，當(dāng)小球運動到水平距離拋出點5米時，高度為10米；運動到10米時，高度為7.5米。求小球拋出的最大高度。練習(xí)2：一名運動員擲鉛球，鉛球的運動軌跡是拋物線，鉛球出手時高度為1.6米，經(jīng)過2秒到達最大高度3.6米。求鉛球落地時經(jīng)過的時間。第9頁：課堂練習(xí)2練習(xí)3：噴泉的水流噴出后形成拋物線，已知水流噴出的高度\(y\)（米）與水平距離\(x\)（米）的關(guān)系滿足二次函數(shù)，當(dāng)\(x=1\)時，\(y=2\)；\(x=2\)時，\(y=2.5\)；\(x=3\)時，\(y=2\)。求水流能達到的最大高度和最遠噴水距離。練習(xí)4：一個物體從高處自由拋出，其高度\(h\)（米）與時間\(t\)（秒）的關(guān)系是二次函數(shù)，已知\(t=1\)時，\(h=20\)；\(t=2\)時，\(h=24\)；\(t=3\)時，\(h=20\)。求物體拋出時的高度和物體落地的時間。第10頁：易錯點提醒混淆運動問題中的變量類型，將時間和水平距離作為變量時坐標對應(yīng)錯誤。確定頂點坐標時出錯，尤其是最大高度對應(yīng)的時間或水平距離判斷不準確。解方程組求函數(shù)表達式時計算錯誤，導(dǎo)致后續(xù)問題解答錯誤。忽略運動的實際情境，如落地時高度為0，計算落地時間時未正確代入表達式。第11頁：課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)解決拋物線形運動問題，核心是建立合適的坐標系，將運動軌跡轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型。掌握了解決這類問題的步驟：明確變量、建坐標系、定關(guān)鍵點坐標、求表達式、解運動問題。體會到數(shù)學(xué)與物理運動的緊密聯(lián)系，進一步提升了數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力。第12頁：作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：教材第[X]頁習(xí)題21.4第[X]、[X]、[X]題。提高作業(yè)：一個煙花從地面發(fā)射，其高度\(y\)（米）與時間\(t\)（秒）的關(guān)系是二次函數(shù)，發(fā)射后1秒時高度為20米，發(fā)射后3秒時高度為40米，發(fā)射后5秒時高度為20米。求煙花綻放的最大高度和煙花從發(fā)射到落地的總時間。拓展作業(yè)：觀察生活中的拋物線形運動現(xiàn)象，記錄相關(guān)數(shù)據(jù)，用二次函數(shù)知識分析其運動規(guī)律，撰寫一份簡短的分析報告。2025-2026學(xué)年滬科版數(shù)學(xué)九年級上冊授課教師：

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21.4第3課時用二次函數(shù)解決拋物線形運動問題第21章

二次函數(shù)與反比例函數(shù)aiTujmiaNg1.能從實際問題中建立二次函數(shù)模型，并根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題；2.經(jīng)歷探索問題的過程，獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的經(jīng)驗；3.在利用二次根數(shù)模型解決實際問題的過程中，進一步體會“數(shù)形結(jié)合”的思想，以及建模的轉(zhuǎn)化思想；4.經(jīng)歷了建模來解決實際生活中的問題，體會函數(shù)知識的實際應(yīng)用價值，感受數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系.利用二次函數(shù)解決實際問題的一般思路是什么？復(fù)習(xí)回顧實際問題二次函數(shù)模型二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)轉(zhuǎn)化利用解決前面我們學(xué)習(xí)了利用二次函數(shù)能解決哪些實際問題？利用二次函數(shù)還能解決哪些實際問題呢？復(fù)習(xí)回顧幾何圖形面積問題橋梁建筑類拋物線型問題

……合作探究上拋物體在不計空氣阻力的情況下，有如下的表達式：其中h是物體上升的高度，v0是物體被上拋時豎直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10m/s2)，

t是物體拋出后經(jīng)過的時間.

在一次排球比賽中，排球從靠近地面處被墊起時豎直向上的初始速度為10m/s.(1)問排球上升的最大高度是多少？(2)已知某運動員在2.5m高度時扣球效果最佳，如果她要打快攻，問該運動員在排球被墊起后多長時間扣球最佳？上拋物體在不計空氣阻力的情況下，有如下的表達式：其中h是物體上升的高度，v0是物體被上拋時豎直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10m/s2)，

t是物體拋出后經(jīng)過的時間.

在一次排球比賽中，排球從靠近地面處被墊起時豎直向上的初始速度為10m/s.

(1)問排球上升的最大高度是多少？分析(t≥0)h為關(guān)于t的二次函數(shù)排球上升的最大高度t≥0時h的最大值上拋物體在不計空氣阻力的情況下，有如下的表達式：其中h是物體上升的高度，v0是物體被上拋時豎直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10m/s2)，

t是物體拋出后經(jīng)過的時間.

在一次排球比賽中，排球從靠近地面處被墊起時豎直向上的初始速度為10m/s.

(1)問排球上升的最大高度是多少？解：(1)根據(jù)題意，得因為拋物線開口向下，頂點坐標為(1，5).答：排球上升的最大高度是5m.(2)已知某運動員在2.5m高度時扣球效果最佳，如果她要打快攻，問該運動員在排球被墊起后多長時間扣球最佳？分析令h=2.5m，求出對應(yīng)的t值，結(jié)合實際求解即可.解：(2)當(dāng)h=2.5m時，得排球在上升和下落中，各有一次經(jīng)過2.5m高度，但第一次經(jīng)過時離排球被墊起僅有0.3s，要打快攻，選擇此時扣球，可令對方措手不及，易獲成功.解方程，得答：該運動員在排球被墊起后0.3s時扣球最佳.如果這位運動員來不及在0.3s時扣球，她還可在何時扣球？歸納解決運動中的拋物線型實際問題的一般步驟：①根據(jù)題意求出函數(shù)解析式(有時需建立合適的直角坐標系)；②根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解；③結(jié)合實際問題選擇合適的解.注意：實際問題中自變量的取值范圍.【例】行駛中的汽車，在制動后由于慣性，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“制動距離”.為了了解某型號汽車的制動性能，對其進行了測試，測得數(shù)據(jù)如下表：典型例題制動時車速/km·h-101020304050制動距離/m00.31.02.13.65.5有一輛該型號汽車在公路上發(fā)生了交通事故，現(xiàn)場測得制動距離為46.5m，試問交通事故發(fā)生時車速是多少？是否因超速（該段公路限速為110km/h）行駛導(dǎo)致了交通事故？分析知道了制動距離，如何求得相應(yīng)的制動速度？求出制動距離與制動時車速的函數(shù)表達式即可.如何求出函數(shù)解析式呢？先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出大致的函數(shù)圖象.典型例題制動時車速/km·h

101020304050制動距離/m00.31.02.13.65.5有一輛該型號汽車在公路上發(fā)生了交通事故，現(xiàn)場測得制動距離為46.5m，試問交通事故發(fā)生時車速是多少？是否因超速（該段公路限速為110km/h）行駛導(dǎo)致了交通事故？解：以制動時車速的數(shù)據(jù)為橫坐標（x值）、制動距離的數(shù)據(jù)為縱坐標（y值），在平面直角坐標系中，描出各組數(shù)據(jù)對應(yīng)的點，如圖.y/mx/km·h

1典型例題制動時車速/km·h

101020304050制動距離/m00.31.02.13.65.5觀察圖中描出的這些點的整體分布，它們基本上都是在一條拋物線附近，因此，y與x之間的關(guān)系可以近似地以二次函數(shù)來模擬，即設(shè)y=ax2+bx+c.

在已知數(shù)據(jù)中任選三組，如取(0，0)，(10，0.3)，(20，1.0)，分別代入所設(shè)函數(shù)的表達式，得y/mx/km·h

1解方程組，得典型例題有一輛該型號汽車在公路上發(fā)生了交通事故，現(xiàn)場測得制動距離為46.5m，試問交通事故發(fā)生時車速是多少？是否因超速（該段公路限速為110km/h）行駛導(dǎo)致了交通事故？即所求函數(shù)的表達式為把y=46.5代入上式，得46.5=0.002x2+0.01x.解方程組，得

(舍去).答：制動時車速為150km/h(＞110km/h)，即在事故發(fā)生時，該汽車屬超速行駛.

對于不明確的兩個變量，通常采用取一組對應(yīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為坐標，在坐標系中作圖并觀察點的整體分布，來確定函數(shù)類型，再用待定系數(shù)法求相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.歸納

A．

4mB．

6mC．

8mD．

10mD23456781

4234567813．

如圖，點點在練習(xí)打網(wǎng)球時發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)球沿與地面成一定角度的方向飛出，網(wǎng)球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，網(wǎng)球的飛行高度y(單位：m)與飛行時間x(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系y＝－0.5x2＋2x，請根據(jù)要求解答下列問題：(1)在飛行過程中，網(wǎng)球從飛出到落地所用時間是多少？解：(1)當(dāng)y＝0時，0＝－0.5x2＋2x，解得x1＝0，x2＝4.因為4－0＝4(s)，所以在飛行過程中，網(wǎng)球從飛出到落地所用時間是4s.23456781(2)在飛行過程中，網(wǎng)球飛行高度何時最大？最大高度是

多少？y＝－0.5x2＋2x＝－0.5(x－2)2＋2，所以當(dāng)x＝2時，y取得最大值，此時，y＝2，答：在飛行過程中，網(wǎng)球在第2s時飛行高度最大，最大高度是2m.23456781知識點2

水流拋物型4.

[跨學(xué)科·物理]“水幕電影”的工作原理是把影像打在拋物線

狀的水幕上，通過光學(xué)原理折射出圖象.水幕是由若干個

水嘴噴出的水柱組成的(如圖)，水柱的最高點為P，AB＝2

m，BP＝9m，水嘴高AD＝5m，