等腰三角形（基礎(chǔ)篇）一、單選題1．若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm2．已知：是等腰三角形，，是底邊上的高，下面結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C．平分 D．3．如圖．在中，．若是的角平分線，則下列說法錯誤的是（）A．B．C．D．4．如圖，在的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知圖中A，B兩個格點，請在圖中再尋找另一個格點C，使成為等腰三角形，則滿足條件的點C有（

）個．A．4個 B．6個 C．8個 D．10個5．如圖是蹺蹺板的示意圖，支柱與地面垂直，點O是的中點，繞著點O上下轉(zhuǎn)，當(dāng)A端落地時，，蹺蹺板上下可轉(zhuǎn)動的最大角度（即）是（）A． B． C． D．6．如圖，在長方形中，，將長方形沿折疊，點A落在點處，與交于點，且，則的長為（

）A．1 B．2 C．2.5 D．37．如圖，在中，，根據(jù)作圖痕跡，可知（

）A． B． C． D．8．一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若，則（）A． B． C． D．9．如圖，是一個鋼架，且，為了使鋼架更加牢固，需在內(nèi)部添加一些鋼管……，添加的鋼管長度都與相等．則添加的鋼管數(shù)量最多可以是（

）A．8根 B．9根 C．10根 D．11根10．如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點G，交于點H，下面說法：①的面積等于的面積；②；③；④．正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④二、填空題11．若等腰三角形有一個角是，則它的底角的度數(shù)是___．12．如圖，在中，，平分交于點D．若的長為，則的長為________．13．如圖，在中，，，平分交于點D，，交于點E，若，則的長為______.14．如圖，在中，，點是上一點，且，，則的面積為_____．15．如圖，已知，點P在邊上，點M，N在邊上，，若，，則______．16．如圖，在中，平分，于點，若，則的值為_______．17．如圖，將三角形紙片折疊，使點，都與點A重合，折痕分別為，，已知，，則的度數(shù)為______．18．如圖，在中，，，，點P是線段上一動點，點M在線段上，當(dāng)時，的最小值為______．三、解答題19．如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接，．已知，．（1）求證：≌；（2）若，，求的長．20．如圖，點D，E在的邊上，，．求證：．21．在和中，，，．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，若平分，，點在線段上，則度．22．如圖是一個滑梯示意圖，若將滑梯水平放置，則剛好與DE一樣長，已知滑梯的高度為3米，為1米．(1)求滑道的長度；(2)若把滑梯改成滑梯，使，則求出的長．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）23．如圖，在中，，，點O是中點，，將繞點O旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與射線、交于點D、E．(1)當(dāng)轉(zhuǎn)動至如圖一所示的位置時，連接，求證：；(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動至如圖二所示的位置時，線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．24．在綜合實踐課上，老師以“含的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學(xué)們開展如下數(shù)學(xué)活動：在等腰三角形紙片中，，，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺（，）按如圖所示放置，頂點在線段上滑動（點不與A，重合），三角尺的直角邊始終經(jīng)過點，并與的夾角為，斜邊交于點．(1)特例感知當(dāng)時，___________°，點從向A運動時，逐漸變___________（填“大”或“小”）；(2)思維拓展在點的滑動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出夾角的大??；若不可以，請說明理由．參考答案1．D【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)3是腰時，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，此時等腰三角形的周長為3＋3＋5＝11（cm），當(dāng)5是腰時，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，此時等腰三角形的周長為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可確定答案．【詳解】解：由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得：，平分，由等邊對等角的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)不一定有，除非是等腰直角三角形．故選：B．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)是關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)解題．【詳解】∵，是的角平分線，∴，，∴．故選D．【點撥】本題考查等腰三角形的三線合一，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)等腰三角形的定義判斷即可．【詳解】解：如圖，AB是腰長時，紅色的4個點可以作為點C，AB是底邊時，黑色的4個點都可以作為點C，所以，滿足條件的點C的個數(shù)是4+4=8．故選：C．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點是解題的關(guān)鍵，要注意AB是腰長與底邊兩種情況討論求解．5．B【分析】當(dāng)端著地時，如圖，即為上下轉(zhuǎn)動的最大角度，利用三角形外角的性質(zhì)即可解決問題；【詳解】解：當(dāng)端著地時，如圖，即為上下轉(zhuǎn)動的最大角度，是的中點，，．故選：B．【點撥】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及鄰補角的定義，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．6．B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得出，根據(jù)等角對等邊得出，即可得出答案．【詳解】解：在長方形中，∥，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，故B正確．故選：B．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出．7．D【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出．【詳解】解：∵AB=AC，∴．由作圖痕跡可知BC=BD，∴．∴．故選D．【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)作圖痕跡得出BC=BD是解答本題的關(guān)鍵．8．C【分析】設(shè)圍成的小三角形為，分別用、、表示出的三個內(nèi)角，再利用三角形的內(nèi)角和等于列式整理即可得解．【詳解】解：如圖，，，，在中，，∴，∴，∵，∴．故選：C．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，用、、表示出的三個內(nèi)角是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．9．A【分析】根據(jù)已知利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，找出圖中存在的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律及三角形的內(nèi)角和定理不難求解．【詳解】解：∵添加的鋼管長度都與相等，∴，∴．∵，∴，∴，…，從圖中我們會發(fā)現(xiàn)有好幾個等腰三角形，即第一個等腰三角形的底角是，第二個是，第三個是，四個是，五個是，六個是，七個是，八個是，九個是就不存在了．所以一共有8個．故選A．【點撥】此題考查了三角形的內(nèi)角和是180度，等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形外角的性質(zhì)；發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)三角形的中線性質(zhì)、三角形的面積公式即可得判斷①；先根據(jù)角平分線的定義可得∠ACF=∠DCG，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等量代換可得，再根據(jù)對頂角相等可得，由此即可判斷②；③先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到、等量代換可得，即可判斷③；④根據(jù)等腰三角形的判定即可得．【詳解】解：∵是中邊上的中線，∴，∴，故①正確；∵，是邊上的高，∴，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，故②正確；∵，∴，∴，∴，故③正確；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，即無法證明，故④錯誤；故選：B．【點撥】本題考查了三角形的中線、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、等腰三角形的判定等知識點，熟練掌握三角形的中線、角平分線、高的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．##30度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，三角形的內(nèi)角和為，即可．【詳解】如圖所示：∵等腰三角形有一個角是，∴是等腰三角形，∴當(dāng)時，；∵三角形的內(nèi)角和為，∴等腰三角形中的角，不能是底角，故答案為：．【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．12．##6厘米【分析】直接根據(jù)等腰三角形三線合一作答即可．【詳解】解：∵，平分∴．故答案為．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）．13．【分析】先根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)，得出，再證明，得出，得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，，∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴．【點撥】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，得出．14．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)得出，根據(jù)直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半，得，根據(jù)三角形面積公式求解，即可．【詳解】∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角的性質(zhì)，等邊對等角，直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半．15．12【分析】由題意可知，為等腰三角形，且，可過P點作,可以得出是含有的直角三角形，即可求出的長．【詳解】如圖所示：過P點作,∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：12．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及含有的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．2【分析】延長交于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：延長交于點E，∵平分，，∴，設(shè)，則，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．17．60°##60度【分析】由折疊的性質(zhì)得出，得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，證出是等邊三角形，得出結(jié)果．【詳解】解：∵把三角形紙片折疊，使點B、點C都與點A重合，折痕分別為，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：60°．【點撥】此題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)折疊的性質(zhì)得出相等的邊和角，是解題關(guān)鍵．18．【分析】作點B關(guān)于的對稱點，連接交于點P，則，可得的最小值為的長，過點作于點H，根據(jù)，，可得，從而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解∶如圖，作點B關(guān)于的對稱點，連接交于點P，則，∴，∴的最小值為的長，過點作于點H，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值為．故答案為：【點撥】本題考查了勾股定理的使用，涉及了軸對稱圖形的性質(zhì)，掌握并熟練使用相關(guān)知識，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．19．（1）見解析；（2）2【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得：，利用全等三角形的判定定理證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，由圖形中各邊的關(guān)系計算即可得出．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴．【點撥】題目主要考查全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形，熟練運用各個性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．見解析【分析】過點A作于點P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，，即可得出答案．【詳解】證明：過點A作于點P，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一，是解題的關(guān)鍵．21．(1)見解析(2)30【分析】（1）利用證明，即可得出結(jié)論；（2）證明是等邊三角形，，利用（1）的結(jié)論，即可求解．【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴；（2）解：∵平分，，，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，由（1）得，∴，故答案為：30．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．22．(1)滑梯長度為5米(2)的長度為2.3米【分析】（1）設(shè)為x米，則為米，，根據(jù)勾股定理求解即可；（2）設(shè)，則，利用勾股定理求得的長度，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)為x米，則為米，可得方程，解得．答：滑梯長度為5米．（2）解：在中，，∵∴，∴，設(shè)，則可得方程，所以∴答：的長度為米．【點撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及了含直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確利用勾股定理列出方程．23．(1)見解析(2)CE﹣CD＝AC．理由見解析【分析】（1）結(jié)論：．連接．證明；（2）結(jié)論：，證明方法類似（1）．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：．理由：連接．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．24．(1)，小(2)可以是等腰三角形，當(dāng)或時，是等腰三角形【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再一次運用三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷點P從B向A運動時，的