5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(c是常數(shù))(為實(shí)數(shù))特別地特別地二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1、加減法：2、乘法：3、除法：三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過中間變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為和的復(fù)合函數(shù)，記作.2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.規(guī)律：從內(nèi)到外層層求導(dǎo)，乘法連接。3、求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟第一步分層：選擇中間變量，寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù)；第二步分別求導(dǎo)：分別求各層函數(shù)對相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)；第三步相乘：把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘；第四步變量回代：把中間變量代回。4、求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意以下幾點(diǎn)：（1）分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；（2）求導(dǎo)時分清是對哪個變量求導(dǎo)；（3）計(jì)算結(jié)果盡量簡潔。四、導(dǎo)函數(shù)的常用結(jié)論1、奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)．周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小反映了變化的快慢，越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”．題型一求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1），則（2），則（3），則（4），則【變式1-1】已知函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，，故選：A.【變式1-2】下列各式正確的是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)基本函數(shù)求導(dǎo)公式，，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C.【變式1-3】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為______．【答案】【解析】由得，故答案為：【變式1-4】設(shè)，，，……，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得，，，，，，……，又因?yàn)?，故，故選：B．題型二求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例2】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則故選：B．【變式2-1】（多選）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【解析】A，因?yàn)?，所以，故正確；B，因?yàn)?，所以，故錯誤；C，因?yàn)?，所以，故錯誤；D，因?yàn)?，所以，故正確.故選：AD.【變式2-2】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【答案】【解析】【變式2-3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴.（3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（4）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（5）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．（6）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，∴．題型三求導(dǎo)數(shù)值問題【例3】若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，令，則，解得，所以，.故選：D.【變式3-1】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A．B．C．4D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：C.【變式3-2】已知函數(shù)，則（）A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】因?yàn)?，故可得，令，則，故，則.故選：.【變式3-3】已知，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A題型四求切線的方程或斜率【例4】函數(shù)在處的切線的斜率為（）A．0B．1C．2D．e【答案】A【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知:在處的切線的斜率為.故選:A.【變式4-1】設(shè)P是曲線上任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角α的取值范圍是__．【答案】【解析】由已知得，由得．故答案為：．【變式4-2】過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為______．【答案】或【解析】由題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又由函數(shù)，可得，可得，所以，根據(jù)斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，即，解得或，所以切線的斜率為或，所以切線方程為或，即或.故答案為：或.【變式4-3】過點(diǎn)且與曲線相切的直線共有________條.【答案】2【解析】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋郧芯€的方程為，將代入方程整理得，解得或.故切線方程為或，即過點(diǎn)且與曲線相切的直線共有2條.故答案為：題型五利用切線求參數(shù)問題【例5】若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函數(shù)得，，所以，直線的斜率，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即，所以.故選：A.【變式5-1】已知函數(shù)的圖象為曲線C，若曲線C存在與直線垂直的切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意，若曲線C存在與直線垂直的切線，則，即有解，又因?yàn)?，所以，即，所以?shí)數(shù)m的取值范圍是．【變式5-2】已知直線：既是曲線的切線，又是曲線的切線，則（）A．0B．C．0或D．或【答案】D【解析】,,，設(shè)切點(diǎn)分別為，則曲線的切線方程為：，化簡得，，曲線的切線方程為：，化簡得，，，故，解得e或.當(dāng)e，切線方程為，故.當(dāng)，切線方程為，故，則.故的取值為或.故選：D【變式5-3】函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．或D．或或【答案】C【解析】∵過定點(diǎn)，且在上，又∵，則，∴在處的切線斜率為，結(jié)合圖象可得：當(dāng)時，與的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，則符合題意；當(dāng)時，與的圖像有兩個公共點(diǎn)，則不符合題意；當(dāng)時，與的圖像有且只有一個公共點(diǎn)，則符合題意；當(dāng)時，與的圖像有兩個公共點(diǎn)，則不符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故選：C.題型六利用相切關(guān)系求最值距離【例6】已知函數(shù)，直線的方程為，則函數(shù)上的任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為_________【答案】【解析】函數(shù)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，過該點(diǎn)的切線為，當(dāng)直線與直線平行時，點(diǎn)到直線的距離的最小，由，所以直線的方程為，因此函數(shù)上的任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故答案為：【變式6-1】若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為________.【答案】【解析】由已知，設(shè)點(diǎn)曲線上一點(diǎn)，則有，因?yàn)?，所以，所以，所以曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為，即．要求得曲線上任意一點(diǎn)，到直線的最小距離即找到曲線上距離直線最近的點(diǎn)，即，解得或（舍去），此時，以點(diǎn)為切點(diǎn)，曲線的切線方程為：，此時，切點(diǎn)為曲線上距離直線最近的點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，最小距離為直線與直線之間的距離，設(shè)最小距離為，所以.故答案為：.【變式6-2】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對稱，若P，Q分別為它們上的兩個動點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為______．【答案】【解析】令，則，，．因?yàn)榕c關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，令得，，，所以點(diǎn)P到直線距離的最小值為，所以這兩點(diǎn)之間距離的最小值為．【變式6-3】設(shè)，，則的最小值為__________．【答案】【解析】由兩點(diǎn)距離公式的幾何意義可知表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到的距離，而是上的點(diǎn)，是上的點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且與關(guān)于直線對稱，所以的最小值可轉(zhuǎn)化為圖像上的動點(diǎn)與圖像上的動點(diǎn)最小距離，顯然，與平行的切線的切點(diǎn)，和與平行的切線的切點(diǎn)，它們之間的距離就是所求最小距離，對于，設(shè)切點(diǎn)為，有，則，故，則，故，對于，設(shè)切點(diǎn)為，有，則，故，則，故，所以，所以題設(shè)式子的最小值為.故答案為：.5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【題組1求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)】1、下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A選項(xiàng)：，故A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)：，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，故C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)：，故D選項(xiàng)錯誤；故選：B2、下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?所以A錯誤；因?yàn)?所以B錯誤；因?yàn)?所以C錯誤；因?yàn)?所以D正確.故選:D.3、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）由，可得；（2）由，可得；（3）由，可得；（4）由，可得.4、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）（3）；（4）【解析】（1）由，可得（2）由，可得（3）由，可得（4）由，可得5、設(shè)，，，…，，，試求．【答案】【解析】，，，，，，…，，可知周期為，又，∴．【題組2求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)】1、已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以故選：C2、（多選）以下函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．設(shè)，則．【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：，正確；B選項(xiàng)：，錯誤；C選項(xiàng)：，正確；D選項(xiàng)：，錯誤.故選：AC.3、（多選）下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正確的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】，，，，故選：AC.4、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）；（2）；（3）（4）；（5）【解析】（1），.（2），，.（3），.（4），.（5），．【題組3求導(dǎo)數(shù)值問題】1、已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】由，可得，所以，則.故選：B.2、已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則（）A．1B．2C．12D．24【答案】D【解析】由題設(shè)，，故，可得，所以，故.故選：D3、若函數(shù)，則的值為（）A．1B．－1C．10D．4【答案】D【解析】由已知，，所以，所以，所以，所以函數(shù)，所以.故選：D.4、已知函數(shù)，則__________.【答案】2【解析】，令，則，即，解得故答案為：2.5、已知函數(shù)，則______.【答案】【解析】因?yàn)樗?，所以，解得，故，?故答案為：-9.【題組4求切線的方程或斜率】1、曲線在處的切線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得,故當(dāng)時,斜率，又切線過點(diǎn)，故切線方程為，即故選：C.2、已知，則在x＝1處的切線方程是______．【答案】【解析】已知當(dāng)時，由，得根據(jù)點(diǎn)斜式可得：故答案為:3、（多選）已知曲線.則曲線過點(diǎn)P（1，3）的切線方程為.（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)（1，3），所以，即，即，解得或，所以切線方程為或，故選：AB4、已知函數(shù)，.（1）求該函數(shù)的圖象斜率為的切線方程；（2）求該函數(shù)的圖象過點(diǎn)的切線方程.【答案】（1）；（2），或.【解析】（1）由，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍芯€的斜率為，所以有，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為：；（2）由，設(shè)切點(diǎn)為，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為，因此切線方程為：，因?yàn)榍芯€過，所以，解得，或，當(dāng)時，切線方程為：；當(dāng)時，切線方程為：，所以切線方程為，或.【題組5利用切線求參數(shù)問題】1、曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則a，b的值分別為（）A．-1，1B．-1，-1C．1，1D．1，-1【答案】C【解析】依題意，切點(diǎn)為，斜率為，，所以，解得.故選：C2、曲線（）在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，即切線斜率為，又∵曲線（）在點(diǎn)處的切線與直線垂直，∴，即．故選：A．3、已知P是曲線上的一動點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________【答案】【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角，所以對于任意的恒成立，即對任意恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，所以a的取值范圍是．故答案為：.4、若過可做的兩條切線，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，則切線方程為：，把點(diǎn)代入可得，化為：，則此方程有大于0的兩個實(shí)數(shù)根．則，即，則，故選：A．5、若直線是曲線與的公切線，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)直線與的圖象相切于點(diǎn)，與的圖象相切于點(diǎn)，又，，所以，，由點(diǎn)在切線上，得切線方程為；由點(diǎn)在切線上，得切線方程為，故，解得，，故.故選：B.【題組6利用相切