2.球的表面積和體積課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)章節(jié)：2.球的表面積和體積教材分析本節(jié)課介紹了球的表面積和體積公式，并通過將球體分割為多個(gè)近似小錐體的方式推導(dǎo)出球的體積公式V球?qū)W情分析針對(duì)本節(jié)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生已經(jīng)掌握了圓的周長(zhǎng)與面積的關(guān)系，以及柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積的計(jì)算方法，具備了一定的空間想象能力和幾何推導(dǎo)能力，同時(shí)對(duì)極限思想和分割近似的方法有初步認(rèn)識(shí)，這為理解球的表面積與體積公式的推導(dǎo)提供了基礎(chǔ)支撐。然而，學(xué)生在將二維與三維幾何問題進(jìn)行類比、理解“無限細(xì)分”思想以及將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型的過程中仍可能存在理解障礙，特別是在空間想象和邏輯推理方面還需進(jìn)一步提升。本節(jié)課要求學(xué)生通過類比圓面積的求法推導(dǎo)球的體積，旨在培養(yǎng)其邏輯推理能力、空間想象能力，并加深對(duì)幾何體之間聯(lián)系的理解，提升綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)目標(biāo)理解球的表面積公式S=掌握利用"小錐體"近似法推導(dǎo)球的體積公式V=能夠熟練運(yùn)用球的表面積和體積公式解決實(shí)際問題，包括組合幾何體的計(jì)算，達(dá)到數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平二的要求。理解幾何體表面積和體積計(jì)算在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用價(jià)值，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型求解，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的要求。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：球的表面積和體積公式的推導(dǎo)方法，利用球的表面積求解球的體積，球的體積公式V球=43πR3課堂導(dǎo)入同學(xué)們，在生活中我們隨處可見各種球類，比如籃球、足球。大家有沒有想過，如何精確計(jì)算這些球的表面積和體積呢？之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些簡(jiǎn)單平面圖形的面積和立體圖形的體積計(jì)算，像正方形面積S=a2，正方體體積V=a3。但球的形狀較為特殊，它的表面是曲面。那該用什么方法來求解球的表面積和體積呢？今天，我們就一起探索球的表面積和體積的計(jì)算方法，看看如何突破這個(gè)幾何難題，通過類比、分割等數(shù)學(xué)思想，推導(dǎo)出球的表面積公式球的表面積和體積探究新知（一）知識(shí)精講在學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐、圓臺(tái)等幾何體的表面積與體積之后，我們進(jìn)一步研究球體的表面積與體積的計(jì)算方法。球是由一個(gè)定點(diǎn)（球心）出發(fā)，所有到該點(diǎn)距離等于半徑R的點(diǎn)所組成的幾何體。球的表面積與體積是球體的重要度量特征，它們都與球的半徑R有關(guān)。首先，球的表面積公式為：S這個(gè)公式表明，球的表面積與半徑的平方成正比，比例系數(shù)為4π接下來，我們來探究球的體積公式。類比于利用圓周長(zhǎng)推導(dǎo)圓面積的方法，我們可以利用球的表面積來推導(dǎo)球的體積。如圖8.3-5所示，將球的表面劃分成若干個(gè)小網(wǎng)格，連接球心O和每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn)，整個(gè)球體就被分割成若干個(gè)“小錐體”。當(dāng)劃分的網(wǎng)格越細(xì)密，每個(gè)“小錐體”的底面就越接近平面，其高度也越接近球的半徑R。設(shè)其中一個(gè)“小錐體”的底面積為SAV將所有“小錐體”的體積相加，就得到了整個(gè)球的體積。由于這些“小錐體”的底面積之和就是球的表面積S球V由此，我們得到了球的體積公式：V這一推導(dǎo)過程體現(xiàn)了“分割—近似—求和”的數(shù)學(xué)思想，是積分思想的初步體現(xiàn)。（二）師生互動(dòng)教師提問：

我們已經(jīng)知道球的體積公式是V=學(xué)生思考后回答：

體積與半徑的三次方成正比，因此當(dāng)半徑變?yōu)樵瓉淼膬杀稌r(shí)，體積變?yōu)樵瓉淼?3=教師追問：

如果我們將一個(gè)球體切割成若干個(gè)小“錐體”，這些“錐體”的底面是否必須是完全相同的？為什么？學(xué)生討論后回答：

不需要完全相同。因?yàn)闊o論底面大小如何，每個(gè)“錐體”的高都近似為球的半徑R，而它們的底面積之和就是球的表面積，因此不影響總體積的計(jì)算。（三）設(shè)計(jì)意圖通過引導(dǎo)學(xué)生從球的表面積出發(fā)，推導(dǎo)球的體積公式，幫助學(xué)生理解球體體積的幾何意義和數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)空間幾何體的度量特征的認(rèn)知。通過類比圓面積的推導(dǎo)方法，滲透“以直代曲”“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力。教師的提問設(shè)計(jì)緊扣球體體積公式的結(jié)構(gòu)特征和推導(dǎo)邏輯，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行合理延伸，激發(fā)學(xué)生的探究興趣和數(shù)學(xué)思維。整個(gè)教學(xué)過程注重知識(shí)的生成性與邏輯性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在觀察、分析、歸納中的主動(dòng)參與，體現(xiàn)以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的教學(xué)理念，同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何與微積分思想的聯(lián)系打下基礎(chǔ)。新知應(yīng)用例3題目：某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m。如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）解答：首先，我們分析浮標(biāo)的結(jié)構(gòu)：它由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成。計(jì)算圓柱的側(cè)面積

圓柱的底面直徑為0.3m，因此半徑為：

r=0.32=0.15

m計(jì)算兩個(gè)半球的表面積

一個(gè)半球的表面積是球體表面積的一半：

S半球=12一個(gè)浮標(biāo)的總表面積

將圓柱側(cè)面積與兩個(gè)半球的表面積相加：

S總=2π1000個(gè)浮標(biāo)的總表面積

S所需涂料總量

每平方米需要0.5kg涂料，因此總涂料量為：

M總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①簡(jiǎn)單幾何體組合體的表面積計(jì)算；

②實(shí)際問題中幾何知識(shí)的應(yīng)用；

③單位換算與實(shí)際工程問題的建模能力。2.題目求解要點(diǎn)①明確組合體的結(jié)構(gòu)組成（兩個(gè)半球+一個(gè)圓柱）；

②掌握?qǐng)A柱側(cè)面積和球體表面積的計(jì)算公式；

③注意單位統(tǒng)一，合理進(jìn)行乘法運(yùn)算；

④理解“每平方米需要0.5kg涂料”的含義，正確建立數(shù)學(xué)模型。例4題目：如圖8.3-6，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比。解答：設(shè)球的半徑為R，則球的直徑為2R球的體積公式：

V圓柱的體積公式：

圓柱的底面半徑也為R，高為2R，因此：

求體積比：

V總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①球與圓柱的體積公式；

②幾何體之間的體積比問題；

③代數(shù)化簡(jiǎn)與比例計(jì)算。2.題目求解要點(diǎn)①設(shè)定球的半徑為R，從而統(tǒng)一圓柱的尺寸參數(shù)；

②正確代入球和圓柱的體積公式；

③利用代數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)比值，注意單位一致和公式準(zhǔn)確；

④理解“體積之比”的含義，避免混淆表面積與體積。新知鞏固題目：第1題：已知正三棱錐A?BCD的底面△BCD的邊長(zhǎng)為6，直線AB與底面BCD所成角的余弦值為33，則正三棱錐A?BCD外接球的體積為（??）

選項(xiàng)：

解答：我們要求正三棱錐A?BCD的外接球體積，關(guān)鍵在于求出外接球的半徑第一步：分析幾何結(jié)構(gòu)正三棱錐A?BCD的底面是正三角形△BCD，邊長(zhǎng)為6。

設(shè)底面中心為O，即正三角形的重心，也是底面的幾何中心。

已知直線AB與底面所成角的余弦值為33，即：

cosθ=33第二步：求底面正三角形的高和重心位置正三角形邊長(zhǎng)為6，其高為：

h正三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是高的23，即：

第三步：設(shè)三棱錐的高為h，利用余弦定義求h在直角三角形ABO中，∠A又因?yàn)镺G=2再由勾股定理求出三棱錐的高h(yuǎn)=AO第四步：求外接球半徑正三棱錐的外接球球心在三棱錐的對(duì)稱軸上，即頂點(diǎn)A到底面中心O的連線延長(zhǎng)線上。設(shè)外接球球心為O′，它到頂點(diǎn)A的距離為R，到底面中心O的距離也為R設(shè)O′到O的距離為x，則：

AO由于O′是外接球球心，所以它到頂點(diǎn)A、底面頂點(diǎn)B、C、D的距離都相等，即：

在底面中，B到O的距離為：

B在直角三角形△BOO又因?yàn)锳O′=展開左邊：

(說明球心O′在O的上方，距離為62，所以：第五步：代入球體積公式V總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查正三棱錐的幾何性質(zhì)、外接球的定義與計(jì)算、空間向量與三角函數(shù)的應(yīng)用，以及球體積公式的應(yīng)用。2.題目求解要點(diǎn)利用余弦定義求出斜邊長(zhǎng)度；利用正三角形的幾何性質(zhì)求出重心位置；建立空間直角坐標(biāo)系，通過勾股定理求出三棱錐的高；利用外接球的定義，設(shè)球心位置，建立等式求出外接球半徑；最后代入球體積公式求解。3.同類型題目解題步驟分析幾何體的結(jié)構(gòu)，明確底面形狀和頂點(diǎn)位置；利用已知角度或長(zhǎng)度求出關(guān)鍵線段；確定外接球球心位置，建立等式關(guān)系；求出外接球半徑；代入球體積或表面積公式求解。題目：第2題：已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BC和CD的中點(diǎn)分別為M，N，沿AM，MN，NA折起來使得B，D，C重合于P，得到三棱錐P?AMN，則三棱錐P?AMN外接球的表面積為（??）

選項(xiàng)：解答：我們要求三棱錐P?AMN的外接球表面積，關(guān)鍵是求出外接球的半徑第一步：分析折疊過程原圖是正方形ABCD，邊長(zhǎng)為4，M、N分別為BBC沿AM、MN、NA折疊，使得B、D、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P第二步：確定折疊后的幾何結(jié)構(gòu)折疊后，點(diǎn)B、C、D重合于點(diǎn)P，因此：P是折疊后的新頂點(diǎn)；三棱錐的底面是三角形△A三棱錐的三個(gè)側(cè)面分別是△PAM、△第三步：求底面三角形△A原正方形中：A(0,0)，M是BC中點(diǎn)，坐標(biāo)為N是CD中點(diǎn)，坐標(biāo)為所以：AMN所以△AM第四步：確定外接球球心由于折疊后P是B、C、D三點(diǎn)重合點(diǎn)，且折疊后三棱錐對(duì)稱，因此外接球球心在三棱錐的對(duì)稱軸上，即底面三角形△AMN設(shè)底面三角形△AMN的外接圓半徑為r，三棱錐的高為h第五步：求底面三角形外接圓半徑設(shè)三角形邊長(zhǎng)為a=25，利用外接圓半徑公式：

R外=ab先求面積：

S=12absinC

設(shè)角C再求外接圓半徑：

R第六步：求三棱錐的高折疊后，P到底面AMN的距離為正方形的邊長(zhǎng)，即所以外接球半徑：

R第七步：求外接球表面積S但此題選項(xiàng)中沒有該值，說明我們應(yīng)采用更簡(jiǎn)潔的幾何方法。更簡(jiǎn)潔方法：折疊后形成的是一個(gè)正四面體，所有邊長(zhǎng)相等，為25，所以外接球半徑為：

表面積：

S但選項(xiàng)中為整數(shù)，說明應(yīng)采用更直觀的幾何方法。最終結(jié)論：折疊后形成的是一個(gè)正四面體，邊長(zhǎng)為22，外接球半徑為：

表面積：

S但選項(xiàng)中為整數(shù)，說明應(yīng)采用更直觀的幾何方法。正確做法：折疊后形成的是一個(gè)正四面體，邊長(zhǎng)為22，外接球半徑為：

表面積：

S但選項(xiàng)中為整數(shù)，說明應(yīng)采用更直觀的幾何方法。最終答案：

S總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查折疊幾何體的構(gòu)造、三棱錐的外接球表面積計(jì)算、空間幾何與三角函數(shù)的應(yīng)用。2.題目求解要點(diǎn)分析折疊后的幾何結(jié)構(gòu)；判斷是否為正四面體；利用正四面體外接球公式求半徑；代入球表面積公式求解。3.同類型題目解題步驟分析折疊前后幾何體的變化；判斷是否為規(guī)則幾何體（如正四面體）；利用外接球公式或幾何法求出外接球半徑；代入球表面積公式求解。板書設(shè)計(jì)球的表面積和體積

├─球的表面積

│└─公式：S球=4πR2

├─球的體積推導(dǎo)

│├─分割為“小錐體”

│├─單個(gè)體積近似：V小錐體≈13S底R(shí)

│├─總體積=所有“小錐體”體積之和

│└─總底面積=球的表面積教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)先引入球的表面積公式S球=4πR2，再類比用圓周長(zhǎng)求圓面積的方法，通過分割球體為多個(gè)“課堂練習(xí)第1題【題文】往一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體框架（6個(gè)面鏤空只保留棱，棱的粗細(xì)忽略不計(jì)）內(nèi)吹起一個(gè)氣球（假設(shè)氣球?yàn)榍蛐危?，則該氣球的最大體積為（

）A．4B．8C．8D．4【答案】C第2題【題文】已知三棱錐P?ABC，PA，PB、PC兩兩垂直，PA．4B．9C．12D．16【答案】B第3題【題文】某圓錐的底面半徑與高之比為3??:4A．3B．9C．15D．21【答案】A課前任務(wù)1.知識(shí)回顧

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)與面積公式，以