9.1.2分層隨機抽樣課程：高中數學教材：高中數學人教A版必修第二冊章節(jié)：9.1.2分層隨機抽樣教材分析本節(jié)課通過分析樹人中學高一年級學生身高的實際問題，引出分層隨機抽樣的概念和方法，介紹了如何利用總體中的輔助信息改進簡單隨機抽樣，避免極端樣本的出現，提高估計的準確性。教學過程從問題出發(fā)，引導學生思考抽樣方法的改進，通過計算和比較分析，幫助學生理解分層抽樣的優(yōu)勢。本節(jié)內容與前文簡單隨機抽樣的學習密切相關，為后續(xù)進一步學習非比例分配的分層抽樣及其他抽樣方法打下基礎。通過本節(jié)課的學習，學生能夠提升數據分析和統(tǒng)計推斷的能力，理解如何根據實際問題選擇合適的抽樣方法，為后續(xù)學習統(tǒng)計案例和實際調查研究提供了方法支持和思維引導。學情分析學生在初中階段已經學習了簡單的數據收集與整理、平均數等統(tǒng)計基礎知識，并在本章前面的內容中掌握了簡單隨機抽樣的概念及其在估計總體中的應用，具備了一定的數據分析意識和邏輯推理能力；高中階段學生的抽象思維能力和對實際問題的理性分析能力逐步增強，能夠理解統(tǒng)計方法背后的邏輯；本節(jié)課要求學生理解分層隨機抽樣的基本思想、掌握比例分配的方法，并能通過比較簡單隨機抽樣與分層隨機抽樣的結果，體會分層抽樣在提高估計精度方面的優(yōu)勢，從而提升其數據分析、數學建模等核心素養(yǎng)。教學目標理解分層隨機抽樣的概念和原理，能夠解釋其在減少"極端"樣本方面的優(yōu)勢，達到數學抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握比例分配的分層隨機抽樣方法，能夠根據總體結構合理分配各層樣本量，達到數學建模核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠計算分層隨機抽樣中各層的樣本平均數和總體平均數估計值，達到數學運算核心素養(yǎng)水平二的要求。通過比較分層隨機抽樣與簡單隨機抽樣的效果，理解分層隨機抽樣的適用條件，達到數據分析核心素養(yǎng)水平三的要求。能夠根據實際問題特點選擇合適的抽樣方法，并說明理由，達到數學建模和數據分析核心素養(yǎng)水平三的要求。重點難點教學重點：分層隨機抽樣的概念及其實施方法，比例分配的原理，用分層抽樣估計總體平均數的方法。

教學難點：分層抽樣中總體平均數的估計公式推導，分層抽樣與簡單隨機抽樣的效果比較分析。課堂導入同學們，假設我們要調查全校學生每月的零花錢情況。若用簡單隨機抽樣，可能抽到的大多是住校生，或大多是走讀生，這就會使樣本很“極端”，導致對全校學生零花錢的估計出現較大誤差。那該如何改進呢？大家想想，住校生和走讀生的零花錢使用情況可能差異較大，我們能否根據這個差異，把學生分為住校生和走讀生兩個群體，再分別從這兩個群體中進行抽樣呢？如果可以，樣本量又該如何分配？今天我們就來學習一種新的抽樣方法——分層隨機抽樣，看看它能否解決這些問題。分層隨機抽樣探究新知（一）知識精講在抽樣調查中，樣本的代表性是影響估計結果準確性的關鍵因素。簡單隨機抽樣雖然保證了每個個體被抽取的機會均等，但由于抽樣的隨機性，可能會出現“極端”樣本，導致樣本平均數與總體平均數之間存在較大偏差。為了提高樣本的代表性，我們可以利用總體中的一些額外信息對抽樣方法進行改進。例如，在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，我們知道性別是影響身高的一個重要因素。男生和女生的身高分布存在明顯差異，而同一性別內部的身高差異相對較小。因此，我們可以將總體按照性別劃分為兩個子總體（男生和女生），然后分別在每個子總體中進行簡單隨機抽樣，最后將兩個樣本合并，形成總體的一個樣本。這種方法稱為分層隨機抽樣。在分層隨機抽樣中，為了使樣本的結構更接近總體的分布，通常采用比例分配的方式確定各層的樣本量。即每一層的樣本量與該層在總體中所占的比例成正比。例如，樹人中學高一年級共有712名學生，其中男生326人，女生386人。若總樣本量為50，則男生樣本量為：n女生樣本量為：n通過這種方式抽取樣本后，可以分別計算男生和女生的樣本平均身高，再根據各自人數加權計算總體的估計平均身高：w其中，M、N分別為男生和女生的總人數，x、y分別為男生和女生的樣本平均數。在比例分配的分層隨機抽樣中，樣本平均數可以直接作為總體平均數的估計值，即：w與簡單隨機抽樣相比，分層隨機抽樣能有效減少樣本的極端情況，使樣本平均數圍繞總體平均數的波動更加穩(wěn)定，從而提高估計的準確性。（二）師生互動教師提問1：

在簡單隨機抽樣中，為什么會出現樣本平均數偏離總體平均數的情況？學生回答：

因為抽樣具有隨機性，有可能抽到的樣本中某一類個體比例過高或過低，導致樣本結構與總體結構不一致，從而影響估計結果。教師提問2：

如果我們知道總體中存在某些變量（如性別）對研究變量（如身高）有顯著影響，應該怎樣改進抽樣方法？學生回答：

可以將總體按照這些變量分成若干層，然后在每一層中分別進行抽樣，這樣可以保證每一層都有代表性的樣本，提高整體估計的準確性。教師提問3：

在分層隨機抽樣中，為什么要按照各層的比例來分配樣本量？學生回答：

這樣可以保證樣本的結構與總體的結構一致，避免某一層被過度抽取或抽取不足，從而提高估計的代表性。教師提問4：

如果在分層抽樣中，某一層的樣本平均數與總體平均數相差較大，是否會影響最終的估計結果？學生回答：

不會，因為每層的樣本平均數是根據該層在總體中的比例進行加權的，即使某一層的樣本平均數偏離較大，只要該層在總體中所占比例較小，對總體估計的影響也會被控制在合理范圍內。（三）設計意圖通過本部分知識的講解，引導學生理解分層隨機抽樣的基本原理及其相對于簡單隨機抽樣的優(yōu)勢，掌握分層抽樣中比例分配的基本方法和總體平均數的估計方式。在師生互動中，通過層層遞進的問題引導學生思考抽樣方法的改進邏輯，培養(yǎng)其數據分析和問題解決能力。同時，通過具體案例的分析和公式推導，幫助學生建立數學建模的意識，理解統(tǒng)計思想在實際問題中的應用價值。整個教學過程注重知識的邏輯性和系統(tǒng)性，強調學生在已有知識基礎上的主動建構，體現統(tǒng)計學知識的實用性和科學性。

新知應用例題題目：在樹人中學高一年級的712名學生中，男生有326名，女生有386名。為了調查學生身高，采用分層隨機抽樣方法，抽取一個容量為50的樣本。已知男生和女生身高的樣本平均數分別為170.6cm和160.6cm。試估計該年級學生的平均身高。解答：我們知道，分層隨機抽樣中，總體平均數的估計公式為：W其中：M：第一層（男生）的總人數，即326；N：第二層（女生）的總人數，即386；x：第一層（男生）的樣本平均身高，即170.6cm；y：第二層（女生）的樣本平均身高，即160.6cm；M+N：總體人數，即代入數據計算：W先分別計算分子中的兩個乘積：326386將它們相加：55615.6再除以總人數：W因此，估計樹人中學高一年級學生的平均身高約為165.2cm。總結：1.題目考查內容①分層隨機抽樣的基本原理與應用；

②利用樣本平均數估計總體平均數的方法；

③加權平均數的計算。2.題目求解要點①理解分層抽樣中各層樣本平均數與總體人數的關系；

②掌握加權平均數的計算公式，并能準確代入數據進行運算；

③注意單位的一致性，確保計算過程無誤。新知鞏固題目：第1題解答：我們逐項分析選項的正確性：①回歸直線一定過樣本點中心(x,y)

這是線性回歸的基本性質之一。在最小二乘法下，回歸直線y=a+②我校高一、高二、高三共有學生4800人，其中高三有1200人。為調查學生視力情況，用分層抽樣的方法從全校學生中抽取一個容量為200的樣本，那么應從高三年級抽取40人

總人數為4800人，高三人數為1200人，占總人數的比例為：

12004800=14

因此，抽取的高三學生人數應為：

14×200=③若一組數據x1,x2,…,xn的方差為5，則另一組數據x1+1,x2+④把六進制數210(6)轉換成十進制數為：210(6)綜上，正確的說法是①④?？偨Y：1.題目考查內容線性回歸的基本性質分層抽樣的計算方差的性質進制轉換方法2.題目求解要點回歸直線必過樣本中心點分層抽樣中樣本量按比例分配數據整體平移不影響方差進制轉換按權展開法進行3.同類型題目解題步驟理解每個選項的數學含義判斷是否涉及統(tǒng)計量的性質（如方差、均值）判斷是否涉及抽樣方法（如分層抽樣）對于進制轉換，按權展開法逐位計算十進制值綜合判斷選項的正誤題目：第2題解答：題目給出：初中生600人，高中生200人按比例分配的分層隨機抽樣，抽取初中生m人，高中生n人總樣本平均成績?yōu)?4分初中生平均成績?yōu)?2分高中生平均成績?yōu)閤分根據比例分配原則，樣本量也應按總體人數比例分配：

mn=600200=3?m=3n

又因為總樣本數為m+n總結：1.題目考查內容分層抽樣中的比例分配加權平均數的計算2.題目求解要點根據總體人數比例確定樣本比例利用加權平均公式列出方程解方程求出未知數3.同類型題目解題步驟確定分層抽樣中各層樣本量的比例設定變量表示各層樣本量列出加權平均公式代入已知數據，解方程求未知量題目：第3題解答：逐項分析：A.用分層抽樣法從1000名學生（男、女分別占60%、40%）中抽取100人，則每位男生被抽中的概率為110

男生人數為：1000×60%=600

抽取男生人數為：100×60B.將一組數據中的每個數據都乘以3后，平均數也變?yōu)樵瓉淼?倍

設原數據為x1,x2,…,xn，平均數為xC.將一組數據中的每個數據都乘以3后，方差也變?yōu)樵瓉淼?倍

設原數據方差為s2，則新數據方差為：

Var(3xi)=32?D.一組100個數據的平均數是5，方差為1，現將其中一個值為5的數據剔除后，余下99個數據的方差是10099

原數據總和為：100×5=500

剔除一個5后，新總和為：500?5=495

新平均數為：49599=5

原方差為1，說明：

1100∑i綜上，錯誤的說法是C?？偨Y：1.題目考查內容分層抽樣中個體被抽中的概率數據變換對平均數和方差的影響剔除數據后方差的計算2.題目求解要點分層抽樣中樣本按比例抽取平均數隨數據整體乘以常數而放大方差隨數據整體乘以常數而放大平方倍剔除數據后重新計算方差時注意平方和的變化3.同類型題目解題步驟確定抽樣方法及樣本比例分析數據變換對統(tǒng)計量的影響若剔除數據，重新計算平方和與方差判斷選項是否符合統(tǒng)計規(guī)律板書設計分層隨機抽樣

├─核心問題：提高樣本代表性

├─改進思路

│├─利用輔助信息（如性別）

│├─將總體分層（差異大、層內差異?。?/p>

│└─每層獨立抽樣，匯總為總樣本

├─樣本量分配

│├─按比例分配

││├─男生樣本量：男生人數全體人數×總樣本量

││└─女生樣本量：女生人數全體人數×總樣本量

│└─比例分配特點：每層個體被抽中概率相等

├─總體平均數估計

│├─分層估計公式：MM+Nx+NM+Ny

│└─比例分配下：樣本平均數w直接估計總體平均數W

├─分層隨機抽樣特點

│├─避免極端樣本

│├─層間差異明顯，層內差異小

│├─組織實施更方便

│└─可同時估計總體與各層特征

├─教學反思本教學設計從簡單隨機抽樣可能出現“極端”樣本引入，以樹人中學高一年級學生身高調查為例，引導學生思考利用性別信息改進抽樣方法，講解分層隨機抽樣概念、樣本量分配及總體平均數估計，還通過探究對比分層隨機抽樣與簡單隨機抽樣的估計效果。本課程基本完成教學任務，多數學生能理解分層隨機抽樣相關知識。成功之處在于結合實例，讓學生易于理解；引導學生思考樣本量分配，培養(yǎng)思維能力。不足之處在于探究環(huán)節(jié)，對兩種抽樣方法差異的討論可更深入，讓學生更好理解分層隨機抽樣優(yōu)勢，且應關注更多學生對公式推導的理解程度。課堂練習第1題【題文】在對某中學高三年級學生體重（單位：kg）的調查中，按男、女生人數比例用分層隨機抽樣的方法抽取部分學生進行測量．已知抽取的男生有60人，其體重的平均數和方差分別為65,32，抽取的女生有40人，其體重的平均數和方差分別為55,A．24B．27C．48D．54【答案】C第2題【題文】某公司為了調查員工的體重（單位：千克），因為女員工遠多于男員工，所以按性別分層，用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，已知抽取的所有員工的體重的方差為120，女員工的平均體重為50，方差為50，男員工的平均體重為70，方差為30．若樣本中有21名男員工，則女員工的人數為（

）A．28B．35C．63D．48【答案】C第3題【題文】某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160,180A．直方圖中xB．圖中所有矩形面積之和為1C．月平均用電量的中位數為225D．在月平均用電量為[220,240),[240【答案】C課前任務1.知識回顧

我們已經學習了簡單隨機抽樣的概念和應用，知道它是從總體中隨機抽取樣本的一種方法，每個個體被抽中的機會相等。但在實際應用中，可能會出現樣本代表性不足的問題，導致估計結果偏差較大。2.預習教材

閱讀教材中關于“分層隨機抽樣”的內容，了解如何利用總體中的輔助信息（如性別）對抽樣方法進行改進。重點關注分層隨機抽樣的定義、比例分配的原理，以及如何用樣本平均數估計總體平均數。記錄你對“層”的概念和樣本分配方法的理解與疑問。3.問題思考

如果已知總體中不同性別學生的身高存在明顯差異