專題07整式的乘法（10種題型解讀）整式的乘除運算步驟說明補充說明及注意事項單項式乘單項式①將單項式系數(shù)相乘作為積的系數(shù);

②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的乘法，作為積的一個因式;

③單獨出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積的一個因式.1）實質:乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用.

2）單項式乘單項式所得結果仍是單項式.單項式乘多項式①先用單項式和多項式的每一項分別相乘；

②再把所得的積相加.1）單項式乘多項式實質上是轉化為單項式乘以單項式

2）單項式乘多項式的結果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.多項式乘多項式①先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，

②再把所得的積相加．運用法則時應注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；

②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號.且結果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應等于原多項式的項數(shù)之積．【考點題型一】整式乘法的計算1．（23-24八年級上·遼寧盤錦·階段練習）計算：(1)?2x(2)3x(3)x?3x(4)3x?yx+2y2．（23-24八年級上·河南南陽·階段練習）計算下列各題(1)3(2)a+1【考點題型二】利用整式乘法求值3．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）已知M和N表示單項式，且3xM?5x=6x2y2+N4．（23-24八年級上·重慶渝中·期中）若xx2?a+3x?2b=x35．（23-24八年級上·山西長治·期末）若x2+ax+b=(x+1)(x?3)，則a+b的值為【考點題型三】與整式乘法有關的錯看錯解問題6．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）在計算2x+ax+b時，甲錯把b看成了6，得到的結果是：2x2+8x?24；乙錯把a看成了?a，得到的結果是：2x7．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）閱讀理解：已知ab=3，求－2b解：原式=?4=?4=?4×=?78．這樣的方法我們稱為“整體代入法”．請仿照上面的方法解答下列問題：已知xy2=68．（23-24七年級下·寧夏銀川·階段練習）某同學在計算一個多項式乘?4x3時，因抄錯運算符號，算成了加上?4x9．（21-22七年級下·廣東河源·期末）甲、乙兩人共同計算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄錯了a的符號，得到的結果是2x2?7x+3，乙漏抄了第二個多項式中(1)求?2a+ba+b(2)若整式中的a的符號不抄錯，且a=3，請計算這道題的正確結果．10．（23-24七年級下·寧夏銀川·階段練習）有這樣一道題：“化簡求值：a+22?a+122a?3?4a11．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）小馬和小虎兩人共同計算一道整式乘法題：3x+a2x+b，由于小馬抄錯了b的符號，得到的結果為6x2?17x+12；由于小虎漏抄了第一個多項式中(1)求出a，b的值；(2)請你計算出這道整式乘法題的正確結果．【考點題型四】與整式乘法有關的遮擋問題12．（23-24八年級上·山西朔州·階段練習）課后小明拿出數(shù)學筆記本復習，發(fā)現(xiàn)一道題被墨水污染了：?3x?x2?x+1=?3xA．3x2+1 B．3x2?113．（21-22七年級下·湖南株洲·期末）有一道數(shù)學題，部分內容被墨水污染了：先化簡，再求值(a?3)(a+3)?(a?2)2，其中a=“”，小明翻開答案看到這題的結果是7．那么14．（22-23七年級下·全國·假期作業(yè)）小紅準備完成題目：計算，她發(fā)現(xiàn)第一個因式的一次項系數(shù)被墨水遮擋住了．(1)她把被遮住的一次項系數(shù)猜成3，請你完成計算：x2(2)老師說：“你猜錯了，這個題目的正確答案是不含一次項的，”請通過計算說明原題中被遮住的一次項系數(shù)是多少？【考點題型五】整式乘法的應用15．（23-24八年級上·河北邯鄲·期末）發(fā)現(xiàn)：任意三個連續(xù)的奇數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的平方差是4的倍數(shù)．驗證：(1)92(2)設三個連續(xù)的奇數(shù)中間的一個為2n+1（n為整數(shù)），計算最大奇數(shù)與最小奇數(shù)的平方差，并說明它是8的倍數(shù)．16．（23-24七年級上·山東青島·期中）如圖①，正方形ABCD的邊長為a．(1)如圖②，延長AB到A1，使A1B=BA，延長BC到B1，使(2)如圖③，延長AB到A2，使A2B=b，延長BC到B2，使17．（23-24八年級上·北京海淀·期中）如圖①是某年某月的月歷，用如圖②所示的“凹”字型框在月歷中任意圈出5個數(shù)，設“凹”字型框中的五個數(shù)分別為a1，a2，a，a

①

②(1)用含a的代數(shù)式表示：a2=__________，(2)求證：a118．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖1，是2022年2月份的日歷，選擇其中所示的方框部分，將這四個數(shù)字按照：“右上角數(shù)字×左下角數(shù)字﹣左上角數(shù)字×右下角數(shù)字”進行計算．(1)計算：8×14?7×15=；19×25?18×26=；(2)請猜想方框里的四個數(shù)字計算結果的規(guī)律，若左上角數(shù)字為m，請用整式運算對猜想的規(guī)律加以證明；(3)如圖2，選擇任意的九個數(shù)字方框，將四個角上的數(shù)字，仍按照題中的運算方法計算，（2）中的規(guī)律還成立嗎？直接寫出是否成立．【考點題型六】與整式乘法有關的無關型問題19．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）已知關于x的代數(shù)式x+2mx2?x+12(1)求m，n的值；(2)求代數(shù)式m202320．（23-24七年級上·陜西西安·期末）若關于x的多項式2x+a與?x2+bx?2的乘積展開式中沒有二次項，且常數(shù)項為20，求a21．（21-22七年級下·江蘇無錫·期中）已知：x+ax?34的結果中不含關于字母x22．（23-24七年級上·四川成都·期末）【閱讀理解】在計算機上可以設置程序，將二次多項式處理成一次多項式，設置程序為：將二次多項式A的二次項系數(shù)乘以2作為一次多項式B的一次項系數(shù)，將二次多項式A的一次項系數(shù)作為一次多項式B的常數(shù)項．例如：A=5x2?7x+2，A【知識應用】關于x的二次多項式A經過程序設置得到一次多項式B，己知A=x(1)若B=3nx?m，求m，n的值；(2)若A?mB的結果中不含一次項，求關于x的方程B=m的解；(3)某同學在計算A?2B時，把A?2B看成了2A?B，得到的結果是2x2?4x?3【考點題型七】與整式乘法有關的化簡求值問題23．（23-24七年級下·江蘇宿遷·階段練習）先化簡，再求值：a?b3b?a3+b?a24．（22-23七年級下·陜西西安·階段練習）已知x2+3x?4=0，求代數(shù)式25．（22-23七年級下·河北石家莊·期末）楊老師在黑板上布置了—道題，小白和小紅展開了下面的討論：已知y=?1時，求代數(shù)式：x+2yx?2y這道題與x無關，是可以解的．只知道y的值，沒有告訴x的值，求不出答案．根據上述情景，你認為誰說得對？為什么？并求出代數(shù)式的值．26．（22-23八年級上·湖南衡陽·期中）對于任意實數(shù)a、b、c、d，我們將式子abcd(1)計算4×10(2)若x2?3x?2=0，求【考點題型八】與整式乘法有關的圖形面積問題27．（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，甲長方形的兩鄰邊長分別為m+1，m+5，乙長方形的兩鄰邊長分別為m+2，m+4．（其中m為正整數(shù)）(1)圖中甲長方形的面積為S1，乙長方形的面積為S2，比較大?。篠1______S2（填“>”、“(2)現(xiàn)有一正方形，其周長與圖中甲長方形的周長相等，正方形的面積為S．若甲、乙兩個長方形的面積S1，S2與正方形的面積S滿足28．（23-24八年級上·湖北十堰·期末）“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結合思想證明代數(shù)問題的一種體現(xiàn)，做整式的乘法運算時利用幾何直觀的方法獲取結論，在解決整式運算問題時經常運用．例1：如圖1，可得等式：ab+c例2：由圖2，可得等式：a+2ba+b(1)如圖3，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，從中你發(fā)現(xiàn)的結論用等式表示為______；(2)利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c=10，a2+b(3)如圖4，拼成AMGN為大長方形，記長方形ABCD的面積與長方形EFGH的面積差為S．設CD=x，若S的值與CD無關，求a與b之間的數(shù)量關系．29．（23-24六年級上·山東濟南·期末）現(xiàn)有甲、乙、丙三種長方形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示．某同學分別用6張卡片和4張卡片拼出了兩個長方形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為S1，S2其周長分別為C1(1)請用含a的式子分別表示S1，S2，當a=2時，求(2)請用含a的式子分別表示C1，C2，當a=2時，求30．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）如圖，有甲、乙兩種長方形卡片若干張．(1)甲種長方形卡片的面積為______，乙種長方形卡片的面積為______，甲、乙兩張卡片的面積和為______；（結果需化簡）(2)試比較兩種長方形卡片的面積S甲、S(3)若用相同數(shù)量的甲、乙兩種長方形卡片剛好能夠拼成一個面積為60x【考點題型九】與整式乘法有關的規(guī)律探究問題31．（2024八年級·全國·競賽）（1）填空：(x?1)(x+1)=__________．(x?1)x(x?1)x……（2）猜想：(x?1)xn+（3）證明（2）中的猜想．（4）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：2201132．（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習）閱讀：在計算a?ba【觀察】a?ba?ba?b【歸納】a?ba【應用】計算2解：令a=2，b=1，n=2024則2?1∴結合上述材料，完成下列問題：(1)證明等式：a?ba(2)應用（1）中所證明等式，計算320(3)若多項式P，Q滿足a+b?P=a2024?b2024，a+b?Q=a202533．（23-24七年級下·重慶·階段練習）觀察下列等式：3×7=2113×17=22123×27=62133×37=122143×47=2021…從這些計算結果中，你能發(fā)現(xiàn)什么？我們發(fā)現(xiàn)了一個速算法則：十位數(shù)字相同，個位數(shù)字分別是3和7的兩個兩位數(shù)的乘積，可以先寫出它們的十位數(shù)字與其下一個自然數(shù)的乘積，再在末尾接著寫上3和7的乘積21．例如，計算53×57，因為5×6=30，3×7=21，所以53×57=3021．(1)利用以上規(guī)律直接寫出結果：93×97=______；(2)設兩個因數(shù)的十位數(shù)字為a，用含a的代數(shù)式表示上述速算法則：______×______=______；(3)普于思考的小聰通過計算22×28=616

34×36=122485×85=7225

69×61=4209…發(fā)現(xiàn)“十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10的兩位數(shù)乘法”也有與上述材料類似的規(guī)律．設兩個因數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字分別為m，n，且m+n=10，請用含34．（23-24八年級上·福建莆田·期末）慶祝元旦期間，張老師出了一道“年份題”：計算20232張老師提示可將上述問題一般化為：計算n2+n2(n+1)當n=1時，12當n=2時，22當n=3時，32……(1)根據以上規(guī)律，請直接寫出20232(2)根據以上等式規(guī)律，請寫出第n個等式，并驗證其正確性；(3)某同學將上述問題更一般化為：計算n2+n2m2+m2的算術平方根，并猜想n【考點題型十】與整式乘法有關的新定義問題35．（22-23七年級下·陜西咸陽·階段練習）定義新運算abcd=a?db?c，如A．2x2?3xy+6C．?2x2+3xy+636．（23-24七年級上·湖南湘西·期末）定義一種新運算“★”：1★3=1×5?3=2；3★?1?5?觀察上述各式的運算方法，解答下列問題：(1)請按照以上新運算“★”的運算方法，寫出a★b的運算表達式；(2)若y+2★1?3y=1(3)若m★?n=2024，求37．（22-23七年級下·山西太原·期中）閱讀下列材料，完成相應的任務．平衡多項式定義：對于一組多項式x+a，x+b，x+c，x+d（a,b,c,d是常數(shù)），當其中兩個多項式的乘積與另外兩個多項式乘積的差是一個常數(shù)p時，稱這樣的四個多項式是一組平衡多項式，p的絕對值是這組平衡多項式的平衡因子．例如：對于多項式x+1，x+2，x+5，x+6，因為x+1，所以多項式x+1，x+2，x+5，x+6是一組平衡多項式，其平衡因子為?4=4任務：小明發(fā)現(xiàn)多項式x+3，x+4，x+6，x+7是一組平衡多項式，在求其平衡因子時，列式如下：x+3x+7A．判斷多項式x?1，x?2，x?4，x?5是否為一組平衡多項式，若是，求出其平衡因子；若不是，說明理由．B．若多項式x+2，x?4，x+1，x+m(m是常數(shù))是一組平衡多項式，求m的值．38．（22-23七年級下·北京順義·期末）18世紀歐拉引進了求和符號“k=ink”（其中i≤n，且i和n表示正整數(shù)），對這個符號我們進行如下定義：k=ink表示k從i開始取數(shù)一直取到n，全部加起來，即k=in(1)①k=19k，②k=912k，③(2)k=35(1+k)(3)k=3n(2?k)=(4)若k=2n(x?k)(x?k+1)=3x2+px+m，則n=，p=專題07整式的乘法（10種題型解讀）整式的乘法運算步驟說明補充說明及注意事項單項式乘單項式①將單項式系數(shù)相乘作為積的系數(shù);

②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的乘法，作為積的一個因式;

③單獨出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積的一個因式.1）實質:乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應用.

2）單項式乘單項式所得結果仍是單項式.單項式乘多項式①先用單項式和多項式的每一項分別相乘；

②再把所得的積相加.1）單項式乘多項式實質上是轉化為單項式乘以單項式

2）單項式乘多項式的結果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.多項式乘多項式①先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，

②再把所得的積相加．運用法則時應注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；

②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號.且結果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應等于原多項式的項數(shù)之積．【考點題型一】整式乘法的計算1．（23-24八年級上·遼寧盤錦·階段練習）計算：(1)?2x(2)3x(3)x?3x(4)3x?yx+2y【答案】(1)?4(2)?12(3)x(4)3【分析】本題考查了單項式乘多項式，多項式乘多項式，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方及整式的加減運算．（1）先算積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，再算合并同類項即可解答；（2）利用單項式乘多項式的法則，進行計算即可解答；（3）利用多項式乘多項式的法則，進行計算即可解答；（4）利用多項式乘多項式的法則，進行計算即可解答．【詳解】（1）解：原式=?8=?4x（2）解：原式=3=?12x（3）解：原式=x?==x（4）解：原式=3x?x+3x?2y?x?y?y?2y=3=3x2．（23-24八年級上·河南南陽·階段練習）計算下列各題(1)3(2)a+1【答案】(1)?6(2)?10【分析】此題考查了整式乘法的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握整式乘法的混合運算法則．（1）首先計算積的乘方，然后計算單項式乘以多項式；（2）首先計算多項式乘以多項式，然后計算加減．【詳解】（1）3==?6a（2）a+1===?10．【考點題型二】利用整式乘法求值3．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）已知M和N表示單項式，且3xM?5x=6x2y2+N【答案】2xy24．（23-24八年級上·重慶渝中·期中）若xx2?a+3x?2b=x3【答案】1【分析】本題主要考查單項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．利用單項式乘多項式的法則對等式左邊進行整理，再結合等式的性質進行求解即可．【詳解】解：xxx3x3∵原式子對任意x都成立，∴?a+3=5，?2b=?6，解得：a=?2，b=3，∴a+b=?2+3=1．故答案為：1．5．（23-24八年級上·山西長治·期末）若x2+ax+b=(x+1)(x?3)，則a+b的值為【答案】?5【分析】本題考查多項式乘多項式．掌握相應計算法則即可．將x+1x?3【詳解】解：∵x+1∴a=?2,b=?3，則a+b=?5，故答案為：?5．【考點題型三】與整式乘法有關的錯看錯解問題6．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）在計算2x+ax+b時，甲錯把b看成了6，得到的結果是：2x2+8x?24；乙錯把a看成了?a，得到的結果是：2x【答案】a=?4，b=5【分析】本題考查了整式的乘法運算，根據題意列出代數(shù)式，化簡對比結果，分別求出a和b的值即可．【詳解】解：因為甲錯把b看成了6，則2x+ax+6可得：a=?4，因為乙錯把a看成了?a，則：2x?ax+b得：b=5．7．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）閱讀理解：已知ab=3，求－2b解：原式=?4=?4=?4×=?78．這樣的方法我們稱為“整體代入法”．請仿照上面的方法解答下列問題：已知xy2=6【答案】174【分析】此題考查了單項式乘以多項式，先根據單項式乘以多項式的法則計算，再利用冪乘方變形后整體代入計算即可．【詳解】解：xy====174．8．（23-24七年級下·寧夏銀川·階段練習）某同學在計算一個多項式乘?4x3時，因抄錯運算符號，算成了加上?4x【答案】?4【分析】本題考查了整式的混合運算的應用，單項式乘上多項式，根據算成了加上?4x3，得到的結果是x4【詳解】解：∵算成了加上?4x3，得到的結果是∴這個多項式：x4∴乘積為：?49．（21-22七年級下·廣東河源·期末）甲、乙兩人共同計算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄錯了a的符號，得到的結果是2x2?7x+3，乙漏抄了第二個多項式中(1)求?2a+ba+b(2)若整式中的a的符號不抄錯，且a=3，請計算這道題的正確結果．【答案】(1)-14．(2)x【分析】（1）根據題意，列出關于a和b的代數(shù)式的值，直接代入計算即可；（2）先求出b的值，再代入計算．【詳解】（1）解：甲抄錯了a的符號的計算結果為：x?a2x+b因為對應的系數(shù)相等，故?2a+b=?7，ab=?3乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，計算結果為：x+ax+b因為對應的系數(shù)相等，故a+b=2，ab=?3，∴?2a+b（2）解：乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到的結果得出：a+b=2，故3+b=2，∴b=-1，把a=3，b=-1代入x+a2x+b得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3，故答案為：2x2+5x-3．【點睛】此題考查了多項式乘多項式；解題的關鍵是根據多項式乘多項式的運算法則分別進行計算，是常考題型，解題時要細心．10．（23-24七年級下·寧夏銀川·階段練習）有這樣一道題：“化簡求值：a+22?a+122a?3?4a【答案】見解析【分析】本題考查了整式的化簡，代數(shù)式求值．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．去括號，然后合并同類項對原式進行化簡，然后根據化簡結果進行分析解釋．【詳解】解：a+2=a=2a+3=4=?9，∵化簡后，原式結果為常數(shù)?9，與x的取值無關，∴小浩同學在解題時即便是錯誤地把“a=?2023”抄成了“a=2023”，顯示計算的結果也是正確的．11．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）小馬和小虎兩人共同計算一道整式乘法題：3x+a2x+b，由于小馬抄錯了b的符號，得到的結果為6x2?17x+12；由于小虎漏抄了第一個多項式中(1)求出a，b的值；(2)請你計算出這道整式乘法題的正確結果．【答案】(1)a=?4，b=3(2)6【分析】本題考查了多項式乘以多項式，解二元一次方程組；（1）由于小馬抄錯了b的符號，進行運算可得2a?3b=?17，由小虎漏抄了第一個多項式中x的系數(shù)，進行運算可得2a+b=?5，即可求解；（2）將a，b的值代入3x+a2x+b掌握多項式乘以多項式法則，能根據題意得到2a?3b=?17，2a+b=?5是解題的關鍵．【詳解】（1）解：3x+a=6=6∵由于小馬抄錯了b的符號，得到的結果為：6x∴2a?3b=?17①，∵x+a=2=2∵小虎漏抄了第一個多項式中x的系數(shù)，得到的結果為2x2a+b=?5②，由①②解得a=?4b=3故a=?4，b=3；（2）解：由（1）得3x+a==6=6x故這道整式乘法題的正確結果為6x【考點題型四】與整式乘法有關的遮擋問題12．（23-24八年級上·山西朔州·階段練習）課后小明拿出數(shù)學筆記本復習，發(fā)現(xiàn)一道題被墨水污染了：?3x?x2?x+1=?3xA．3x2+1 B．3x2?1【答案】C【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式，根據單項式與多項式相乘的運算法則計算可得出答案．【詳解】解：∵?3x?x∴3故選：C．13．（21-22七年級下·湖南株洲·期末）有一道數(shù)學題，部分內容被墨水污染了：先化簡，再求值(a?3)(a+3)?(a?2)2，其中a=“”，小明翻開答案看到這題的結果是7．那么【答案】a=5【分析】先進行化簡，令化簡的代數(shù)式結果等于7，即可求出a的值．【詳解】解：∵(a?3)(a+3)?=(=4a?13．∴4a?13=7，解得a=5．【點睛】本題考查了平方差公式，完全平方公式，整式的加減．熟練運用乘法公式化簡構造一元一次方程是解題的關鍵．14．（22-23七年級下·全國·假期作業(yè)）小紅準備完成題目：計算，她發(fā)現(xiàn)第一個因式的一次項系數(shù)被墨水遮擋住了．(1)她把被遮住的一次項系數(shù)猜成3，請你完成計算：x2(2)老師說：“你猜錯了，這個題目的正確答案是不含一次項的，”請通過計算說明原題中被遮住的一次項系數(shù)是多少？【答案】(1)x(2)2【分析】（1）根據多項式乘以多項式的計算法則求解即可；（2）設第一次因式的一次項系數(shù)為a，則原題目變?yōu)閤2【詳解】（1）解：x==x（2）解：設第一次因式的一次項系數(shù)為a，則原題目變?yōu)閤2x==x∵x2∴2?a=0，∴a=2，∴被遮住的一次項系數(shù)是2．【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式，熟知相關計算法則是解題的關鍵．【考點題型五】整式乘法的應用15．（23-24八年級上·河北邯鄲·期末）發(fā)現(xiàn)：任意三個連續(xù)的奇數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的平方差是4的倍數(shù)．驗證：(1)92(2)設三個連續(xù)的奇數(shù)中間的一個為2n+1（n為整數(shù)），計算最大奇數(shù)與最小奇數(shù)的平方差，并說明它是8的倍數(shù)．【答案】(1)7(2)見解析【分析】本題主要考查了整式混合運算的應用，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式，準確計算．（1）根據有理數(shù)運算法則求出結果即可；（2）根據整式混合運算法則進行計算，得出答案即可．【詳解】（1）解：9256÷8=7，故答案為：7．（2）解：由題意得，最大奇數(shù)為2n+3，最小奇數(shù)為2n?1，則：2n+3==4=82n+1∵n為整數(shù)，∴2n+1為整數(shù)，∴任意三個連續(xù)的奇數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．16．（23-24七年級上·山東青島·期中）如圖①，正方形ABCD的邊長為a．(1)如圖②，延長AB到A1，使A1B=BA，延長BC到B1，使(2)如圖③，延長AB到A2，使A2B=b，延長BC到B2，使【答案】(1)5(2)a【分析】本題考查了組合圖形面積的計算，三角形的面積公式，梯形的面積公式，整式乘法的混合運算，（1）根據題意得到A1B=BA=a，B1C=CB=a，（2）根據題意得到A2B=b，B2C=b，【詳解】（1）解：根據題意得：A1B=BA=a，∴BB∴S四邊形（2）解：∵A2B=b，∴BB∴S四邊形17．（23-24八年級上·北京海淀·期中）如圖①是某年某月的月歷，用如圖②所示的“凹”字型框在月歷中任意圈出5個數(shù)，設“凹”字型框中的五個數(shù)分別為a1，a2，a，a

①

②(1)用含a的代數(shù)式表示：a2=__________，(2)求證：a1【答案】(1)a?1，a?6(2)a1a【分析】（1）由日歷中5個數(shù)的位置關系，即可求出a2，同樣可用含x的式子表示a（2）首先表示出a1=a?8，a2=a?1，a3【詳解】（1）根據題意得，a2=a?1，故答案為：a?1，a?6．（2）∵a1=a?8，a2=a?1，∴a====?14．∴a1a3【點睛】此題考查了列代數(shù)式，整式乘法的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．18．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖1，是2022年2月份的日歷，選擇其中所示的方框部分，將這四個數(shù)字按照：“右上角數(shù)字×左下角數(shù)字﹣左上角數(shù)字×右下角數(shù)字”進行計算．(1)計算：8×14?7×15=；19×25?18×26=；(2)請猜想方框里的四個數(shù)字計算結果的規(guī)律，若左上角數(shù)字為m，請用整式運算對猜想的規(guī)律加以證明；(3)如圖2，選擇任意的九個數(shù)字方框，將四個角上的數(shù)字，仍按照題中的運算方法計算，（2）中的規(guī)律還成立嗎？直接寫出是否成立．【答案】(1)7，7(2)7，證明見解析(3)（2）中的規(guī)律不成立，理由見解析【分析】（1）根據有理數(shù)的混合運算法則計算；（2）用字母表示數(shù)，進行計算證明；（3）按照題中的方法計算求值．【詳解】（1）8×14?7×15=7，故答案為：7，7；（2）結果等于7，證明：設左上角數(shù)字為m，則右上角數(shù)字為(m+1)，左下角數(shù)字為(m+7)，右下角數(shù)字為(m+8)，∴(m+1)(m+7)?m(m+8)=＝7；（3）21×9?23×7=28，所以（2）中的規(guī)律不成立．【點睛】本題考查了整式的混合運算，理解題意是解題的關鍵．【考點題型六】與整式乘法有關的無關型問題19．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）已知關于x的代數(shù)式x+2mx2?x+12(1)求m，n的值；(2)求代數(shù)式m2023【答案】(1)m=(2)2【分析】本題考查了多項式乘以多項式、求代數(shù)式的值，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．（1）利用多項式乘以多項式的運算法則進行計算，然后根據題意得出2m?1=0，12n?2m=0，即可得出m，（2）將m，n的值代入進行計算即可．【詳解】（1）解：x+2m==x∵不含x項與x2∴2m?1=0解得：m=1（2）解：m202320．（23-24七年級上·陜西西安·期末）若關于x的多項式2x+a與?x2+bx?2的乘積展開式中沒有二次項，且常數(shù)項為20，求a【答案】a，b的值分別為?10，?5【分析】本題主要考查多項式乘多項式，要求熟練掌握多項式乘多項式的法則，理解展開式中不含二次項即二次項的系數(shù)為0是解題的關鍵．先計算2x+a與?x2+bx?2的乘積，根據常數(shù)項為20可求出a【詳解】解：∵2x+a=?2=?2∴由題意得2b?a=0,?2a=20，∴a=?10，把a=?10代入2b?a=0得，2b+10=0，解得b=?5，∴a，b的值分別為?10，?5．21．（21-22七年級下·江蘇無錫·期中）已知：x+ax?34的結果中不含關于字母x【答案】16【分析】首先利用多項式乘以多項式的法則計算：x+ax?34，結果中不含關于字母x【詳解】解：x+a=x∵結果中不含關于字母x的一次項，∴a=化簡a+22?3?a?a?3將a=34【點睛】本題考查多項式乘多項式，解題的關鍵是利用多項式中不含關于字母x的一次項求出a的值．22．（23-24七年級上·四川成都·期末）【閱讀理解】在計算機上可以設置程序，將二次多項式處理成一次多項式，設置程序為：將二次多項式A的二次項系數(shù)乘以2作為一次多項式B的一次項系數(shù)，將二次多項式A的一次項系數(shù)作為一次多項式B的常數(shù)項．例如：A=5x2?7x+2，A【知識應用】關于x的二次多項式A經過程序設置得到一次多項式B，己知A=x(1)若B=3nx?m，求m，n的值；(2)若A?mB的結果中不含一次項，求關于x的方程B=m的解；(3)某同學在計算A?2B時，把A?2B看成了2A?B，得到的結果是2x2?4x?3【答案】(1)m=1，n=(2)x=(3)x【分析】本題考查整式計算，解一元一次方程．（1）根據題意列式對應系數(shù)相等即可得到結果；（2）根據題意列式即可得到結果；（3）先求出m的值，再求出A?2B即可．【詳解】（1）解：∵A=x2?x+m∵B=3nx?m，∴3n=2，?m=?1，∴m=1，n=2（2）解：∵A?Bm=(x∵A?mB的結果中不含一次項，∴1+2m=0，解得：m=?1由B=m得：2x?1=?1∴x=1（3）解：∵2A?B=2(x∴?2m+1=?3，∴m=2，∴A?2B=(x【考點題型七】與整式乘法有關的化簡求值問題23．（23-24七年級下·江蘇宿遷·階段練習）先化簡，再求值：a?b3b?a3+b?a【答案】ab，?1【分析】本題考查的是整式的化簡求值．將原式變形為?b?a3b?a【詳解】解：a?b===?b?a當a=4，b=?0.25時，原式=?1．24．（22-23七年級下·陜西西安·階段練習）已知x2+3x?4=0，求代數(shù)式【答案】4x2【分析】先利用整式的混合運算化簡代數(shù)式，再把已知條件變形，最后整體代入求值即可．【詳解】解：x+2=2=4∵x2∴x2∴原式=4=4×4?6=10【點睛】此題考查了整式的混合運算和化簡求值，熟練掌握多項式乘以多項式、單項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．25．（22-23七年級下·河北石家莊·期末）楊老師在黑板上布置了—道題，小白和小紅展開了下面的討論：已知y=?1時，求代數(shù)式：x+2yx?2y這道題與x無關，是可以解的．只知道y的值，沒有告訴x的值，求不出答案．根據上述情景，你認為誰說得對？為什么？并求出代數(shù)式的值．【答案】小紅說得對，理由見詳解，-13．【分析】利用乘法法則化簡給出的代數(shù)式，并根據化簡后的結果判斷和求解即可．【詳解】解：小紅說得對，理由如下：x+2y＝x＝x＝?13∵化簡結果中不含x，所以值與x取值無關，故小紅說得對．當y=?1時，原式＝?13y2＝?13×?1【點睛】此題主要考查了整式的化簡求值，解題關鍵是掌握整式的乘法公式．26．（22-23八年級上·湖南衡陽·期中）對于任意實數(shù)a、b、c、d，我們將式子abcd(1)計算4×10(2)若x2?3x?2=0，求【答案】(1)1.4×(2)?5【分析】（1）根據題中給的二階行列式計算方法，整式的混合即可求解；（2）根據題中給的二階行列式計算方法，整式的混合運算，整體代入求值即可求解．【詳解】（1）解：4×==20×=1.4×10（2）解：x+1===?2∵x2∴x2∴?2x∴原式=?4?1=?5．【點睛】本題主要考查定義新運算，整式混合運算，掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵．【考點題型八】與整式乘法有關的圖形面積問題27．（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，甲長方形的兩鄰邊長分別為m+1，m+5，乙長方形的兩鄰邊長分別為m+2，m+4．（其中m為正整數(shù)）(1)圖中甲長方形的面積為S1，乙長方形的面積為S2，比較大小：S1______S2（填“>”、“(2)現(xiàn)有一正方形，其周長與圖中甲長方形的周長相等，正方形的面積為S．若甲、乙兩個長方形的面積S1，S2與正方形的面積S滿足【答案】(1)<，理由見解析(2)10【分析】本題考查了多項式乘以多項式、列代數(shù)式、代數(shù)式求值，采用數(shù)形結合的思想是解此題的關鍵．（1）根據長方形的面積公式列式，利用多項式乘以多項式的法則計算即可求解；（2）先求出正方形的邊長為m+3，表示出正方形的面積S=m+32=m2【詳解】（1）解：<，理由如下：S===?3<0，∴S1故答案為：<．（2）解：∵正方形的周長與圖中甲長方形的周長相等，∴正方形的周長為2m+1+m+5∴正方形的邊長為m+3，∴正方形的面積S=m+3∵S1∴m2整理得m2∴m2∴這個正方形的面積為10．28．（23-24八年級上·湖北十堰·期末）“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結合思想證明代數(shù)問題的一種體現(xiàn)，做整式的乘法運算時利用幾何直觀的方法獲取結論，在解決整式運算問題時經常運用．例1：如圖1，可得等式：ab+c例2：由圖2，可得等式：a+2ba+b(1)如圖3，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，從中你發(fā)現(xiàn)的結論用等式表示為______；(2)利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c=10，a2+b(3)如圖4，拼成AMGN為大長方形，記長方形ABCD的面積與長方形EFGH的面積差為S．設CD=x，若S的值與CD無關，求a與b之間的數(shù)量關系．【答案】(1)a+b+c(2)32(3)b=2a【分析】本題考查了多項式乘以多項式在幾何面積中的應用，面積法，求代數(shù)式的值；（1）由整體表示大長方形的面積，分部分表示各個小正方形與長方形的面積，二者相等，即可求解；（2）將值代入（1）中的等式計算即可求解；（3）由圖得BC=MF=2a，DE=NH=3a，CF=BM=EH=b，由線段和差求出EC=CD?DE=x?3a，EF=EC+CF=x?3a+b，分別求出S長方形ABCD=CD?BC掌握面積的兩種表示方法：整體法、部分法，多項式不含某一項的條件為這一項的系數(shù)為零，多項式混合運算法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由圖得a+b+c=a故答案：a+b+c2（2）解：∵a+b+c=10，a2∴102解得：ab+bc+ac=32；（3）解：由圖得：BC=MF=2a，DE=NH=3a，CF=BM=EH=b，∴EC=CD?DE=x?3a，∴EF=EC+CF=x?3a+b，∴=2ax，S=b∴S==2ax?b=2a?b∵S的值與CD無關，∴2a?b=0∴b=2a．29．（23-24六年級上·山東濟南·期末）現(xiàn)有甲、乙、丙三種長方形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示．某同學分別用6張卡片和4張卡片拼出了兩個長方形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為S1，S2其周長分別為C1(1)請用含a的式子分別表示S1，S2，當a=2時，求(2)請用含a的式子分別表示C1，C2，當a=2時，求【答案】(1)5；(2)2.【分析】本題考查列代數(shù)，根據所給圖形，用含a的代數(shù)式表示出長方形的長和寬是解題的關鍵．（1）根據圖2和圖3中長方形的組成即可解決問題．（2）根據圖2和圖3中長方形的組成即可解決問題．【詳解】（1）由題知，圖2中長方形的長為a+2，寬為a+1，所以S1圖3中長方形的長為3a+1，寬為1，所以S2則S1當a=2時，S1（2）由（1）求出的長和寬可知，C1C2所以C2當a=2時，C230．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）如圖，有甲、乙兩種長方形卡片若干張．(1)甲種長方形卡片的面積為______，乙種長方形卡片的面積為______，甲、乙兩張卡片的面積和為______；（結果需化簡）(2)試比較兩種長方形卡片的面積S甲、S(3)若用相同數(shù)量的甲、乙兩種長方形卡片剛好能夠拼成一個面積為60x【答案】(1)x2+x，x(2)S甲>(3)60【分析】本題考查了整式的混合運算，掌握相關運算法則是解題關鍵．（1）根據圖示，利用整式的乘除運算即可求解；（2）計算x2（3）設用了a張甲種長方形卡，a張乙種長方形卡，根據a2【詳解】（1）解：由圖可知：甲種長方形卡片的面積為：xx+1乙種長方形卡片的面積為：x?2x+2甲、乙兩張卡片的面積和為：x2+x故答案為：x2+x，x（2）解：S甲>∵S甲?∴S甲（3）解：設用了a張甲種長方形卡，a張乙種長方形卡，則由（1）可得：a2∴2ax∴a=30，則使用卡片的總數(shù)量為60【考點題型九】與整式乘法有關的規(guī)律探究問題31．（2024八年級·全國·競賽）（1）填空：(x?1)(x+1)=__________．(x?1)x(x?1)x……（2）猜想：(x?1)xn+（3）證明（2）中的猜想．（4）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：22011【答案】（1）x2?1,x3【分析】本題考查了多項式乘多項式的運算，涉及了規(guī)律探索，旨在考查學生抽象概括能力．（1）利用多項式乘多項式的運算法則即可求解；（2）根據（1）中的計算結果即可求解；（3）利用多項式乘多項式的運算法則進行計算即可驗證；（4）原式可整理成2?12【詳解】解：（1）(x?1)(x+1)=x2(x?1)x2+x+1(x?1)x3故答案為：x2（2）由（1）可得：(x?1)xn故答案為：xn+1（3）證明如下：x?1=（4）原式=2?12==?1．32．（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習）閱讀：在計算a?ba【觀察】a?ba?ba?b【歸納】a?ba【應用】計算2解：令a=2，b=1，n=2024則2?1∴結合上述材料，完成下列問題：(1)證明等式：a?ba(2)應用（1）中所證明等式，計算320(3)若多項式P，Q滿足a+b?P=a2024?b2024，a+b?Q=a2025【答案】(1)見解析(2)1(3)Q=aP?【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究；（1）觀察等式找到規(guī)律，根據規(guī)律即可求解；（2）根據（1）的結論，令a=3，b=?1，n=21代入，即可求解；（3）分別表示出P,Q，觀察式子，即可求解．【詳解】（1）解：a?ba?ba?b……∴a?b（2）計算3解：令a=3，b=?1，n=21則3+13（3）解：∵a?b∴a?當n=2024時，a?∵a+b∴P=當n=2025時，a?∵a+b?Q=∴Q=∴Q=aP?33．（23-24七年級下·重慶·階段練習）觀察下列等式：3×7=2113×17=22123×27=62133×37=122143×47=2021…從這些計算結果中，你能發(fā)現(xiàn)什么？我們發(fā)現(xiàn)了一個速算法則：十位數(shù)字相同，個位數(shù)字分別是3和7的兩個兩位數(shù)的乘積，可以先寫出它們的十位數(shù)字與其下一個自然數(shù)的乘積，再在末尾接著寫上3和7的乘積21．例如，計算53×57，因為5×6=30，3×7=21，所以53×57=3021．(1)利用以上規(guī)律直接寫出結果：93×97=______；(2)設兩個因數(shù)的十位數(shù)字為a，用含a的代數(shù)式表示上述速算法則：______×______=______；(3)普于思考的小聰通過計算22×28=616

34×36=122485×85=7225

69×61=4209…發(fā)現(xiàn)“十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10的兩位數(shù)乘法”也有與上述材料類似的規(guī)律．設兩個因數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字分別為m，n，且m+n=10，請用含【答案】(1)9021(2)10a+3，10a+7，100a(3)10a+m10a+n【分析】本題考查整式乘法相關的數(shù)學規(guī)律，關鍵在于理解題意結合并相關知識．（1）根據題意直接寫出答案即可；（2）根據觀察規(guī)律可得10a+310a+7（3）利用代數(shù)式表示兩個乘數(shù)，根據整式的運算計算即可．【詳解】（1）解：∵9×10=90，3×7=21，∴93×97=9021，故答案為：9021；（2）由題意可知：3×7=100×0×13×17=100×1×23×27=100×2×33×37=100×3×43×47=100×4×4+1∴10a+310a+7故答案為：10a+3，10a+7，100aa+1（3）10a+m10a+n兩個因數(shù)分別表示為：10a+m，10a+n，則10a+m=100=100a∵m+n=10，∴10a+m=100=100aa+134．（23-24八年級上·福建莆田·期末）慶祝元旦期間，張老師出了一道“年份題”：計算20232張老師提示可將上述問題一般化為：計算n2+n2(n+1)當n=1時，12當n=2時，22當n=3時，32……(1)根據以上規(guī)律，請直接寫出20232(2)根據以上等式規(guī)律，請寫出第n個等式，并驗證其正確性；(3)某同學將上述問題更一般化為：計算n2+n2m2+m2的算術平方根，并猜想n【答案】(1)2023×2024+1(2)n2+n(3)不成立；成立時的條件m?n=1【分析】本題考查了等式的探究規(guī)律，整式運算；（1）觀察等式得20232+2023（2）可得猜想：n2+n（3）由(nm+m?n)2=若成立，可得2nm找出規(guī)律是解題的關鍵．【詳解】（1）解：2023=202322023×2024+1；（2）解：由題意得n=n(n+1)+1左邊===n右邊====n∴左邊=右邊，故原式成立；（3）解：不成立；(nm+m?n)=n∴n2若成立，則有n=n∴2nm∴mnm?n?1∵m，n為正整數(shù)，∴mn≠0，∴m?n?1=0，