考題猜題06七年級期中必刷題（拔尖必刷51題種17題型專項訓練）根據(jù)平行線的性質探究角的關系利用平行線之間的距離解決實際問題利用三角形的三邊關系進行化簡與折疊有關的角度計算問題利用三角形的中線求面積復雜多邊形的內角和平面鑲嵌利用冪的運算法則解決新定義問題利用冪的運算法則解決規(guī)律探究問題與整式乘法有關的新定義問題與整式乘法有關的規(guī)律探究問題與整式乘法有關的面積探究問題利用完全平方公式變形求值利用配方法求最值與整式乘法有關的整除問題利用乘法公式解決面積問題利用因式分解判斷三角形形狀.一．根據(jù)平行線的性質探究角的關系（共3小題）1．（23-24七年級下·河北石家莊·階段練習）我們通常把圖1、圖2中的點E稱為拐點，解決平行線中有關拐點問題的方法，一般是過拐點作平行線

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，已知AB∥CD，直接寫出∠BAE,∠DCE,∠AEC的數(shù)量關系；【變式拓展】如圖2，保持AB∥CD，當點E在AB的右上方時，∠BAE,∠DCE,∠AEC的數(shù)量關系有變化嗎?寫出結論，并證明你的猜想；【學科融合】圖3是一探照燈燈碗的縱剖面，在焦點O處發(fā)出的光線經燈碗(點C除外)反射后均沿與CO平行的方向射出．入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB=62°，若入射光線OD經燈碗反射后沿DE射出，且∠ODE=20°，求∠AOD的度數(shù).2．（23-24七年級上·河南南陽·期末）如圖1，在同一個平面上，已知點O為直線AB上一點，將三角板COD（∠C=30°）按如圖所示放置，且直角頂點與O重合，三角板COD可繞點O旋轉，設∠AOC=α（0°＜α＜90°），點(1)【問題探究】已知α=30°，且∠OFD=75°，通過計算說明：OF平分∠COD；(2)【類比探究】當三角板繞點O旋轉到圖2位置時，OF平分∠AOD，求∠COF的度數(shù)（結果用含α的代數(shù)式表示）；(3)【拓展應用】在（2）的條件下，請直接寫出∠BOD與∠COF存在的數(shù)量關系為______．3．（23-24七年級上·四川宜賓·期末）已知直線AB∥CD，在三角形紙板EFG中，(1)將三角形EFG按如圖1放置，點E和點G分別在直線AB、CD上，若∠DGF=25°，則∠AEF=°(2)將三角形EFG按如圖2放置，點E和點G分別在直線AB、CD上，GF交AB于點H，若∠DGF=α，∠BEF=β，試求α、β之間的數(shù)量關系；(3)在圖2中，若∠AEF=20°，∠AEG=40°，將三角形EFH繞點F以每秒10°的速度順時針旋轉一周，設運動時間為t秒，當三角形EFH兩條直角邊分別與GE平行時，求出相應t的值（直接寫出答案）．二．利用平行線之間的距離解決實際問題（共3小題）4．（22-23七年級下·河南信陽·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為A(a,0)、B(b,0)，且a、b滿足a+1+b?4=0，現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到點A、B的對應點D、C，連接AD、BC

(1)求a、b的值，并直接寫出點A、點B、點C、點D的坐標；(2)如圖2，點P是線段DC上的一個動點，連接PA、PB，當點P在線段DC上移動時，△ABP的面積是否變化？若不變，請求出△ABP的面積；若變化，請說明理由．(3)在x軸上是否存在一點M，使△MBD的面積與△ACD的面積相等？若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由．5．（22-23七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）（1）如圖1，直線AD∥直線BC，則S△ABC______S（2）如圖2，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，在線段BC上確定點F，使AF等分△ABC的面積（要求：僅用無刻度的直尺作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖3，小明家有一塊三角形種植地ABC，按照建設規(guī)劃，要將種植地移到長方形區(qū)域內，為了補償小明家，劃撥給小明家的新的種植地的面積是原來的兩倍，并且還保留種植地為三角形的形狀，請作出變動后的△BDE

6．（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）【理解概念】（1）如果一條直線將一個圖形分割成面積相等的兩個部分，則稱這條直線叫做該圖形的“等積線”．（2）如圖①，直線l1∥l2，點A是直線l1上的一點，AB⊥l2，垂足為B【新知探究】（1）如圖②，過點A畫出△ABC的等積線，并簡要說明畫法；（2）如圖③，直線l1∥l2，A、B是l2上的兩點，P、Q是l1上的兩點，分別連接AP、AQ、BP、BQ，AQ與BP交于點O．設△APO的而積為S1【拓展提高】（1）如圖④，點M是△ABC中BC邊上的一點，CM<BM．小峰同學做了如下的操作：①連接MA，過點C畫CD∥MA，交BA的延長線于點D：②找出線段BD的中點E，畫直線ME．小峰認為直線ME就是△ABC的等積線，你同意嗎？說明理由．（2）如圖⑤，在四邊形ABCD中，連接AC，△ACD的面積小于過點A畫四邊形ABCD的等積線，并簡要說明畫法，不需說理．三．利用三角形的三邊關系進行化簡（共3小題）7．（22-23七年級下·福建泉州·期中）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．(1)化簡代數(shù)式：a+b?c+(2)若AB=AC，AC邊上的中線BD把三角形的周長分為15和6兩部分，求腰長AB．8．（22-23七年級下·四川眉山·期中）已知a，b，c是△ABC的三邊，化簡a+b?c9．（21-22七年級下·河南洛陽·期末）已知a，b，c是一個三角形的三邊長，(1)填入“＞、＜或＝”號：a?b?c______0，b?a?c_______0，c+b?a______0．(2)化簡：|a?b?c|+|b?a?c|?|c+b?a|．四．與折疊有關的角度計算問題（共3小題）10．（23-24七年級上·吉林白山·期末）如圖，等邊三角形紙片ABC中，點D在邊AB（不包含端點A，B）上運動，連接CD，將∠ADC對折，點A落在直線CD上的點A'處，得到折痕DE；將∠BDC對折，點B落在直線CD上的點B'處，得到折痕

(1)若∠ADC=70°，求∠BDF的度數(shù)；(2)試問：∠EDF的大小是否會隨著點D的運動而變化？若不變，求出∠EDF的度數(shù)；若變化，請說明理由．11．（23-24七年級上·山東淄博·期中）如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=68°，點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF(1)如圖1，當點P落在BC上時，求∠BEP(2)如圖2，當PF⊥AC時，求∠AEF12．（22-23七年級下·江蘇揚州·期末）（1）如圖1，把三角形紙片ABC折疊，使3個頂點重合于點P．這時，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________°；

（2）如果三角形紙片ABC折疊后，3個頂點并不重合于同一點，如圖2，那么(1)中的結論是否仍然成立？請說明理由；（3）折疊后如圖3所示，直接寫出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之間的數(shù)量關系_______；（4）折疊后如圖4，直接寫出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之間的數(shù)量關系：_______；五．利用三角形的中線求面積（共3小題）13．（22-23七年級下·山東青島·期末）問題解決：

(1)如圖1，△ABC中，AF為BC邊上的中線，則S△ABF(2)如圖2，D,E,F分別為BC,AD,CE的中點，則S△DEF=_________(3)如圖3，D,E,F分別為BC,AD,CE的中點，若S△BFC=2，則問題探究：(1)如圖4，CD,BE是△ABC的中線，CD,BE交于點O,S△BOC與解：△ABC中，由問題解決的結論可得，S△BCD∴S∴S即S△BOC(2)如圖5，△ABC中，D是AC上的一點，AC=4CD,AE是△ABC的中線，且S△ABC=48，試求問題拓展：如圖6，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BD，則S△ADC=_________

14．（22-23七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【數(shù)學經驗】三角形的中線、角平分線、高是三角形的重要線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點．（1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△ABC的三條高所在直線交于點______；②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高CF（不寫畫法，保留作圖痕跡）；③如圖3，利用格點和無刻度的直尺完成作圖：作出△ABC的高AH（不寫畫法，保留作圖痕跡，有效的格點加黑加粗）．【綜合應用】（2）如圖4，在△ABC中，AD、BE、CF是三條角平分線，它們相交于點O，過點O作OG⊥BC于點G．①若∠BAC=70°，則∠BOC=______°．②寫出圖中所有與∠COG互補的角：______．【拓展延伸】（3）我們也知道，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．如圖5，△ABC中，AB=6，AC=8，點D、E是BC、AC邊上的中點，AD、BE交于點F．若△ABC的面積為S，則四邊形DCEF的面積為______（用含S的代數(shù)式表示），其存在最大值，這個值為______．

15．（22-23七年級下·江蘇鹽城·期末）【問題情境】蘇科版數(shù)學課本七年級下冊上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關系？小旭同學在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因為高AE相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點D在△ABC的邊BC上，點P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，依次連結E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3六．復雜多邊形的內角和（共3小題）16．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．17．（2020九年級·全國·專題練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．18．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為．七．平面鑲嵌（共3小題）19．（21-22七年級上·江西撫州·期末）（1）【探究】觀察下列算式，并完成填空：1=1+3=4=1+3+5=9=1+3+5+7=16=41+3+5·?+2n?1=______．（（2）如圖是某市一廣場用正六邊形、正方形和正三角形地板磚鋪設的圖案，圖案中央是一塊正六邊形地板磚，周圍是正方形和正三角形的地板磚．從里向外第一層包括6塊正方形和6塊正三角形地板磚；第二層包括6塊正方形和18塊正三角形地板磚；以此遞推．①第3層中分別含有______塊正方形和______塊正三角形地板磚；②第n層中分別含有______塊正方形和______塊正三角形地板磚（用含n的代數(shù)式表示）．（3）【應用】該市打算在一個新建廣場中央，采用如圖樣式的圖案鋪設地面，現(xiàn)有1塊正六邊形、150塊正方形地板磚，問：鋪設這樣的圖案，還需要多少塊正三角形地板磚？請說明理由．20．（23-24八年級上·山東煙臺·期末）小穎家買了新樓，她想在邊長相同的①正三角形、②正方形、③正五邊形、④正六邊形四種瓷磚中，選擇一些瓷磚進行地面的鑲嵌（彼此之間不留空隙、不重疊）．(1)她想選用兩種瓷磚，若已選用正三角形瓷磚，則可以再選擇的是______瓷磚（填寫序號）；(2)她發(fā)現(xiàn)僅用正五邊形瓷磚不能鑲嵌地面，若將三塊相同的正五邊形瓷磚按如圖所示放置，求∠1的度數(shù)．21．（23-24八年級上·福建廈門·期末）在生活中經?？吹揭恍┢春蠄D案如圖所示，它們或是用單獨的正方形或是用多種正多邊形混合拼接成的，拼成的圖案要求嚴絲合縫，不留空隙.從數(shù)學角度看，這些工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)的問題．(1)如果限用一種正多邊形來覆蓋平面的一部分，正六邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形?請說明理由；(2)同時用正方形和正八邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形?請說明理由；(3)請你探索，是否存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌成的平面圖形，寫出驗證過程．八．利用冪的運算法則解決新定義問題（共3小題）22．（20-21七年級下·北京門頭溝·期末）對于兩個非零實數(shù)a，b定義一種新運算，記作?a定義：如果ax=b，那么?a?,?b例如：因為52=25，所以?5?,根據(jù)上述運算的定義，回答下列問題：（1）計算：?2?,（2）如果?a?,（3）如果?a?,?2（4）如果M=3，N=13，那么23．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習）探究應用：用“∪”“∩”定義兩種新運算：對于兩個數(shù)a、b，規(guī)定a∪b=10a×10b，a∩b=(1)求211∪985的值；(2)求2026∩2024的值；(3)當x為何值時，x∪5的值與23∩17的值相等．24．（2023七年級下·江蘇·專題練習）如果10b=n，那么稱b為n的勞格數(shù)，記為b=dn，由定義可知，10b=n和b=d(1)根據(jù)定義，填空：d10=，d(2)勞格數(shù)具有如下性質：dmn=dm+dn，dmn=dm?dn根據(jù)運算性質，填空：①da九．利用冪的運算法則解決規(guī)律探究問題（共3小題）25．（23-24七年級上·廣東陽江·期中）閱讀下列各式：a?b2請回答下列問題：(1)計算：2×12100(2)通過上述規(guī)律，歸納得出：a?bn=__________；(3)請應用上述性質計算：?0.125202326．（20-21七年級下·安徽安慶·期末）規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運算，記作a,b；如果ac=b，那么a,b=c，例如：因為（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：5,125=；5,1=，2,14（2）小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個特例：對任意的正整數(shù)n，3n,4n=3,4．小明給了如下的證明：設3n（3）證明下面這個等式：3,20?27．（23-24七年級上·全國·課時練習）給出下面兩組算式：(3×5)2與32×52(1)計算各組算式，每組的結果相等嗎？(2)想一想，當n是正整數(shù)時，(a?b)n(3)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：(?0.125)2022十．與整式乘法有關的新定義問題（共3小題）28．（21-22八年級上·北京西城·期末）給出如下定義：我們把有序實數(shù)對（a，b，c）叫做關于x的二次多項式ax2+bx+c的特征系數(shù)對．把關于x的二次多項式ax2+bx+c叫做有序實數(shù)對（(1)關于x的二次多項式3x(2)求有序實數(shù)對（1，4，4）的特征多項式與有序實數(shù)對（1，－4，4）的特征多項式的乘積；(3)若有序實數(shù)對（p，q，－1）的特征多項式與有序實數(shù)對（m，n，－2）的特征多項式的乘積的結果為2x4+29．（2023·河北邯鄲·一模）新定義：如果a，b都是非零整數(shù)，且a=4b，那么就稱a是“4倍數(shù)”．(1)驗證：嘉嘉說：232?21(2)證明：設三個連續(xù)偶數(shù)的中間一個數(shù)是2n（n是整數(shù)），寫出它們的平方和，并說明它們的平方和是“4倍數(shù)”．30．（22-23八年級上·全國·單元測試）對于m，n，定義：若m+n=2，則稱m與n是關于1的“對稱數(shù)”．(1)填空：7與______是關于1的“對稱數(shù)”；2x+5與______是關于1的“對稱數(shù)”；(2)已知A=x+a(x?2)，B=?x2?4x+b，其中a，b均為常數(shù)，且無論x取何值，A(3)若C=?x2+6x，D=4x2十一．與整式乘法有關的規(guī)律探究問題（共3小題）31．（23-24七年級下·江蘇揚州·階段練習）（1）觀察下列各式的規(guī)律：a?ba+ba?baa?ba……可得到a?ba（2）猜想：a?ban?1+an?2（3）利用（2）猜想的結論計算：31032．（2023·廣東東莞·一模）現(xiàn)國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．下面我們依次對a+bn展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當n例如，在三角形中第二行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應a+b2(1)根據(jù)圖中規(guī)律，寫出a+b5(2)根據(jù)圖中規(guī)律，多項式a+b2的展開式第三項的系數(shù)是1，a+b(3)認真觀察規(guī)律，猜想多項式a+bn（n取正整數(shù)）的展開式的各項系數(shù)之和（結果用含字母n(4)若a+bn的展開式第三項的系數(shù)是210，求你n33．（23-24七年級下·重慶·階段練習）觀察下列等式：3×7=2113×17=22123×27=62133×37=122143×47=2021…從這些計算結果中，你能發(fā)現(xiàn)什么？我們發(fā)現(xiàn)了一個速算法則：十位數(shù)字相同，個位數(shù)字分別是3和7的兩個兩位數(shù)的乘積，可以先寫出它們的十位數(shù)字與其下一個自然數(shù)的乘積，再在末尾接著寫上3和7的乘積21．例如，計算53×57，因為5×6=30，3×7=21，所以53×57=3021．(1)利用以上規(guī)律直接寫出結果：93×97=______；(2)設兩個因數(shù)的十位數(shù)字為a，用含a的代數(shù)式表示上述速算法則：______×______=______；(3)普于思考的小聰通過計算22×28=616

34×36=122485×85=7225

69×61=4209…發(fā)現(xiàn)“十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和為10的兩位數(shù)乘法”也有與上述材料類似的規(guī)律．設兩個因數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字分別為m，n，且m+n=10，請用含十二．與整式乘法有關的面積探究問題（共3小題）34．（23-24七年級下·山東菏澤·階段練習）（1）通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，甲圖是邊長為x的正方形，用兩種不同的方法表示甲圖中陰影部分的面積（a，b為常數(shù)）可以得到一個恒等式：______．（2）由（1）的結果進行應用：若a?ma?2=a2+na+6（3）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，乙圖表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)乙圖中圖形的變化關系，利用整式乘法寫出一個代數(shù)恒等式．35．（23-24七年級下·福建三明·階段練習）把圖1的長方形看成一個基本圖形，用若干相同的基本圖形進行拼圖（重合處無縫隙）．

(1)如圖2，將四個基本圖形進行拼圖，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積，從中你發(fā)現(xiàn)的結論用等式表示為______；（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，將四個基本圖形進行拼圖，得到四邊形MNPQ，則陰影部分的面積表示為______：（用含a，b的代數(shù)式表示）；(3)將七個基本圖形進行拼圖，按照圖4方式不重疊地放在大長方形ABCD內，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，若當AB的長變化時，S1?S36．（2023八年級上·全國·專題練習）工廠接到訂單，需要邊長為a+3和3的兩種正方形卡紙．(1)倉庫只有邊長為a+3的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為a+3的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的邊長多少？（用含a代數(shù)式來表示）；(2)若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，測得盒子底部長方形長比寬多3，則S2十三．利用完全平方公式變形求值（共3小題）37．（23-24七年級下·山西長治·階段練習）完全平方公式經過適當?shù)淖冃危梢越鉀Q很多數(shù)學問題．例如：若a+b=3,ab=1，求a2解：因為a+b=3,ab=1，所以a+b2=9,2ab=2，所以a2根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：(1)若a?b=?5,ab=3，則a2(2)若a+b2=17,a?b38．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）閱讀理解：若x滿足30?xx?10=60，求解：設30?x=a，x?10=b，則30?xx?10=ab=60，(30?x)2能決問題：(1)著x滿足100?xx?95=5．則(2)若x滿足(2025?x)2+(2022?x)39．（2024七年級下·全國·專題練習）已知a=x+1，b=x+2，c=x+3，求a2十四．利用配方法求最值（共3小題）40．（23-24八年級上·四川南充·期末）閱讀下列材料：教科書中這樣寫到：“我們把a2+2ab+b2和a2?2ab+b2這樣的式子叫完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫配方法，即將多項式x2+bx+c（b請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)配方：a2(2)先化簡，再求值：a+ba?b+4a3b?2a(3)若a、b、c分別是△ABC的三邊，且a2+4b41．（23-24七年級下·廣東茂名·階段練習）綜合與實踐：通過課堂的學習知道，我們把多項式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：例如x2+2x?3=x(1)知識過關：請用適當?shù)臄?shù)字填空：x2+6x+________=(x+________(2)知識應用：已知a是任何實數(shù)，若M=2a?33a?1,N=2a(3)知識遷移：如圖，用一段長為20米的籬笆圍成一個長方形菜園，菜園的一面靠墻，墻長為12米．設與墻壁垂直的一邊長為x米．①試用x的代數(shù)式表示菜園的面積y；②求出當x取何值時菜園面積最大，最大面積是多少平方米?42．（23-24八年級上·湖南衡陽·期中）把代數(shù)式通過配方等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性來增加題目的已知條件，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有著廣泛的應用．例如∶①用配方法分解因式∶x2解∶原式=x②利用配方法求最小值∶求x2+2x=5的最小值．解∶∵不論x取何值，(x+1)2總是非負數(shù)，即(x+1)∴(x+1)∴當x=?1時，x2+2x?5有最小值，最小值為根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)分解因式（利用配方法）：x2(2)若M=5x2?7x+17，N=4x2(3)已知a、b、c是△ABC的三條邊長，若a、b、c滿足a2+1十五．與整式乘法有關的整除問題（共3小題）43．（23-24八年級上·全國·課堂例題）求證：對任意整數(shù)n，整式3n+13n?144．（22-23七年級下·福建寧德·期中）已知：整式A=3m+1，B=3m?1，m為任意有理數(shù)．(1)A?B+1的值可能為負數(shù)嗎？請說明理由；(2)請你通過計算說明：當m是整數(shù)時，A245．（22-23七年級下·北京順義·期末）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)正奇數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“正巧數(shù)”．例如：8=32?12(1)寫出一個30到50之間的“正巧數(shù)”；(2)設兩個連續(xù)正奇數(shù)為2k?1和2k+1（其中k是正整數(shù)），由它們構成的“正巧數(shù)”能被8整除嗎？如果能，請說明理由；如果不能，請舉例說明．(3)m，n為正整數(shù)，且m>n，若(m?7)(m+7)+n①求m?n的值；②若m+n+1是“正巧數(shù)”，請說明10m?8n是“正巧數(shù)”．十六．利用乘法公式解決面積問題（共3小題）46．（23-24七年級下·河北保定·階段練習）圖形是一種重要的數(shù)學語言，它直觀形象，能有效地表示一些代數(shù)中的數(shù)量關系，而運用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題，例如可以用圖1所示的正方形與長方形紙片拼成一個圖2所示的正方形．(1)利用不同的代數(shù)式表示圖2中的陰影部分面積，寫出你從中獲得的等式為______．(2)若x滿足9?xx?4=6，則(3)如圖3，AG=8，C是線段AG上的點，現(xiàn)以AC，CG為邊在AG兩側作正方形ACDE和正方形CBFG，且兩正方形的面積和S1+S47．（23-24七年級下·廣西桂林·階段練習）【探究】如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長方形．（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：圖①圖②；（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用字母a、b表示）；【應用】請應用這個公式完成下列各題：已知2m?n=3，2m+n=4，則4m2?【拓展】計算2+122+148．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）閱讀下列材料：若x滿足9?xx?4=4，求解∶設9?x=a，x?4=b，則ab=9?xx?4=4，請仿照上面的方法求解下面的問題：(1)若x滿足2030?xx?2024=8，求(2)已知正方形ABCD的邊長為x，E、F分別是AD、DC上的點，且AE=2,CF=6，長方形EMFD的面積是60，分別以MF、DF為邊長作正方形NMFR和正方形HGFD，求圖中陰影部分的面積．十七．利用因式分解判斷三角形形狀（共小題）49．（22-23七年級下·廣西貴港·期末）【閱讀理解】：對于形如x2+2mx+m2的二次三項式，可以直接用完全平方公式把它分解成x+m2的形式．但對于二次三項式x2像這樣把一個二次三項式變成含有完全平方式的方法，叫做配方法．【初步運用】請用上述方法把x2【拓展應用】已知三角形ABC的三邊分別為a，b，c，且滿足a2+c50．（22-23七年級下·安徽滁州·階段練習）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有些多項式只用上述方法無法分解，如x2?4y(1)分解因式：9x(2)若三角形ABC的三邊長a,b,c滿足a2?4bc+4ac?ab=0，判斷三角形51．（23-24八年級上·福建泉州·階段練習）（1）分解下列因式，將結果直接寫在橫線上：x2?6x+9=________，25x（2）觀察上述三個多項式的系數(shù)，有?62=4×1×9，102=4×25×1，122=4×4×9，于是小明猜測：若多項式ax（3）已知代數(shù)式x?ax?b?x?bc?x+a?xc?x考題猜題06七年級期中必刷題（拔尖必刷51題種17題型專項訓練）根據(jù)平行線的性質探究角的關系利用平行線之間的距離解決實際問題利用三角形的三邊關系進行化簡與折疊有關的角度計算問題利用三角形的中線求面積復雜多邊形的內角和平面鑲嵌利用冪的運算法則解決新定義問題利用冪的運算法則解決規(guī)律探究問題與整式乘法有關的新定義問題與整式乘法有關的規(guī)律探究問題與整式乘法有關的面積探究問題利用完全平方公式變形求值利用配方法求最值與整式乘法有關的整除問題利用乘法公式解決面積問題利用因式分解判斷三角形形狀.一．根據(jù)平行線的性質探究角的關系（共3小題）1．（23-24七年級下·河北石家莊·階段練習）我們通常把圖1、圖2中的點E稱為拐點，解決平行線中有關拐點問題的方法，一般是過拐點作平行線

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，已知AB∥CD，直接寫出∠BAE,∠DCE,∠AEC的數(shù)量關系；【變式拓展】如圖2，保持AB∥CD，當點E在AB的右上方時，∠BAE,∠DCE,∠AEC的數(shù)量關系有變化嗎?寫出結論，并證明你的猜想；【學科融合】圖3是一探照燈燈碗的縱剖面，在焦點O處發(fā)出的光線經燈碗(點C除外)反射后均沿與CO平行的方向射出．入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB=62°，若入射光線OD經燈碗反射后沿DE射出，且∠ODE=20°，求∠AOD的度數(shù).【答案】探究發(fā)現(xiàn)：∠AEC=∠BAE+∠DCE；變式拓展：有變化，∠DCE=∠BAE+∠AEC,證明見解析；學科融合：42°或84°【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質，分析入射光線OD的不同位置是做本題的關鍵．探究發(fā)現(xiàn)：過點E作EF∥AB，由平行線的性質可得EF∥CD，則有∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，從而可求解；變式拓展：利用平行線的性質可得∠BFE=∠DCE，再由三角形的外角性質得∠BFE=∠BAE+∠AEC，從而可求解；學科融合：分兩種情況：如果∠AOD是銳角，∠AOD=∠COA?∠COD；如果∠AOD是鈍角，∠AOD=∠COA＋∠COD，由平行線的性質求出∠COA，∠COD，從而求出【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：過點E作EF∥AB，如圖，

∴∠A=∠AEF，∵AB∥CD∴EF∥CD，∴∠C=∠CEF，∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠DCE變式拓展：有變化，∠DCE=∠BAE+∠AEC，證明：如圖，

∵AB∴∠BFE=∠DCE，∵∠BFE是△AEF的外角，∴∠BFE=∠BAE+∠AEC，∴∠DCE=∠BAE+∠AEC；學科融合：如圖，

∵AB∥CF∴∠COA=∠OAB.∵∠OAB=62°∴∠COA=62°∵DE∥CF∴∠COD=∠ODE.∵∠ODE=20°∴∠COD=20°在圖1的情況下，∠AOD=∠COA?∠COD=62°?20°=42°在圖2的情況下，∠AOD=∠COA+∠COD=62°∠AOD的度數(shù)為42°或82°2．（23-24七年級上·河南南陽·期末）如圖1，在同一個平面上，已知點O為直線AB上一點，將三角板COD（∠C=30°）按如圖所示放置，且直角頂點與O重合，三角板COD可繞點O旋轉，設∠AOC=α（0°＜α＜90°），點(1)【問題探究】已知α=30°，且∠OFD=75°，通過計算說明：OF平分∠COD；(2)【類比探究】當三角板繞點O旋轉到圖2位置時，OF平分∠AOD，求∠COF的度數(shù)（結果用含α的代數(shù)式表示）；(3)【拓展應用】在（2）的條件下，請直接寫出∠BOD與∠COF存在的數(shù)量關系為______．【答案】(1)見解析；(2)∠COF=45°?1(3)∠BOD=2∠COF【分析】本題考查了角的平分線，平行線的判定和性質，旋轉的性質，角的和差倍分關系．（1）根據(jù)∠C=∠AOC=30°，得到CD∥AB，得到∠AOF=∠OFD=75°，繼而得到∠COF=45°，結合∠COD=90°，可證∠DOF=45°，繼而得到OF平分∠COD．（2）根據(jù)∠COD=90°，∠AOC=α，得到∠AOD=∠COD+∠AOC=90°+α，結合OF平分∠AOD，得到∠AOF=12∠AOD=（3）根據(jù)∠BOD=180°?∠AOD=180°?90°?α=90°?α=245°?12【詳解】（1）∵∠C=∠AOC=30°，∴CD∥AB，∴∠AOF=∠OFD=75°，∴∠COF=45°，∵∠COD=90°，∴∠DOF=45°，∴OF平分∠COD．（2）∵∠COD=90°，∠AOC=α，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=90°+α，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=1∴∠COF=∠AOF?∠AOC=90°+α（3）∵∠COF=45°?1∠BOD=180°?∠AOD=180°?90°?α=90°?α=245°?∴∠BOD=2∠COF．故答案為：∠BOD=2∠COF．3．（23-24七年級上·四川宜賓·期末）已知直線AB∥CD，在三角形紙板EFG中，(1)將三角形EFG按如圖1放置，點E和點G分別在直線AB、CD上，若∠DGF=25°，則∠AEF=°(2)將三角形EFG按如圖2放置，點E和點G分別在直線AB、CD上，GF交AB于點H，若∠DGF=α，∠BEF=β，試求α、β之間的數(shù)量關系；(3)在圖2中，若∠AEF=20°，∠AEG=40°，將三角形EFH繞點F以每秒10°的速度順時針旋轉一周，設運動時間為t秒，當三角形EFH兩條直角邊分別與GE平行時，求出相應t的值（直接寫出答案）．【答案】(1)65(2)α+β=270°(3)3，12，21，30【分析】本題考查了平行線的性質，過“拐點”構造平行線是解題關鍵．（1）作AB∥FH，根據(jù)∠HFG=∠DGF=25°、（2）作AB∥MN，根據(jù)∠MFG+α=180°,∠NFE+β=180°、（3）根據(jù)題意畫出滿足條件的幾何圖，分類討論求出旋轉角度即可求解．【詳解】（1）解：作AB∥∵AB∥CD，∴CD∥AB∴∠HFG=∠DGF=25°，∴∠AEF=∠EFH=90°?∠HFG=65°，故答案為：65；（2）解：作AB∥∵AB∥CD，∴CD∥AB∴∠MFG+α=180°,∠NFE+β=180°，∵∠MFG+∠EFG+∠NFE=180°，∴180°?α+90°+180°?β=180°，即：α+β=270°；（3）解：∵∠AEF=20°，∠AEG=40°，∴∠FEG=60°，①F此時：∠H旋轉角度∠H∴t=30°②F此時：旋轉角度∠E∴t=120°③F此時：∠H旋轉角度∠H∴t=210°④F此時：∠E旋轉角度為：360°?∠∴t=300°綜上所述：t的值為：3，12，21，30．二．利用平行線之間的距離解決實際問題（共3小題）4．（22-23七年級下·河南信陽·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為A(a,0)、B(b,0)，且a、b滿足a+1+b?4=0，現(xiàn)同時將點A、B分別向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到點A、B的對應點D、C，連接AD、BC

(1)求a、b的值，并直接寫出點A、點B、點C、點D的坐標；(2)如圖2，點P是線段DC上的一個動點，連接PA、PB，當點P在線段DC上移動時，△ABP的面積是否變化？若不變，請求出△ABP的面積；若變化，請說明理由．(3)在x軸上是否存在一點M，使△MBD的面積與△ACD的面積相等？若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)a=?1，b=4，A(?1,0)，B(4,0)，D(0,3)，C(5,3)；(2)△ABP的面積是不變化，152(3)M(?1,0)，M(9,0)；【分析】（1）根據(jù)非負式子和為0它們分別等于0直接求解得到a、b的值，再根據(jù)平移的性質求解即可得到答案；（2）根據(jù)平移的性質得到CD∥AB，結合平行線間距離的性質即可得到答案；（3）分點M在B點左側右側兩種情況結合面積相等列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，∵a+1≥0，b?4≥0，∴b?4=0，a+1=0，解得：a=?1，b=4，∴A(?1,0)，B(4,0)，∵點A、B分別向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到點A、B的對應點D、C，∴D(0,3)，C(5,3)；（2）解：△ABP的面積是不變化，理由如下，∵點A、B分別向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到點A、B的對應點D、C，∴CD∥AB，CD=AB，∵A(?1,0)，B(4,0)，D(0,3)，C(5,3)，∴兩條平行線間的距離為：h=3，∴△ABP的面積是不變化，S△ABP（3）解：設M(m,0)，∵CD∥AB，CD=AB，∴S△ACD①當點M在B點左側時，S△MBD∵△MBD的面積與△ACD的面積相等，∴6?3m2=此時M與A點重合，M(?1,0)；②當點M在B點右側時，S△MBD∵△MBD的面積與△ACD的面積相等，∴3m2?6=15此時點M為：M(9,0)；【點睛】本題考查二次根式的非負性，平行線間距離關系，平行的性質，解題的關鍵是根據(jù)非負式子和為0它們分別等于0求出a，b，第（3）問中注意分類討論．5．（22-23七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）（1）如圖1，直線AD∥直線BC，則S△ABC______S（2）如圖2，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，在線段BC上確定點F，使AF等分△ABC的面積（要求：僅用無刻度的直尺作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖3，小明家有一塊三角形種植地ABC，按照建設規(guī)劃，要將種植地移到長方形區(qū)域內，為了補償小明家，劃撥給小明家的新的種植地的面積是原來的兩倍，并且還保留種植地為三角形的形狀，請作出變動后的△BDE

【答案】（1）=；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)平行線間的距離處處相等以及同底等高的兩個三角形面積相等可得答案；（2）根據(jù)三角形的三條中線交于一點作出中線AF，根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可知AF等分△ABC的面積；（3）作∠CAM=∠BCA，可得BD∥AM，延長BC至點D，使BC=CD可得BD=2BC，然后在AM上且在長方形的內部取一點E，連接BE，DE，可得△BDE【詳解】解：（1）∵平行線間的距離處處相等，∴△ABC和△DBC同底等高，∴S△ABC故答案為：=；（2）如圖2，設CD與BE交于點O，連接AO并延長交BC于F，點F即為所求；

證明：由題意得CD與BE是△ABC的中線，∴AF是△ABC的中線，∴AF等分△ABC的面積；（3）如圖3，作∠CAM=∠BCA，延長BC至點D，使BC=CD，然后在AM上且在長方形的內部取一點E，連接BE，DE，則△BDE

證明：由作圖知：∠CAM=∠BCA，BD=2BC，∴BD∥∴S△BDE【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，三角形的面積公式，三角形中線的性質，尺規(guī)作圖等知識，熟練掌握基本幾何圖形的性質，能夠將復雜作圖轉化為一般作圖是解題的關鍵．6．（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）【理解概念】（1）如果一條直線將一個圖形分割成面積相等的兩個部分，則稱這條直線叫做該圖形的“等積線”．（2）如圖①，直線l1∥l2，點A是直線l1上的一點，AB⊥l2，垂足為B【新知探究】（1）如圖②，過點A畫出△ABC的等積線，并簡要說明畫法；（2）如圖③，直線l1∥l2，A、B是l2上的兩點，P、Q是l1上的兩點，分別連接AP、AQ、BP、BQ，AQ與BP交于點O．設△APO的而積為S1【拓展提高】（1）如圖④，點M是△ABC中BC邊上的一點，CM<BM．小峰同學做了如下的操作：①連接MA，過點C畫CD∥MA，交BA的延長線于點D：②找出線段BD的中點E，畫直線ME．小峰認為直線ME就是△ABC的等積線，你同意嗎？說明理由．（2）如圖⑤，在四邊形ABCD中，連接AC，△ACD的面積小于過點A畫四邊形ABCD的等積線，并簡要說明畫法，不需說理．【答案】（1）見解析；（2）=；（1）同意，見解析；（2）見解析．【分析】（1）三角形中線可將三角形面積平分，因此取中點連線即可；（2）平行線中先找到面積相等的三角形，再減去相同的部分直接求出剩余部分面積相等即可；（1）通過作輔助線得到S△MDA=S（2）與（1）同理，推論出S△ADC=S△APC，然后取BP中點【詳解】（1）取BC中點K，連接AK，AK是△ABC的等積線．（2）∵l1∴S△APQ∴S1故答案為：=；（1）連接MD，∵CD∥MA，∴S△MDA∴S△ABC∵BD的中點是E，∴S△MBE∴S∴ME就是△ABC的等積線．（2）過D作DP∥AE交BC延長線于P，連接取BP中點E，連接AE，與（1）同理可得，AE即為四邊形ABCD的等積線．【點睛】此題考查三角形中線的性質和平行線的性質，解題關鍵是在平行線中找出等面積的三角形進行轉化．三．利用三角形的三邊關系進行化簡（共3小題）7．（22-23七年級下·福建泉州·期中）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．(1)化簡代數(shù)式：a+b?c+(2)若AB=AC，AC邊上的中線BD把三角形的周長分為15和6兩部分，求腰長AB．【答案】(1)2a(2)10【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關系得出a+b>c，a+c>b，然后化簡絕對值即可；（2）設AB=AC=2x，BC=y，則AD=CD=x，分兩種情況求出x、y的值即可．【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，∴a+b>c，a+c>b，∴a+b?c+故答案為：2a；（2）解：設AB=AC=2x，BC=y，則AD=CD=x，

∵AC上的中線BD將這個三角形的周長分成15和6兩部分，①當3x=15，且x+y=6，解得，x=5，y=1，∴三邊長分別為10，10，1；②當x+y=15且3x=6時，解得，x=2，y=13，此時腰為4，根據(jù)三角形三邊關系，任意兩邊之和大于第三邊，而4+4=8<13，故這種情況不存在．∴△ABC的腰長AB為10．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關系的應用，等腰三角形的定義，化簡絕對值，解題的關鍵是數(shù)形結合，并注意進行分類討論．8．（22-23七年級下·四川眉山·期中）已知a，b，c是△ABC的三邊，化簡a+b?c【答案】3b?a?c【分析】根據(jù)三角形的三邊關系和絕對值的意義化簡絕對值，再合并同類項即可求解．【詳解】解：∵a，b，c是△ABC的三邊，∴a+b>c，b?a<c，c+b>a，即a+b?c>0，b?a?c<0，c?a+b>0，∴a+b?c=a+b?c+b?a?c+c?a+b=3b?a?c．【點睛】本題考查三角形的三邊關系、絕對值的化簡、合并同類項，熟練掌握三角形的三邊關系，正確化簡絕對值是解答的關鍵．9．（21-22七年級下·河南洛陽·期末）已知a，b，c是一個三角形的三邊長，(1)填入“＞、＜或＝”號：a?b?c______0，b?a?c_______0，c+b?a______0．(2)化簡：|a?b?c|+|b?a?c|?|c+b?a|．【答案】(1)＜，＜，＞(2)a?b+c【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關系即可作答；（2）根據(jù)（1）的判斷去掉絕對值符號后合并同類項即可．【詳解】（1）解：∵a，b，c是一個三角形的三邊長，∴a?b?c＜0，b?a?c（2）解：原式=b+c?a+a+c?b?c?b+a=a?b+c．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關系，絕對值的性質，整式的加減，解題關鍵是掌握三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．四．與折疊有關的角度計算問題（共3小題）10．（23-24七年級上·吉林白山·期末）如圖，等邊三角形紙片ABC中，點D在邊AB（不包含端點A，B）上運動，連接CD，將∠ADC對折，點A落在直線CD上的點A'處，得到折痕DE；將∠BDC對折，點B落在直線CD上的點B'處，得到折痕

(1)若∠ADC=70°，求∠BDF的度數(shù)；(2)試問：∠EDF的大小是否會隨著點D的運動而變化？若不變，求出∠EDF的度數(shù)；若變化，請說明理由．【答案】(1)∠BDF=55°(2)不變，∠EDF=90°【分析】本題主要考查了三角形的折疊問題，解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質，數(shù)形結合．（1）根據(jù)折疊得出∠ADE=∠A'DE，∠BDF=∠B'（2）根據(jù)∠A'DE=12【詳解】（1）解：∵將∠ADC對折，得到折痕DE，∴∠ADE=∠A∵將∠BDC對折，得到折痕DF，∴∠BDF=∠B∵∠ADC=70°，∴∠BDC=180°?∠ADC=180°?70°=110°，∴∠BDF=1（2）解：不變．理由如下：∵∠ADC+∠BDC=180°，∠A'DE=∴∠A即∠EDF=1∴∠EDF的大小不隨點D的運動而變化．11．（23-24七年級上·山東淄博·期中）如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=68°，點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF(1)如圖1，當點P落在BC上時，求∠BEP(2)如圖2，當PF⊥AC時，求∠AEF【答案】(1)96°；(2)65°．【分析】本題考查了折疊的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，解題的關鍵是根據(jù)折疊的性質得到相等的線段和角．（1）根據(jù)折疊的性質證明AE=EP，結合BE=EP，得∠B=∠BPE=42°（2）根據(jù)折疊和垂直得到∠AFE=∠PFE=45°，利用三角形內角和求出∠【詳解】（1）由折疊得AE=EP，∵AE=EB，∴BE=EP，∴∠B=∵∠B＋∴∠BEP=180°?∠B?∠BPE=180°?42°?42°=96°；（2）∵PF⊥AC，∴∠PFA=90°由折疊得∠AFE=∴∠AFE=∠PFE=在△ABC中∠A＋∴∠=180°?42°?68°=70°，在△AEF中∠AEF＋∴∠=180°?70°?45°=65°．12．（22-23七年級下·江蘇揚州·期末）（1）如圖1，把三角形紙片ABC折疊，使3個頂點重合于點P．這時，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________°；

（2）如果三角形紙片ABC折疊后，3個頂點并不重合于同一點，如圖2，那么(1)中的結論是否仍然成立？請說明理由；（3）折疊后如圖3所示，直接寫出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之間的數(shù)量關系_______；（4）折疊后如圖4，直接寫出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6之間的數(shù)量關系：_______；【答案】（1）360°；（2）成立，詳見解析；（3）∠1?∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；（4）∠1?∠2?∠3+∠4+∠5+∠6=360°．【分析】（1）根據(jù)折疊性質和三角形內角和即可；（2）根據(jù)折疊性質和三角形內角和即可；（3）根據(jù)折疊性質和三角形內角和外角性質計算即可；（4）根據(jù)折疊性質和三角形內角和外角性質計算即可．【詳解】（1）由折疊性質可知：△AED≌△PED，△BFG≌△PFG，△CMN≌△PMN，∴∠A=∠EPD，∠B=∠FPG，∠C=∠MPN，∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠EPF+∠DPN+∠GPM=360°?∠EPD?∠FPG?∠MPN=360°?∠A?∠B?∠C=180°，∴∠1+∠2+故答案為：360，（2）由由折疊性質可知：△AED≌△PED，△BFG≌△PFG，△CMN≌△PMN，∴∠AED=∠A'ED=12∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A'ED+∠A'DE+∠A'∴∠1+∠2=180°?∠A，同理：∠3+∠4=180°?∠B，∠5+∠6=180°?∠C，∴∠1+∠2+（3）根據(jù)(2)可知：∠3+∠4=180°?∠B，∠5+∠6=180°?∠C，如圖3，∵180°?∠A'?∠2=∠AD∴∠1?∠2=180°?∠A，∴∠1?∠2+故答案為：360°，（4）根據(jù)（2）（3）可知：∠5+∠6=180°?∠C，∠1?∠2=180°?∠A，∠4?∠3=180°?∠B，∴∠1?∠2+∴∠1?∠2?∠3+∠4+∠5+∠6=360°，故答案為：360°【點睛】此題考查了翻折、角的計算，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．五．利用三角形的中線求面積（共3小題）13．（22-23七年級下·山東青島·期末）問題解決：

(1)如圖1，△ABC中，AF為BC邊上的中線，則S△ABF(2)如圖2，D,E,F分別為BC,AD,CE的中點，則S△DEF=_________(3)如圖3，D,E,F分別為BC,AD,CE的中點，若S△BFC=2，則問題探究：(1)如圖4，CD,BE是△ABC的中線，CD,BE交于點O,S△BOC與解：△ABC中，由問題解決的結論可得，S△BCD∴S∴S即S△BOC(2)如圖5，△ABC中，D是AC上的一點，AC=4CD,AE是△ABC的中線，且S△ABC=48，試求問題拓展：如圖6，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BD，則S△ADC=_________

【答案】問題解決：（2）18；(3)8；問題探究：（2）12；問題拓展：【分析】問題解決：（2）根據(jù)三角形中線的性質，先求得△ADC的面積，再求得△DEC的面積，即可求得△DEF的面積；（3）根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形用S△ABC表示出△ABD、△ACD、△BDE，△CDE的面積，然后表示出△BCE的面積，再表示出△BEF問題探究：（2）先求出S△ABE，再結合S問題拓展：延長BD交AC于E，由“ASA”可證△ABD≌△AED，可得BD=DE，由面積關系可求解．【詳解】解：問題解決：（2）如圖2，∵D為BC的中點，∴S△ABD∵E為AD的中點，∴S△DEC∵F為EC的中點，∴S△EDF∴S△DEF故答案為：18（3）如圖3，連接BE，∵點D、E分別為BC、AD的中點，∴S△ABDS△BDES△CDE∴S△BCE∵F是CE的中點，∴S△BEF=1∴S△BFC∵S△BFC∴S△ABC故答案為：8；問題探究：（2）如圖5，∵AC=4CD，∴CD=14AC∴S△BCD∴S△ABD∵AE是△ABC的中線，∴S△ABE=1∴S△ADF問題拓展：S△ADC如圖6，延長BD交AC于E，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD⊥BD，∴∠ADB=∠ADE=90°，在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EADAD=AD∴△ABD≌∴BD=DE，∴S△ABD=S∴△ADC的面積=1故答案為：12【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．14．（22-23七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）【數(shù)學經驗】三角形的中線、角平分線、高是三角形的重要線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點．（1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△ABC的三條高所在直線交于點______；②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高CF（不寫畫法，保留作圖痕跡）；③如圖3，利用格點和無刻度的直尺完成作圖：作出△ABC的高AH（不寫畫法，保留作圖痕跡，有效的格點加黑加粗）．【綜合應用】（2）如圖4，在△ABC中，AD、BE、CF是三條角平分線，它們相交于點O，過點O作OG⊥BC于點G．①若∠BAC=70°，則∠BOC=______°．②寫出圖中所有與∠COG互補的角：______．【拓展延伸】（3）我們也知道，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．如圖5，△ABC中，AB=6，AC=8，點D、E是BC、AC邊上的中點，AD、BE交于點F．若△ABC的面積為S，則四邊形DCEF的面積為______（用含S的代數(shù)式表示），其存在最大值，這個值為______．

【答案】（1）①A；②見解析；③見解析；（2）①125°；②∠AOB，∠DOE；（3）13【分析】（1）①根據(jù)高的定義解答即可；②延長BE，DA相交于點G，連接CG交BA的延長線于點F；③取格點G，連接AG交BC于點H；（2）①根據(jù)角平分線的定義得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12②先證明∠BOD=∠COG，然后再找與∠COG互補的角；（3）連接CF，證明S△BDF=S△AEF=S△CDF=S△CEF，進而可求出S四邊形【詳解】（1）①有圖可知，△ABC的三條高所在直線交于點A．故答案為：A；②如圖所示，線段CF即為所求的第三條高；

③如圖所示，線段AH即為所求；

（2）①∵BE、CF是三條角平分線，∴∠OBC=12∠ABC∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°?70°=110°，∴∠BOC=180°?∠OBC?∠OCB=180°?=180°?=125°．故答案為：125°；②∵AD、BE、CF是三條角平分線，，∴∠ABO=12∠ABC，∠BAO=∴∠BOD=∠ABO+∠B∠BOD=∠ABO+∠BAO=12=90°?∠OCG，∵OG⊥BC，∴∠OGC=90°，∴∠COG=90°?∠OCG，∴∠BOD=∠COG．∵∠AOB+∠BOD=180°，∴∠AOB+∠COG=180°，∵∠AOB=∠DOE，∴∠DOE+∠COG=180°，故答案為：∠AOB，∠DOE；（3）如圖，連接CF，∵點D、E是BC、AC邊上的中點，∴S△ACD=S△BCD=∵S△BDF=S∴S△BDF∴S△BDF∴S四邊形

如圖，作CH⊥AB于點H，S=12AB?CH∴當AC⊥CH時，S取得最大值，S最大∴四邊形DCEF的面積最大值為13故答案為：13

【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，三角形的中線，角平分線，高線，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決問題．15．（22-23七年級下·江蘇鹽城·期末）【問題情境】蘇科版數(shù)學課本七年級下冊上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關系？小旭同學在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因為高AE相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點D在△ABC的邊BC上，點P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，依次連結E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3【答案】（1）①證明見解析；②3:1；（2）①證明見解析；②15【分析】（1）①根據(jù)中線的性質可得S△ADB=S△ADC，點D為BC的中點，推得PD是△PBC的中線，②設△ABC邊BC上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式可得S△ADB=12×BD×h，S△ADC=12（2）①連接AG，AC，CE，根據(jù)中線的判定和性質可得S△GAH=S△GAD=12S△GHD，S△CBA=S△CBE②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四邊形【詳解】（1）①證明：∵AD是△ABC的中線，∴S△ADB=S△ADC，點∴PD是△PBC的中線，∴S△PDB∴S△ADB即S△APB②S△APB解：設△ABC邊BC上的高為h，則S△ADB=1∵BD=3DC，∴S△ADB同理S△PDB則S△ADB即S△APB∴S△APB（2）①證明：連接AG，AC，CE，如圖：

∵點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，∴AG，BC，CE，DA分別為△GHD，△CAE，△EFB，△ACG的中位線，∴S△GAH=S△GAD=12∴S△ADC=∵S四邊形即S△HDG②15，解：由①可得S△HDG+SS四邊形即S四邊形∵S四邊形∴S四邊形【點睛】本題考查了中位線的判定和性質，三角形的面積公式，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個等底同高的三角形是題的關鍵．六．復雜多邊形的內角和（共3小題）16．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【答案】540°【分析】如圖所示，由三角形外角的性質可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多邊形的內角和公式可求得答案．【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【點睛】本題主要考查的是三角形外角的性質和多邊形的內角和公式的應用，利用三角形外角和的性質將所求各角的和轉化為五邊形的內角和是解題的關鍵17．（2020九年級·全國·專題練習）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進而將問題轉化為求四邊形ADEF的內角和，（2）與（1）方法相同轉化為求六邊形ABCDEF的內角和，（3）使用上述方法，轉化為求五邊形ABCDE的內角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內角和，四邊形的內角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【點睛】本題考查三角形的內角和、多邊形的內角和的計算方法，適當?shù)霓D化是解決問題的關鍵．18．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為．【答案】1080°【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內角和定理得到7邊形ABCDEFK的內角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．【詳解】解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．故答案為：1080°．【點睛】本題考查了n邊形的內角和定理：n邊形的內角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．七．平面鑲嵌（共3小題）19．（21-22七年級上·江西撫州·期末）（1）【探究】觀察下列算式，并完成填空：1=1+3=4=1+3+5=9=1+3+5+7=16=41+3+5·?+2n?1=______．（（2）如圖是某市一廣場用正六邊形、正方形和正三角形地板磚鋪設的圖案，圖案中央是一塊正六邊形地板磚，周圍是正方形和正三角形的地板磚．從里向外第一層包括6塊正方形和6塊正三角形地板磚；第二層包括6塊正方形和18塊正三角形地板磚；以此遞推．①第3層中分別含有______塊正方形和______塊正三角形地板磚；②第n層中分別含有______塊正方形和______塊正三角形地板磚（用含n的代數(shù)式表示）．（3）【應用】該市打算在一個新建廣場中央，采用如圖樣式的圖案鋪設地面，現(xiàn)有1塊正六邊形、150塊正方形地板磚，問：鋪設這樣的圖案，還需要多少塊正三角形地板磚？請說明理由．【答案】（1）n2；（2）①6，30；②6，62n?1或【分析】（1）觀察算式找出規(guī)律即可；（2）①觀察圖形數(shù)出正方形和正三角形塊數(shù)；②根據(jù)前三層正方形和正三角形塊數(shù)找出規(guī)律；（3）分別找出所給正方形和正三角形塊數(shù)各能鋪設地面多少層，進而確定答案．【詳解】解：（1）觀察算式規(guī)律，1+3+5+…+（2n-1）=n2，故答案為：n2；（2）①∵第一層包括6塊正方形和6塊正三角形地板磚，第二層包括6塊正方形和6+12=18塊正三角形地板磚，∴第三層包括6塊正方形和18+12=30塊正三角形地板磚．故答案為：6，30；②∵第一層包括6塊正方形和6=6×1=6×（2×1-1）塊正三角形地板磚，第二層包括6塊正方形和18=6×3=6×（2×2-1）塊正三角形地板磚，第三層包括6塊正方形和30=6×5=6×（2×3-1）塊正三角形地板磚，∴第n層包括6塊正方形和6（2n-1）塊正三角形地板磚．故答案為：6，6（2n-1）；（3）鋪設這樣的圖案，還需要3750塊正三角形地板磚．理由如下：∵150÷6=25（層），∴150塊正方形地板磚可以鋪設這樣的圖案25層；∵鋪設25層需要正三角形地板磚的數(shù)量為：6[1+3+5+?+（2n-1）]=6n2，∴當n=25時，6n2=6×252=3750，∴鋪設這樣的圖案，還需要3750塊正三角形地板磚．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，代數(shù)式的求值，正確找出其變化規(guī)律是解題的關鍵．20．（23-24八年級上·山東煙臺·期末）小穎家買了新樓，她想在邊長相同的①正三角形、②正方形、③正五邊形、④正六邊形四種瓷磚中，選擇一些瓷磚進行地面的鑲嵌（彼此之間不留空隙、不重疊）．(1)她想選用兩種瓷磚，若已選用正三角形瓷磚，則可以再選擇的是______瓷磚（填寫序號）；(2)她發(fā)現(xiàn)僅用正五邊形瓷磚不能鑲嵌地面，若將三塊相同的正五邊形瓷磚按如圖所示放置，求∠1的度數(shù)．【答案】(1)②或④，(2)36°．【分析】此題考查鑲嵌問題，正確掌握各正多邊形的每個內角的度數(shù)及鑲嵌的計算方法是解題的關鍵．（1）進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內角和應是360°，因此我們只需要驗證是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內角度數(shù)的整數(shù)倍即可；（2）求出正五邊形的三個內角和，再用360°減掉即可．【詳解】（1）解：正三角形一個內角是60°，正方形的一個內角是90°，3×60°+2×90°=360°正五邊形的一個內角是180°×5?2正六邊形的一個內角是180°×6?26∴可以進行地面的鑲嵌是②或④．（2）解：正五邊形的每個內角度數(shù)為180°×5?2所以，∠1=360°?108°×3=36°．21．（23-24八年級上·福建廈門·期末）在生活中經?？吹揭恍┢春蠄D案如圖所示，它們或是用單獨的正方形或是用多種正多邊形混合拼接成的，拼成的圖案要求嚴絲合縫，不留空隙.從數(shù)學角度看，這些工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)的問題．(1)如果限用一種正多邊形來覆蓋平面的一部分，正六邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形?請說明理由；(2)同時用正方形和正八邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形?請說明理由；(3)請你探索，是否存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌成的平面圖形，寫出驗證過程．【答案】(1)正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形，理由見解析(2)同時用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形，理由見解析(3)存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌成的平面圖形，驗證見解析【分析】本題主要考查了正多邊形的內角和，正多邊形的外角和問題，熟練掌握正多邊形的內角和為n?2×180°（1）先求出正六邊形的內角和，再求出每一個內角的度數(shù)，用360°除以內角的度數(shù)，看是否能夠除盡，由此即可得出答案；（2）正方形的每個內角為90°，求出正八邊形的每一個內角為135°，再結合135°×2+90°=360°，即可得出答案；（3）求出正方形的每個內角為90°，正五邊形的每一個內角為108°，正二十變形的每一個內角為162°，由162°+108°+90°=360°，即可得出答案．【詳解】（1）解：正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形，理由如下：∵正六邊形的內角和為：6?2×180°=720°∴正六邊形的每一個內角為：720°÷6=120°，∵360°÷120°=3，∴正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形；（2）解：同時用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形，理由如下：∵正八邊形的內角和為：8?2×180°=1080°∴正八邊形的每一個內角為：1080°÷8=135°，∵135°×2+90°=360°，∴同時用1塊正方形和2塊正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形；（3）解：存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌成的平面圖形，理由如下：正方形的每個內角為90°，∵正五邊形的內角和為：5?2×180°=540°∴正五邊形的每一個內角為：540°÷5=108°，∵正二十邊形的內角和為：20?2×180°=3240°∴正二十邊形的每一個內角為：3240°÷20=162°，∵162°+108°+90°=360°，∴存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌成的平面圖形，此時該平面圖形由1塊正二十邊形、1塊正五邊形、1塊正方形構成．八．利用冪的運算法則解決新定義問題（共3小題）22．（20-21七年級下·北京門頭溝·期末）對于兩個非零實數(shù)a，b定義一種新運算，記作?a定義：如果ax=b，那么?a?,?b例如：因為52=25，所以?5?,根據(jù)上述運算的定義，回答下列問題：（1）計算：?2?,（2）如果?a?,（3）如果?a?,?2（4）如果M=3，N=13，那么【答案】（1）3，?2；（2）±4；（3）12；（4）0【分析】(1)由定義的新運算法則直接求出；（2）由定義的新運算法則建立等式，計算可得；（3）由定義的新運算法則建立等式，再通過冪的混合運算，計算可得；（4）由定義的新運算法則建立等式，