《提分練習(xí)3矩形的性質(zhì)與判定的六種應(yīng)用》典例剖析例[一題多解]如圖，直線EF過(guò)矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，那么陰影部分的面積為_(kāi)______.解題秘方：利用矩形的對(duì)稱性將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形的面積進(jìn)行計(jì)算.方法一：∵四邊形ABCD是矩形，∴由矩形中心對(duì)稱的性質(zhì)知.∴.方法二：在矩形ABCD中，OB=OD，∠EBO=∠FDO.在△OEB與△OFD中，∴△OEB≌△OFD.∴.∴.答案：3分類訓(xùn)練應(yīng)用一利用矩形的判定和性質(zhì)解和差問(wèn)題1.如圖①，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，D.（1）求證：BD=PE+PF.（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變.如圖②，BD，PE，PF之間的上述關(guān)系還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.應(yīng)用二利用矩形的判定和性質(zhì)解面積問(wèn)題2.如圖，已知點(diǎn)E是ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.（1）連接AC，BF，若∠AEC=2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形；（2）在（1）的條件下，若△AFD是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4，求四邊形ABFC的面積.應(yīng)用三利用矩形的性質(zhì)判定菱形3.【中考·鹽城】如圖，在矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分線BE，DF分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形.（2）當(dāng)∠ABE為多少度時(shí)，四邊形BEDF是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由.應(yīng)用四利用直角三角形斜邊上中線性質(zhì)判斷直線位置關(guān)系4.如圖，已知∠ACB=∠ADB=90°，N，M分別是AB，CD的中點(diǎn)，判斷MN與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.應(yīng)用五利用矩形的性質(zhì)探究與菱形相關(guān)的折疊問(wèn)題5.【中考·蘭州】如圖①，將一張矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F.（1）求證：△BDF是等腰三角形.（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O.①判斷四邊形BFDG的形狀，并說(shuō)明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的長(zhǎng).應(yīng)用六利用矩形的性質(zhì)探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題6.已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，AB=3，BC=4，點(diǎn)P是EC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BD于點(diǎn)R.（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC的中點(diǎn)時(shí),求證：PR+PQ=.（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E，點(diǎn)C重合）時(shí)，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P為線段EC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，其他條件不變，則PR與PQ之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想.

參考答案1.答案：（1）證明：如圖，作BH⊥FP交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四邊形BDFH是矩形.∴BD=HF.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB=∠PFC=90°.∴∠EPB=∠FPC.又∵∠HPB=∠FPC，∴∠EPB=∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB=∠PHB=90°.又∵PB=PB，∴△PEB≌△PHB.∴PE=PH.∴BD=HF=PF+PH=PF+PE，即BD=PE+PF.（2）解：不成立.理由如下：作BH⊥PF交PF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.與（1）同理可得PE=PH，BD=HF.∴PE=PH=HF+PF=BD+PF.點(diǎn)撥：先作輔助線構(gòu)造矩形BDFH得出BD=HF，再證△PEB≌△PHB得出PE=PH，從而得出BD，PE，PF之間的關(guān)系.2.答案：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC.∴∠ABE=∠ECF.∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE=CE.又∵∠AEB=∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB=CF，AE=EF.又∵AB∥CF，∴四邊形ABFC為平行四邊形.∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC=∠ABC+∠EAB.又∵∠AEC=2∠ABC，∴∠ABC=∠EAB.∴AE=BE.∴AE+EF=BE+CE，即AF=BC.∴四邊形ABFC為矩形.（2）解：四邊形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4，∴AF=DF=4，CF=CD==2.∴.∴.點(diǎn)撥：先判定四邊形ABFC是平行四邊形，再證出AF=BC，最后根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形判定四邊形ABFC是矩形.3.答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC.∴∠ABD=∠CDB.∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠CDB.∴∠EBD=∠FDB.∴BE∥DF.又∵AD∥BC，∴四邊形BEDF是平行四邊形.（2）解：當(dāng)∠ABE=30°時(shí)，四邊形BEDF是菱形.理由如下：∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°.∴∠EDB=90°-∠ABD=30°.∴∠EDB=∠EBD=30°.∴EB=ED.又∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴四邊形BEDF是菱形.4.答案：解：MN⊥CD.理由如下：如圖，連接ND，NC.在Rt△ABD中，∠ADB=90°，N是AB的中點(diǎn)，∴ND=AB.同理可證NC=AB.∴ND=NC.∴△NDC是等腰三角形.∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴MN⊥CD.點(diǎn)撥：本題利用直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)得到DN=CN，再根據(jù)等腰三角形底邊上的中線與高互相重合得到MN⊥CD.5.解析：（1）證明：由折疊的性質(zhì)，知△BDC≌△BDE，∴∠DBC=∠DBE.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠DBC=∠FDB.∴∠DBE=∠FDB.∴DF=BF.∴△BDF是等腰三角形.（2）解：①四邊形BFDG是菱形.理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴FD∥BG.又∵DG∥BE，∴四邊形BFDG是平行四邊形.又∵DF=BF，∴四邊形BFDG是菱形.②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°.∴.∵四邊形BFDG是菱形，∴GF⊥BD，F(xiàn)G=2OF，OB=BD=5.設(shè)DF=BF=x，則AF=AD-DF=8-x，在Rt△ABF中，，即，解得x=.∴BF=.在Rt△FOB中，，∴FG=2FO=.6.解析：（1）證明：連接BP，作CH⊥BD于點(diǎn)H.在矩形ABCD中，∠BCD=90°，BC=4，CD=AB=3，∴.由，得.∵，∴.又∵BE=BC，∴PR