第26頁（共26頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版期中必刷?？碱}之指數(shù)函數(shù)一．選擇題（共5小題）1．（2025秋?大連月考）已知函數(shù)f（x）＝ax（a＞1，x∈R），對于m，n∈R，若命題p：am＞an，命題q：m＞n，則p是q的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025?南通模擬）在某個時期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以p%的增長率呈指數(shù)增長．若增長為原來的54倍經(jīng)過了4天，則增長為原來的2倍需要經(jīng)過的天數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3A．6 B．12 C．16 D．203．（2025秋?重慶月考）已知函數(shù)f(x)=22x-A．f（﹣a）＜7 B．f（﹣a）＜0 C．f（﹣a）＞5 D．f（﹣a）＞34．（2025秋?涪城區(qū)校級月考）已知函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）與函數(shù)y=(1b)x（b＞0A．a(chǎn)＞b＞1 B．a(chǎn)＞1＞b＞0 C．b＞1＞a＞0 D．b＞a＞15．（2025秋?順義區(qū)校級月考）“a12＞b12A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025春?臨渭區(qū)校級期末）設(shè)a＞0，s∈R．下列各項中，不能推出as＞a的項有（）A．a(chǎn)＞1，且s＞0 B．a(chǎn)＞1，且s＜0 C．0＜a＜1，且s＞0 D．0＜a＜1，且s＜0（多選）7．（2025?東莞市校級模擬）已知實數(shù)x，y滿足(13)A．e2x+1＞e2y+1 B．sinx＞siny C．x3＞y3 D．2x﹣2y＞3﹣x﹣3﹣y（多選）8．（2025春?鹽城月考）對于函數(shù)f（x）＝x2與g（x）＝2x的圖象，下列說法錯誤的是（）A．f（x）與g（x）有三個交點 B．f（x）與g（x）有兩個交點 C．?x0＞0，當(dāng)x＞x0時，g（x）恒在f（x）的下方 D．?x0＞0，當(dāng)x＞x0時，g（x）恒在f（x）的上方三．填空題（共4小題）9．（2024秋?莆田校級期末）函數(shù)y＝ax﹣2（a＞0，且a≠1）的圖象恒過的定點A的坐標(biāo)為，若點A在一次函數(shù)y＝mx+n的圖象上，其中m，n＞0，則1m+1n的最小值為10．（2025春?寶山區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝ax+m+n（a＞0，a≠1）的圖像經(jīng)過定點（﹣1，1），則m+n＝．11．（2025春?臨渭區(qū)校級期末）已知集合A={x|x13＜2}，B={12．（2025春?貴州期末）已知函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1），g（x）＝xa（x＞0），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍為．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?仁壽縣校級期末）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點（3，19（1）求a的值；（2）求函數(shù)F（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，當(dāng)x∈[﹣2，1]時的值域．14．（2024秋?江西期末）已知集合A={（1）若m＝2，求A∩（?RB）；（2）若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，求m的取值范圍．15．（2024秋?重慶期末）一般地，函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)．已知函數(shù)f（x）＝（2a2﹣5a+3）ax是指數(shù)函數(shù)，且f（0）＜f（2）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）已知函數(shù)g（x）＝f（2x）﹣4f（x）+3，求g（x）在x∈[0，2]上的值域．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷?？碱}之指數(shù)函數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）題號12345答案ABDAA二．多選題（共3小題）題號678答案ABCACDBC一．選擇題（共5小題）1．（2025秋?大連月考）已知函數(shù)f（x）＝ax（a＞1，x∈R），對于m，n∈R，若命題p：am＞an，命題q：m＞n，則p是q的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值；充要條件的判斷．【專題】對應(yīng)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】A【分析】由充分條件和必要條件的單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案．【解答】解：∵a＞1，∴f（x）＝ax在R上單調(diào)遞增，由am＞an，得m＞n，又∵m＞n，∴am＞an，∴p是q的充要條件．故選：A．【點評】本題考查了充分與必要條件的判斷問題，是基礎(chǔ)題．2．（2025?南通模擬）在某個時期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以p%的增長率呈指數(shù)增長．若增長為原來的54倍經(jīng)過了4天，則增長為原來的2倍需要經(jīng)過的天數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3A．6 B．12 C．16 D．20【考點】指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由題意知，（1+p%）4=54，令（1+p%）x＝2，求出【解答】解：由題意知，（1+p%）4=54，所以1+p%令（1+p%）x＝2，即(454)x所以x4=log解得x＝4×0.31-3×0.3故選：B．【點評】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3．（2025秋?重慶月考）已知函數(shù)f(x)=22x-A．f（﹣a）＜7 B．f（﹣a）＜0 C．f（﹣a）＞5 D．f（﹣a）＞3【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】求出f（x）的定義域，計算f（﹣x），得出f（x）+f（﹣x）＝﹣2，再根據(jù)f（a）＜﹣5得出f（﹣a）＞3．【解答】解：因為f（x）=22x-1，2x﹣所以f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）；由f（﹣x）=2所以f（x）+f（﹣x）=22因為f（a）＜﹣5，所以﹣f（a）＞5，所以f（﹣a）＝﹣2﹣f（a）＞﹣2+5＝3，即f（﹣a）＞3．故選：D．【點評】本題考查了指數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．4．（2025秋?涪城區(qū)校級月考）已知函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）與函數(shù)y=(1b)x（b＞0A．a(chǎn)＞b＞1 B．a(chǎn)＞1＞b＞0 C．b＞1＞a＞0 D．b＞a＞1【考點】指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】A【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得a＞1，b＞1．再根據(jù)函數(shù)y=(1b)x與函數(shù)y【解答】解：由函數(shù)的圖象知，a＞1，0＜1b＜1，所以b因為函數(shù)y=(1b)x的圖象與函數(shù)y＝bx由圖象知，a1＞b1，則a＞b＞1．故選：A．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．5．（2025秋?順義區(qū)校級月考）“a12＞b12A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系；充分不必要條件的判斷．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷．【解答】解：由題意判斷充要條件可以分兩方面判斷：充分性：令f(x)=x12，易知f（由a12＞b12，可得到a＞b≥0；再令g(由a＞b≥0，可得到g（a）＜g（b），即12故“a12＞b12必要性：不妨令a=-1b=-2，此時1故“a12＞b12故選：A．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，充要條件的判斷，是中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025春?臨渭區(qū)校級期末）設(shè)a＞0，s∈R．下列各項中，不能推出as＞a的項有（）A．a(chǎn)＞1，且s＞0 B．a(chǎn)＞1，且s＜0 C．0＜a＜1，且s＞0 D．0＜a＜1，且s＜0【考點】指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系．【專題】分類討論；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，分別判斷選項中的命題是否成立即可．【解答】解：對于A，∵a＞1且s＞0，∴0＜s＜1時，as＜a1＝a，s≥1時，as≥a1＝a，∴a＞1且s＞0不能推出as＞a，選項A符合題意；對于B，∵a＞1且s＜0，∴as＜a1＝a，∴a＞1且s＜0不能推出as＞a，選項B符合題意；對于C，∵0＜a＜1且s＞0，∴0＜s＜1時，as＞a1＝a，s≥1時，as≤a1＝a，∴0＜a＜1且s＞0不能推出as＞a，選項C符合題意；對于D，∵0＜a＜1且s＜0，∴as＞a1＝a，∴0＜a＜1且s＞0能推出as＞a，選項D不符合題意．故選：ABC．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．（多選）7．（2025?東莞市校級模擬）已知實數(shù)x，y滿足(13)A．e2x+1＞e2y+1 B．sinx＞siny C．x3＞y3 D．2x﹣2y＞3﹣x﹣3﹣y【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值；冪函數(shù)的單調(diào)性與最值．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．【解答】解：因為(13)x＜A：y＝ex在R上是增函數(shù)，故e2x+1＞e2y+1，故本關(guān)系恒成立；B：當(dāng)x＝π，y＝0時，顯然符合x＞y，但是sinx＞siny不成立，故本關(guān)系式不恒成立；C：因為y＝x3在R上是增函數(shù)，所以x3＞y3，故本關(guān)系恒成立．D：由于y＝2x﹣3﹣x為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，由x＞y可得2x﹣3﹣x＞2y﹣3﹣y，故2x﹣2y＞3﹣x﹣3﹣y，故本關(guān)系式恒成立．故選：ACD．【點評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性在不等式大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2025春?鹽城月考）對于函數(shù)f（x）＝x2與g（x）＝2x的圖象，下列說法錯誤的是（）A．f（x）與g（x）有三個交點 B．f（x）與g（x）有兩個交點 C．?x0＞0，當(dāng)x＞x0時，g（x）恒在f（x）的下方 D．?x0＞0，當(dāng)x＞x0時，g（x）恒在f（x）的上方【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象．【答案】BC【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x2與g（x）＝2x的圖象如圖，由圖可知，f（x）與g（x）有三個交點，故A正確，B錯誤；?x0＝4＞0，當(dāng)x＞x0時，g（x）恒在f（x）的上方，故C錯誤，D正確．故選：BC．【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?莆田校級期末）函數(shù)y＝ax﹣2（a＞0，且a≠1）的圖象恒過的定點A的坐標(biāo)為（2，1），若點A在一次函數(shù)y＝mx+n的圖象上，其中m，n＞0，則1m+1n的最小值為22【考點】指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系；基本不等式及其應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得A（2，1），再利用基本不等式計算可得結(jié)果．【解答】解：由指數(shù)函數(shù)y＝ax﹣2，令x﹣2＝0，得x＝2，所以y＝a0＝1，即函數(shù)y＝ax﹣2的圖象恒過定點A（2，1）．所以2m+n＝1，且m，n＞0，則1m+1n=（1m+1n）（2m+當(dāng)且僅當(dāng)2mn=nm且2m+n＝1，即m=所以1m+1n故答案為：（2，1）；3+22．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10．（2025春?寶山區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝ax+m+n（a＞0，a≠1）的圖像經(jīng)過定點（﹣1，1），則m+n＝1．【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值；指數(shù)函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】1．【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：已知函數(shù)f（x）＝ax+m+n（a＞0，a≠1）的圖像經(jīng)過定點（﹣1，1），則﹣1+m＝0且a0+n＝1，解得m＝1且n＝0，故m+n＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．11．（2025春?臨渭區(qū)校級期末）已知集合A={x|x13＜2}，B={y|【考點】指數(shù)函數(shù)的值域；求集合的交集．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】（1，8）．【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)化簡集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡集合B，然后根據(jù)交集的定義運(yùn)算即可．【解答】解：因為x13＜2，所以x＜8，故A＝{x|因為x＞0，所以y＝2x＞1，故B＝{y|y＞1}，所以A∩B＝（1，8）．故答案為：（1，8）．【點評】本題主要考查了集合交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．12．（2025春?貴州期末）已知函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1），g（x）＝xa（x＞0），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍為（1，e）∪（e，+∞）．【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1，e）∪（e，+∞）．【分析】由題意建立方程并化簡，根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可得答案．【解答】解：令f（x）＝g（x），由方程兩邊同時取對數(shù)，可得xlna＝alnx，即lnxx該方程有兩個不同的根．令h（x）=lnxx，x＞0，則h′（x）當(dāng)x∈（0，e）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（e，+∞），h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，且x→0，h（x）→﹣∞，h（1）＝0，h（e）=1e，x→+∞，h（x）易知，當(dāng)a∈（1，e）∪（e，+∞）時，該方程有兩個不同的根，即函數(shù)h（x）有兩個不同的零點，則函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個不同的交點，所以a的取值范圍是（1，e）∪（e，+∞）．故答案為：（1，e）∪（e，+∞）．【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題，是中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?仁壽縣校級期末）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點（3，19（1）求a的值；（2）求函數(shù)F（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，當(dāng)x∈[﹣2，1]時的值域．【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意：函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點（3，19）．代入計算即可求a（2）求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題求值域即可．【解答】解：（1）由題意：函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點（3，19則有：19解得：a=（2）由（1）可知a=那么：函數(shù)F（x）＝a2x﹣ax﹣2+8=[(13)x∵x∈[﹣2，1]，∴(1則F（x）=[(13)x]當(dāng)(13)x=9，即x＝﹣2時，F(xiàn)（x當(dāng)(13)x=92，即x=lo所以函數(shù)的值域為[-494，【點評】本題考查了函數(shù)的帶值計算和復(fù)合函數(shù)的值域值法．考查了轉(zhuǎn)化思想，利用二次函數(shù)來求值域．屬于中檔題．14．（2024秋?江西期末）已知集合A={（1）若m＝2，求A∩（?RB）；（2）若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，求m的取值范圍．【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值；集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；集合；簡易邏輯；運(yùn)算求解．【答案】（1）A∩（?RB）{x|﹣2≤x＜0或4＜x≤5}；（2）[4，+∞）．【分析】（1）化簡集合A，B，由集合的運(yùn)算即可得解；（2）由題意得A是B的真子集，進(jìn)一步列不等式即可求解．【解答】解：（1）∵A={x|14≤2x≤32}={x|-2≤x≤5}，B＝{x|∴?RB＝{x|x＜0或x＞4}，A∩B＝{x|﹣2≤x＜0或4＜x≤5}．（2）∵“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，∴A?B，又∵B＝{x|x2﹣4x+4﹣m2≤0，m＞0}＝{x|2﹣m≤x≤2+m，m＞0}．∴m＞02-m≤-22+m≥5∴m的取值范圍是[4，+∞）．【點評】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，還考查了充分必要條件與集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?重慶期末）一般地，函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)．已知函數(shù)f（x）＝（2a2﹣5a+3）ax是指數(shù)函數(shù)，且f（0）＜f（2）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）已知函數(shù)g（x）＝f（2x）﹣4f（x）+3，求g（x）在x∈[0，2]上的值域．【考點】指數(shù)函數(shù)的值域；指數(shù)函數(shù)的特征及解析式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）f（x）＝2x；（2）[﹣1，3]．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）由題意有2a2﹣5a+3＝1，解得a＝2或a=又因為f（0）＜f（2），所以a＝2，則f（x）＝2x；（2）g（x）＝22x﹣4?2x+3，令t＝2x，則t∈[1，4]，h（t）＝t2﹣4t+3＝（t﹣2）2﹣1，h（2）＝﹣1，h（4）＝3，所以g（x）的值域為[﹣1，3]．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．

考點卡片1．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】設(shè)m為實數(shù)，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當(dāng)m＞2m﹣1時，即m＜1時，B＝?，符合題意；當(dāng)m≥1時，可得-3≤m2綜上所述，m≤32，即m故答案為：(-∞，2．求集合的交集【知識點的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．3．充分不必要條件的判斷【知識點的認(rèn)識】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時，條件P不一定成立．用符號表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個條件足以保證結(jié)果成立，但不是唯一條件．【解題方法點撥】要判斷一個條件是否為充分不必要條件，可以先驗證P?Q，然后找反例驗證Q成立但P不成立．舉反例是關(guān)鍵步驟，找到一個Q成立但P不成立的例子即可證明P不是Q的必要條件．例如，可以通過幾何圖形性質(zhì)驗證某些充分不必要條件．【命題方向】充分不必要條件的命題方向包括幾何圖形的特殊性質(zhì)、函數(shù)的特定性質(zhì)等．已知命題p：x2﹣4x+3＜0，那么命題p成立的一個充分不必要條件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，則1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要條件．故選：BD．4．充要條件的判斷【知識點的認(rèn)識】充要條件是指條件P和條件Q之間互為充分必要條件．即若P成立，則Q成立，若Q成立，則P也成立．用符號表示為P?Q．充要條件在數(shù)學(xué)中非常重要，因為它們表示兩個條件是等價的．【解題方法點撥】要判斷一個條件是否為充要條件，需要分別驗證P?Q和Q?P．如果兩者都成立，則P和Q互為充要條件．通常可以通過邏輯推理和實例驗證來進(jìn)行判斷．對于復(fù)雜問題，可以分步驟進(jìn)行驗證，確保每一步推理的正確性．【命題方向】充要條件的命題方向包括幾何圖形的判定條件、函數(shù)的性質(zhì)等．例如，矩形的對角線相等且互相平分是矩形的充要條件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數(shù)解”的一個充要條件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個實數(shù)解”的充要條件為“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故選：A．5．基本不等式及其應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）實例解析例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當(dāng)0＜x解：當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x≠0時，y=用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當(dāng)x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y=x2+7x+10x+1當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+a技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．6．冪函數(shù)的單調(diào)性與最值【知識點的認(rèn)識】一、冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y＝xa（a∈R）叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．（1）指數(shù)是常數(shù)；（2）底數(shù)是自變量；（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常數(shù)．二、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比式子名稱axy指數(shù)函數(shù)：y＝ax底數(shù)指數(shù)冪值冪函數(shù)：y＝xa指數(shù)底數(shù)冪值三、五個常用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y=x12；（5）y＝y(tǒng)＝xy＝x2y＝x3y=y＝x﹣1定義域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，+∞）時，增x∈（﹣∞，0]時，減增增x∈（0，+∞）時，減x∈（﹣∞，0）時，減公共點（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）四、冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點（1，1）．（2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖象過點（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上為增函數(shù)．（3）如果a＜0，則冪函數(shù)的圖象過點（1，1），并在（0，+∞）上為減函數(shù)．（4）當(dāng)a為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．7．指數(shù)函數(shù)的特征及解析式【知識點的認(rèn)識】1、指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+∞）．2、指數(shù)函數(shù)的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指數(shù)函數(shù)定義，需注意的幾個問題：①因為a＞0，x是任意一個實數(shù)時，ax是一個確定的實數(shù)，所以函數(shù)的定義域為實數(shù)集R．②規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，當(dāng)x＞0時，ax恒等于0；當(dāng)x≤0時，ax無意義；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，這時對于x=14，x=1如果a＝1，y＝1x＝1是一個常量，對它就沒有研究的必要，為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a＞0且a≠1．【解題方法點撥】﹣分析指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)＝ax，其中a＞0且a≠1．﹣結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和圖象特征，確定其特征和解析式．﹣驗證解析式的正確性．【命題方向】題目通常涉及指數(shù)函數(shù)的特征分析和解析式確定，結(jié)合具體問題應(yīng)用指數(shù)函數(shù)．給出下列函數(shù)：①y＝2﹣x；②y＝2x+1；③y＝3?2x；④y＝﹣2x；⑤y＝（﹣2）x；⑥y＝x2；⑦y＝πx；⑧y＝（a﹣1）x（a＞1且a≠2）．其中是指數(shù)函數(shù)的是_____（填序號）解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知，形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，故答案為：①⑦⑧．8．指數(shù)函數(shù)的值域【知識點的認(rèn)識】指數(shù)函數(shù)的解析式、定義、定義域、值域1、指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+∞）．2、指數(shù)函數(shù)的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指數(shù)函數(shù)定義，需注意的幾個問題：①因為a＞0，x是任意一個實數(shù)時，ax是一個確定的實數(shù)，所以函數(shù)的定義域為實數(shù)集R．②規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，當(dāng)x＞0時，ax恒等于0；當(dāng)x≤0時，ax無意義；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，這時對于x=14，x=1如果a＝1，y＝1x＝1是一個常量，對它就沒有研究的必要，為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a＞0且a≠1．9．指數(shù)函數(shù)的圖象【知識點的認(rèn)識】1、指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象和性質(zhì)：y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域（0，+∞）性質(zhì)過定點（0，1）當(dāng)x＞0時，y＞1；x＜0時，0＜y＜1當(dāng)x＞0時，0＜y＜1；x＜0時，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)2、底數(shù)對指數(shù)函數(shù)的影響：①在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作函數(shù)的圖象，易看出：當(dāng)a＞l