專題07不等式與不等式組

考點01不等關系

1．（2025·山東濟南·中考真題）已知ab，則下列不等式一定成立的是（）

ab

A．a1b1B．C．abD．2aab

22

【答案】D

【分析】本題考查了不等式的基本性質，掌握三個性質是解決本題的關鍵．不等式的基本性質：基本性質1，

不等式兩邊同時加上或減去同一個整式，不等號的方向不變；基本性質2，不等式兩邊同時乘以或除以同一

個正數，不等號的方向不變；基本性質3，不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變．根

據不等式的性質即可得出答案．

【詳解】解：A、ab，則a1b1，選項錯誤，不符合題意；

ab

B、ab，則，選項錯誤，不符合題意；

22

C、ab，則ab，選項錯誤，不符合題意；

D、ab，則aaab，即2aab，選項正確，符合題意，

故選：D．

2．（2023·山東臨沂·中考真題）在實數a,b,c中，若ab0,bcca0，則下列結論：①|a|>|b|，

②a0，③b0，④c0，正確的個數有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】A

【分析】根據相反數的性質即可判斷①，根據已知條件得出bca，即可判斷②③，根據ba，代入已

知條件得出c0，即可判斷④，即可求解．

【詳解】解：∵ab0

∴ab，故①錯誤，

∵ab0,bcca0

∴bca，

又ab0

∴a0,b0，故②③錯誤，

∵ab0

∴ba

∵bcca0

∴acca

∴cc

∴c0，故④正確

或借助數軸，如圖所示，

故選：A．

【點睛】本題考查了不等式的性質，實數的大小比較，借助數軸比較是解題的關鍵．

3．（2024·山東濰坊·中考真題）下列命題是真命題的有（）

A．若ab，則acbc

B．若ab，則acbc

C．兩個有理數的積仍為有理數

D．兩個無理數的積仍為無理數

【答案】AC

【分析】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了等式及不等式的性質、無理數及有理數的積．利用等

式及不等式的性質、無理數及有理數的積分別判斷后即可確定正確的選項．

【詳解】

解：A、由等式的性質可得，若ab，則acbc，原命題為真命題；

B、由不等式的性質可得，若ab，且c0，則acbc，原命題為假命題；

C、兩個有理數的積仍為有理數，原命題為真命題；

D、兩個無理數的積不一定為無理數，比如222，原命題為假命題．

故選：AC．

考點02求不等式（組）的解集

7x89x,①

1．（2023·山東·中考真題）解不等式組x1時，不等式①②的解集在同一條數軸上表示正確是

x②

2

（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】分別求出兩個不等式的解集，然后根據在數軸上表示解集的方法判斷即可．

【詳解】解：解不等式①得：x4，

解不等式②得：x1，

不等式①②的解集在同一條數軸上表示為：

故選：B．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式解集，把每個不等式的解集在數軸上表示

出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點

表示．

2x73x1

2．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）（1）解不等式組11，并把它的解集表示在數軸上；

x1x1

23

x21

（2）解分式方程1．

2x112x

【答案】（1）4x3，數軸表示見解析；（2）x0

【分析】本題考查了一元一次不等式組和分式方程的解法，熟練掌握解一元一次不等式組和分式方程的方

法是解題的關鍵；

（1）先求得不等式組中每個不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式組的解集，進而在數軸上表

示解集即可；

（2）分式方程去分母化為整式方程，求得整式方程的解后再檢驗即得答案．

2x73x1①

【詳解】解：（1）11，

x1x1②

23

解不等式①，得x4，

解不等式②，得x3，

所以不等式組的解集是4x3，

不等式組的解集在數軸上表示為：

x21

（2）1

2x112x

去分母，得x22x11，

解得：x0，

經檢驗：x0是原方程的解，

所以原方程的解是x0．

3．（2023·山東淄博·中考真題）若實數m，n分別滿足下列條件：

2

（1）2m175；

（2）n30．

3nm

試判斷點P2m3,所在的象限．

2

【答案】點P在第一象限或點P在第二象限

3nm

【分析】運用直接開平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解題，在分情況確定2m3，的符

2

號確定點P所在象限解題即可．

2

【詳解】解：2m175

2

2m157

2

m11

m11或m11

m12，m20；

n30，

解得：n3；

3nm

∴當m2，n3時，2m30，0，點P在第一象限；

2

3nm

當m0，n3時，2m30，0，點P在第二象限；

2

【點睛】本題考查點在平面直角系的坐標特征，解不等式，平方根的意義，利用不等式的性質判斷點的坐

標特征是解題的關鍵．

1x

4．（2023·山東臨沂·中考真題）（1）解不等式52x，并在數軸上表示解集．

2

a2

（2）下面是某同學計算a1的解題過程：

a1

a2

解：a1

a1

a2(a1)2

①

a1a1

a2(a1)2

②

a1

a2a2a1

③

a1

a1

1④

a1

上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出正確的解題過程．

【答案】（1）x3（2）從第①步開始出錯，過程見解析

【分析】（1）根據解不等式的步驟，解不等式即可；

（2）根據分式的運算法則，進行計算即可．

1x

【詳解】解：（1）52x，

2

去分母，得：104x1x，

移項，合并，得：3x9，

系數化1，得：x3；

（2）從第①步開始出錯，正確的解題過程如下：

a2a2a1a1

a1

a1a1a1

a2a21

a1a1

1

．

a1

【點睛】本題考查解一元一次不等式，分式的加減運算．熟練掌握解不等式的步驟，分式的運算法則，是

解題的關鍵．

考點03不等式（組）的整數解

4x2(1x)

①

1．（2025·山東濟南·中考真題）解不等式組x27x并寫出它的所有整數解．

②

23

【答案】2x4，整數解為：1，0，1，2，3．

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，并求其整數解，分別求兩個不等式的解集，再根據不等式

組的解集，即可得到整數解．

【詳解】解：解不等式①，得x2，

解不等式②，得x4

原不等式組的解集是2x4

整數解為1，0，1，2，3

13

2xx4

2．（2024·山東淄博·中考真題）解不等式組：22并求所有整數解的和．

x312x

【答案】4x1，6

【分析】本題考查了解一元一次不等式組以及求一元一次不等式組的整數解．解各不等式，可得出x的取

值范圍，取其公共部分即可得出不等式組的解集，再將各整數解相加，即可求出結論．

13

2xx4①

【詳解】解：22，

x312x②

解不等式①得：x1；

解不等式②得：x4，

∴原不等式組的解集4x1，

∴不等式組所有整數解的和為32106．

x21

3．（2024·山東·中考真題）寫出滿足不等式組的一個整數解．

2x15

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本題考查一元一次不等式組的解法，解題的關鍵是正確掌握解一元一次不等式組的步驟．先解出

一元一次不等式組的解集為1x3，然后即可得出整數解．

x21①

【詳解】解：，

2x15②

由①得：x1，

由②得：x3，

∴不等式組的解集為：1x3，

∴不等式組的一個整數解為：1；

故答案為：1（答案不唯一）.

a2a2

4．（2023·山東棗莊·中考真題）先化簡，再求值：a22，其中a的值從不等式組1a5的

a1a1

解集中選取一個合適的整數．

2

【答案】aa1，1

a2

【分析】先根據分式的混合運算法則，進行化簡，再選擇一個合適的整數，代入求值即可．

a3aa2a2

【詳解】解：原式222

a1a1a1

2

aaa1a21

a21a2

a2a1

；

a

∵a20,a210，

∴a0,a1，

∵42593，

∴1a5的整數解有：0,1,2，

∵a0,a1，

22211

∴a2，原式．

22

【點睛】本題考查分式的化簡求值，求不等式組的整數解．熟練掌握相關運算法則，正確的進行計算，是

解題的關鍵．

考點04已知不等式的解求參數

x1x2

1．（2023·山東聊城·中考真題）若不等式組23的解集為xm，則m的取值范圍是．

2xmx

【答案】m1/1m

【分析】分別求出兩個不等式的解集，根據不等式組的解集即可求解．

x1x2

①

【詳解】解：23，

2xmx②

解不等式①得：x1，

解不等式②得：xm，

∵不等式組的解集為：xm，

∴m1．

故答案為：m1．

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，根據不等式的解求參數的取值范圍，熟練掌握解不等式組解集

的口訣：同大取大，同小取小大小小大中間找，大大小小找不到（無解）是解題的關鍵．

xa>0,

2．（2022·山東濟寧·中考真題）若關于x的不等式組僅有3個整數解，則a的取值范圍是（）

72x>5

A．－4≤a＜－2B．－3＜a≤－2

C．－3≤a≤－2D．－3≤a＜－2

【答案】D

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可解答．

xa>0①

【詳解】解：

72x>5②

由①得，xa

由②得，x1

因不等式組有3個整數解

ax1

3a2

故選：D．

【點睛】本題考查解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數解，掌握相關知識是解題關鍵．

考點05實際應用

1．（2025·山東濰坊·中考真題）某企業(yè)為提高生產效率，采購了相同數量的A型、B型兩種智能機器人，

購買A型機器人的總費用為90萬元，購買B型機器人的總費用為60萬元，B型機器人單價比A型機器人單

價低3萬元．

(1)求A型、B型兩種機器人的單價；

(2)該企業(yè)計劃從采購的這批機器人中選擇10臺配備到某生產線，要求A、B兩種型號的機器人各至少配備

1臺，且購買這10臺機器人的總費用不超過70萬元．求出所有配備方案．

【答案】(1)A型機器人單價為9萬元，B型機器人單價為6萬元

(2)方案一：A型機器人1臺，B型機器人9臺；方案二：A型機器人2臺，B型機器人8臺；方案三：A型

機器人3臺，B型機器人7臺

【分析】本題考查分式方程的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確的列出分式方程和不等式，是

解題的關鍵：

（1）設A型機器人單價為x萬元，則B型機器人單價為x3萬元，根據采購了相同數量的A型、B型兩

種智能機器人，購買A型機器人的總費用為90萬元，購買B型機器人的總費用為60萬元，列出方程進行

求解即可；

（2）設配備A型機器人y臺，則配備B型機器人10y臺，根據購買這10臺機器人的總費用不超過70

萬元，列出不等式進行求解即可．

【詳解】（1）解：設A型機器人單價為x萬元，則B型機器人單價為x3萬元，

9060

根據題意，得，

xx3

解得x9，

經檢驗，x9是原分式方程的根，且符合題意，

所以，x36．

所以，A型機器人單價為9萬元，B型機器人單價為6萬元．

（2）設配備A型機器人y臺，則配備B型機器人10y臺，

根據題意，得9y610y70，

10

解得y，

3

∵要求兩種型號的機器人各至少配備1臺，且y為正整數

∴y的取值為1，2，3，共有3種方案：

方案一：A型機器人1臺，B型機器人9臺；

方案二：A型機器人2臺，B型機器人8臺；

方案三：A型機器人3臺，B型機器人7臺．

2．（2024·山東青島·中考真題）為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，提高學生的動手能力，某校計劃購買一批航空、

航海模型．已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元，用2000元購買航空模型的數量是

4

用1800元購買航海模型數量的．

5

(1)求航空和航海模型的單價；

(2)學校采購時恰逢該商場“六一兒童節(jié)”促銷：航空模型八折優(yōu)惠．若購買航空、航海模型共120個，且航

空模型數量不少于航海模型數量的1，請問分別購買多少個航空和航海模型，學?；ㄙM最少？

2

【答案】(1)航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為90元；

(2)當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學校花費最少

【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，一次函數的實際應用，一元一次不等式的實際應用：

（1）設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為x35元，根據用2000元購買航空模型的數量是用

4

1800元購買航海模型數量的列出方程求解即可；

5

（2）設購買航空模型m個，花費為y元，則購買航海模型120m個，先根據航空模型數量不少于航海模

1

型數量的列出不等式求出m的取值范圍，再列出y關于m的一次函數關系式，利用一次函數的性質求解

2

即可．

【詳解】（1）解：設航空模型的單價為x元，則航海模型的單價為x35元，

200041800

由題意得，，

x5x35

解得x125，

檢驗，當x125時，xx350，

∴x125是原方程的解，且符合題意，

∴x3590，

答：航空模型的單價為125元，則航海模型的單價為90元；

（2）解：設購買航空模型m個，花費為y元，則購買航海模型120m個，

1

由題意得，m120m，

2

解得m40，

y1250.8m90120m10m10800，

∵100，

∴y隨m增大而增大，

∴當m40時，y有最小值，最小值為10401080011200，

此時有120m80，

答：當購買航空模型40個，購買航海模型80個時，學?；ㄙM最少．

3．（2024·山東·中考真題）根據以下對話，

給出下列三個結論：

①1班學生的最高身高為180cm；

②1班學生的最低身高小于150cm；

③2班學生的最高身高大于或等于170cm．

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程、不等式的應用，設1班同學的最高身高為xcm，最低身高為ycm，2

班同學的最高身高為acm，最低身高為bcm，根據1班班長的對話，得x180，xa350，然后利用不

等式性質可求出a170，即可判斷①，③；根據2班班長的對話，得b140，yb290，然后利用不等

式性質可求出y150，即可判斷②．

【詳解】解：設1班同學的最高身高為xcm，最低身高為ycm，2班同學的最高身高為acm，最低身高為bcm，

根據1班班長的對話，得x