專題01向量及其應(yīng)用目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系.02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分.【知能解讀01】向量的實概念【知能解讀02】平面向量的運算【知能解讀03】向量的數(shù)乘運算【知能解讀04】向量的數(shù)量積【知能解讀05】平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【知能解讀06】平面向量運算的坐標(biāo)表示【知能解讀07】平面向量的應(yīng)用03破·重點難點：突破重難點，沖刺高分.【重難點突破01】平面向量的平行向量【重難點突破02】平面向量的數(shù)乘與線性運算【重難點突破03】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【重難點突破04】平面向量的投影向量【重難點突破05】平面向量的基本定理【重難點突破06】用平面向量的基底表示平面向量【重難點突破07】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【重難點突破08】數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角【重難點突破09】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系04辨·易混：辨析易混知識點，夯實基礎(chǔ).【易混易錯01】零向量與單位向量【易混易錯02】向量的運算【易混易錯03】數(shù)量積的運算律【易混易錯04】向量數(shù)乘的有關(guān)計算【易混易錯05】三角形的心的向量表示【易混易錯06】已知向量共線（平行）求參數(shù)【易混易錯07】平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示【易混易錯08】利用向量垂直求參數(shù)05點·方法技巧：點撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】平面向量共線問題【方法技巧02】利用坐標(biāo)求向量的?！痉椒记?3】由坐標(biāo)判斷向量是否共線【方法技巧04】已知向量垂直求參數(shù)【方法技巧05】用向量解決線段的長度問題【方法技巧06】由向量共線（平行）求參數(shù)【方法技巧07】線段的定比分點01向量的實概念知識點1向量的實際背景與概念1.數(shù)量與向量在數(shù)學(xué)中，把既有大小又有方向的量叫做向量，而把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.2.向量的二要素向量由大小與方向兩個要素組成.向量的大小是代數(shù)特征，方向是幾何特征.向量與矢量數(shù)學(xué)中的向量是從物理中的矢量（如位移、力、速度、加速度等）抽象出來的，但在這里我們僅考慮它的大小和方向；而物理中的這些量，既同時具備大小和方向這兩個屬性，又具備其他屬性（如“力”是由大小、方向、作用點共同決定的）.知識點2向量的幾何表示1.有向線段的概念具有方向的線段叫做有向線段.通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向，以為起點、為終點的有向線段記作，以為起點，為終點的有向線段記作.(1)有向線段的長度線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作，易知.(2)有向線段的三要素有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向和長度，它的終點就唯一確定了.2.向量的表示方法形式幾何表示向量可以用有向線段表示，我們把這個向量記作向量.字母表示向量也可以用字母表示.【印刷用黑體a,b,c，書寫用，注意區(qū)分.】有向線段與向量的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別從定義上看，向量有大小和方向兩個要素，而有向線段有起點、方向、長度三個要素.因此，這是兩個不同的量.在空間中，有向線段是固定的線段，而向量是可以自由平移的.聯(lián)系有向線段是向量的幾何表示，并不是說向量就是有向線段.一條有向線段對應(yīng)著一個向量，但一個向量對應(yīng)著無數(shù)多條有向線段.3.向量的長度向量的大小稱為向量的長度（或稱模），記作.向量的長度在數(shù)值上等于線段AB的長度，因此向量的長度是非負(fù)實數(shù).4.兩種特殊的向量長度為的向量叫做零向量，記作.與的區(qū)別及聯(lián)系，是一個實數(shù)，是一個向量，且有.長度等于個單位長度的向量，叫做單位向量.向量相關(guān)概念的理解1.定義中的零向量、單位向量都是只限制長度，不確定方向.2.當(dāng)有向線段的起點與終點重合時，.3.在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點平移到同一點，它們的終點可構(gòu)成一個半徑為的圓.知識點3相等向量與共線向量1.平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量與平行，記作.規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量，都有.2.相等向量(1)長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量與相等，記作.(2)任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關(guān)；同時，兩條方向相同且長度相等的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的模和方向確定.3.共線向量由于向量與起點無關(guān)，因此向量是可以自由平行移動的.也就是說，任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量.如圖，是一組平行向量，任作一條與所在直線平行的直線，在上任取一點，則可在上分別作出，，，如圖.表示共線（平行）向量的有向線段可以在同一條直線上，也可以在平行的直線上.對共線（平行）向量的四個提醒1.理解平行向量的概念時，需注意，平行向量和平行直線是有區(qū)別的，平行直線不包括重合的情況，而平行向量是可以重合的.2.共線向量就是平行向量，其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義.實際上，共線（平行）向量有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量.3.對共線向量的討論，要考慮方向、長度，尤其不能忘記對零向量的討論.4.向量相等具有傳遞性，即若，，則.而向量的平行不具有傳遞性，即若，，未必有.因為零向量平行于任意向量，那么當(dāng)時，可以是任意向量，所以與不一定平行.但若，則必有，.因此，解答問題時要看清題目中是任意向量還是任意非零向量.02平面向量的運算知識點1向量加法的定義及兩個重要法則1.定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.2.向量加法的三角形法則（1）前提：已知非零向量.（2）作法：在平面內(nèi)任取一點，作，，連接AC.（3）結(jié)論：向量叫做與的和，記作，即.（4）圖形：3.向量加法的平行四邊形法則（1）前提：已知兩個不共線的向量.（2）作法：在平面內(nèi)任取一點，作，，以O(shè)A,OB為鄰邊作.（3）結(jié)論：以為起點的向量就是向量與的和，即.（4）圖形：規(guī)定：對于零向量與任意向量，我們規(guī)定.向量加法的三角形法則和平行四邊形法則1.在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發(fā)的不共線向量.2.三角形法則與平行四邊形法則的適用條件法則三角形法則平行四邊形法則兩向量位置關(guān)系兩向量共線或不共線均可只適用于兩向量不共線的情況兩向量起點、終點的特點一個向量的終點為另一個向量的起點兩向量起點相同知識點2多個向量相加為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量的起點為起點，最后一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和，如圖所示（對應(yīng)多個向量相加的圖形）.1.向量加法的多邊形法則是向量加法的三角形法則的推廣，是由求兩個向量的和推廣到求多個向量的和，強調(diào)的也是“首尾相接”.2.當(dāng)首尾依次相接的向量構(gòu)成封閉的“向量鏈”時，各向量的和為.如圖6.2.1-2，在邊形中，有.運用以上結(jié)論也可以判斷一個圖形是否為封閉圖形.知識點3向量加法的運算律1.交換律：在如圖所示的平行四邊形ABCD中，，，則在中，，在中，，故，即向量的加法滿足交換律.（對應(yīng)平行四邊形交換律圖形）2.結(jié)合律：如所示，，，所以在中，，在中，，從而，即向量的加法滿足結(jié)合律.（對應(yīng)結(jié)合律圖形）1.當(dāng)兩個向量共線時，向量加法的交換律和結(jié)合律也成立.2.我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律：一質(zhì)點從點出發(fā)，方案①先走過的位移為向量，再走過的位移為向量，方案②先走過的位移為向量，再走過的位移為向量，則方案①②中質(zhì)點一定會到達同一終點.3.多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行，如；.知識點4向量的減法運算1.相反向量我們規(guī)定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是零向量.由相反向量的定義，我們有如下結(jié)論：(1)；(2)；(3)若互為相反向量，則，，.2.向量減法的定義向量加上的相反向量，叫做與的差，即.求兩個向量差的運算叫做向量的減法.3.向量減法的三角形法則如圖，已知向量，在平面內(nèi)任取一點，作，，則.即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這是向量減法的幾何意義.1.作非零向量的差向量，可以簡記為“共起點，連終點，指向被減”.2.由上可知，可以用向量減法的三角形法則作差向量；也可以轉(zhuǎn)化為向量的加法（即平行四邊形法則）作差向量，顯然，此法作圖較煩瑣.3.如圖，以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線所對應(yīng)的向量，.【真題演練】（2025·遼寧·一模）已知，點D滿足，則（

）A． B．C． D．03向量的數(shù)乘運算知識點1向量的數(shù)乘運算1.向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)；(2)當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反當(dāng)時，；當(dāng)時，應(yīng)該特別注意的是結(jié)果是零向量，而非實數(shù)2.向量的數(shù)乘的幾何意義(1)當(dāng)時，有，這意味著表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長到原來的倍；(2)當(dāng)時，有，這意味著表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短到原來的倍3.向量的數(shù)乘的運算律設(shè)為實數(shù)，那么(1)；(2)；(3)特別地，我們有，(1)實數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如，均沒有意義(2)對于非零向量，當(dāng)時，表示方向上的單位向量(3)向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算主要是“合并同類項”“提取公因式”，但這里的“同類項”及“公因式”指的是向量，實數(shù)指的是向量的系數(shù)4.向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算對于任意向量，以及任意實數(shù)，恒有線性表示的概念根據(jù)向量的線性運算，可知：若一個向量是由另一些向量通過線性運算得到的，我們就說這個向量可以用另一些向量線性表示.【真題演練1】（2025·四川自貢·三模）在中，是邊上的中點，則（

）A． B． C． D．【真題演練2】（2025·廣東深圳·二模）在四邊形中，若，則“”是“四邊形是正方形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件知識點2向量共線定理1.向量共線定理向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使不能漏掉若，則實數(shù)可以是任意實數(shù)；若，，則不存在實數(shù)，使得2.向量共線定理的應(yīng)用——求參一般地，解決向量共線求參問題，可用兩個不共線向量（如）表示向量，設(shè)，化成關(guān)于的方程，由于不共線，則，解方程組即可根據(jù)該定理，設(shè)非零向量位于直線上，那么對于直線上的任意一個向量，都存在唯一的一個實數(shù)，使也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.04向量的數(shù)量積知識點1向量的數(shù)量積1.向量數(shù)量積的物理背景在物理課中我們學(xué)過功的概念：如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功，其中是與的夾角.我們知道力和位移都是矢量，而功是一個標(biāo)量（數(shù)量）.這說明兩個矢量也可以進行運算，并且這個運算明顯不同于向量的數(shù)乘運算，因為數(shù)乘運算的結(jié)果是一個向量，而這個運算的結(jié)果是數(shù)量.2.向量的夾角已知兩個非零向量，如圖所示，是平面上的任意一點，作，，則叫做向量與的夾角，也常用表示.向量夾角的特殊情形，如圖所示:當(dāng)時，向量共線且同向；當(dāng)時，向量相互垂直，記作；當(dāng)時，向量共線且反向.3.兩個向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.不能表示為或.兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，其符號由夾角的余弦值決定.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為，即.4.向量的投影如圖，設(shè)是兩個非零向量，，，我們考慮如下的變換：過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.如圖，我們可以在平面內(nèi)任取一點，作，.過點作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.顯然，在上的投影向量（與向量共線）與在上的投影向量（與向量共線）是不同的.5.向量數(shù)量積的幾何意義如圖，稱為向量在向量上的投影的數(shù)量，可以表示為.向量的數(shù)量積的幾何意義：的長度與在上的投影的數(shù)量的乘積；或的長度與在上的投影的數(shù)量的乘積.【真題演練1】（2025·湖南永州·模擬預(yù)測）已知，求與在上的投影長度的比值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【真題演練2】（2025·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）已知，，在上的投影的數(shù)量為，則（

）A．6 B． C． D．知識點2向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律1.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則(1).任意向量與單位向量的數(shù)量積等于這個向量在單位向量上的投影的數(shù)量.(2).可用于解決與兩個非零向量垂直有關(guān)的問題.(3)當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，.特別地，或.當(dāng)兩個向量相等時，這兩個向量的數(shù)量積等于向量的模的平方，因此可用于求向量的模.(4)，當(dāng)且僅當(dāng)向量共線，即時，等號成立.可以解決有關(guān)“向量不等式”的問題.(5).夾角公式，實質(zhì)是平面向量數(shù)量積的逆用，可用于求兩向量的夾角.2.向量數(shù)量積的運算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：對于向量和實數(shù)，有(1)交換律：；(2)數(shù)乘結(jié)合律：；(3)分配律：.向量的數(shù)量積、向量的數(shù)乘、實數(shù)的乘法之間的區(qū)別向量的數(shù)量積向量的數(shù)乘實數(shù)的乘法至少有一個為或或至少有一個為或或或或與不一定相等【真題演練1】（2025·四川達州·模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為120°，，，則A． B．2 C． D．【真題演練2】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知非零向量滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【真題演練3】（2025·河北·三模）已知，，則（

）A．1 B．2 C． D．05平面向量基本定理及坐標(biāo)表示知識點1平面向量基本定理1.平面向量基本定理若是同一平面內(nèi)兩個不共線向量，那么該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.若不共線，叫表示平面內(nèi)所有向量的一個基底.2.定理的證明：包含存在性和唯一性.存在性是說存在實數(shù)，使，通過作平行線構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合向量相等證明；唯一性是指對任一向量，若且，利用與不共線，可推出，.3.定理的實質(zhì)：平面內(nèi)任一向量可由平面內(nèi)任意不共線的兩個向量線性表示，即基于基底對向量進行分解.4.定理的功能：由（不共線）的所有線性組合構(gòu)成的集合是平面內(nèi)全體向量，是基底，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想，解決幾何問題時可通過選基底轉(zhuǎn)化向量來求解.對平面向量基本定理的理解同一平面內(nèi)兩個不共線向量可構(gòu)成基底，同一非零向量在不同基底下分解式不同；基底給定時，被唯一確定；若是基底，與共線則，與共線則，時.5.平面向量基本定理的拓展：個不共線向量與個實數(shù)組成的是向量線性組合，若是其線性組合，稱可分解成這些向量的線性組合，是關(guān)于的基底.【真題演練1】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，為CD的中點，若，則（

）A．1 B． C． D．2【真題演練2】（2025·湖南·三模）在中，點是線段上一點，若，，則實數(shù)（

）A． B． C． D．知識點2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1.正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫把向量作正交分解，其中兩個基向量互相垂直構(gòu)成正交基底.平面內(nèi)任一向量可分解為，當(dāng)與垂直時，就是正交分解，比如重力沿互相垂直方向分解.2.向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，取與軸、軸方向相同的單位向量作為基底，平面內(nèi)任意向量可表示為，有序數(shù)對是向量的坐標(biāo)，記作，、分別是在軸、軸上的坐標(biāo)，且，，.3.點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系：平面內(nèi)與相等的向量可用以原點為起點的表示，時，既是點坐標(biāo)也是坐標(biāo)，即平面內(nèi)每個向量可用有序數(shù)對唯一表示，向量與有序數(shù)對一一對應(yīng).點的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系表示形式上，向量用等號連接，點無等號；意義上，點坐標(biāo)表位置，向量坐標(biāo)表大小和方向，可表點或向量，需指明；聯(lián)系是向量坐標(biāo)與其終點坐標(biāo)不一定同，起點在原點時，向量坐標(biāo)與終點坐標(biāo)相同.【真題演練】（2025·安徽馬鞍山·二模）已知平面向量，滿足，，若，則（

）A． B． C． D．06平面向量運算的坐標(biāo)表示知識點1平面向量線性運算的坐標(biāo)表示1.兩個向量和（差）的坐標(biāo)表示由于向量，等價于，，所以，即.同理可得.這就是說，兩個向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.2.任一向量的坐標(biāo)已知，，坐標(biāo)原點為，則，，所以.向量的坐標(biāo)只與起點、終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān).因此，一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).因此，在求一個向量的坐標(biāo)時，先求出這個向量的起點坐標(biāo)和終點坐標(biāo).1.當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變.2.求一個點的坐標(biāo)時，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標(biāo)原點的位置向量的坐標(biāo).【真題演練1】（2025·云南·模擬預(yù)測）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【真題演練2】（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則的值為（

）A． B． C． D．知識點2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示由于向量，分別等價于，，所以.又，，，所以.這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.1.已知為單位正交向量，則，從而；，即.2.公式與都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，兩者可以相互推導(dǎo).若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式求解；若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用公式求解.2.平面向量長度（模）的坐標(biāo)表示若，則或.其含義是：向量的長度（模）等于向量的橫、縱坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為，，那么，.【真題演練1】（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知向量，，且，則（

）A． B． C．6 D．10【真題演練2】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）已知向量，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量為知識點3平面向量位置關(guān)系的坐標(biāo)表示1.共線的坐標(biāo)表示(1)兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，，其中.我們知道，共線的充要條件是存在實數(shù)，使.如果用坐標(biāo)表示，可寫為，即.消去，得.這就是說，向量共線的充要條件是.（可簡記為：縱橫交錯積相等）還可以寫成，即兩個不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例.當(dāng)，時，，此時也成立，即對任意向量都有：.(2)三點共線的坐標(biāo)表示若，，三點共線，則有，從而，即，或由得到，或由得到.由此可知，當(dāng)這些條件中有一個成立時，A,B,C三點共線.2.夾角的坐標(biāo)表示設(shè)a，b都是非零向量，，，是與的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得.的符號只由決定.1.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.2.由于向量在向量上的投影向量的長度為，從而向量在向量上的投影向量的長度的坐標(biāo)表示為.3.垂直的坐標(biāo)表示設(shè)，，則.（可簡記為：橫橫縱縱積相反）可與向量共線的坐標(biāo)表示對比記憶.即兩個向量垂直的充要條件是它們相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和為.設(shè)，，為坐標(biāo)平面內(nèi)的三個點，則.【真題演練1】（2025·廣東揭陽·三模）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【真題演練2】（2025·河南·二模）已知平面向量，，則（

）A． B． C． D．07平面向量的應(yīng)用知識點1平面幾何中的向量方法1向量在平面幾何中常見的應(yīng)用(1)證明線線平行或點共線問題，以及相似問題，常用向量共線定理：。(2)證明線線垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：。(3)求夾角問題，利用夾角公式：。(4)求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：或。2向量法解決平面幾何問題的“三步曲”轉(zhuǎn)化建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題運算通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題翻譯把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系這其實也是用向量法解決其他問題的思路，即從條件出發(fā)，選取基底，把條件翻譯成向量關(guān)系式(用基底表示其他向量)，然后通過一系列的向量運算，得到新的向量關(guān)系式，則這個新的向量關(guān)系式的幾何解釋就是問題的結(jié)論?！菊骖}演練】（2025·廣東廣州·二模）在平面四邊形中，，若的面積是的面積的2倍，則的長度為.知識點2向量在物理中的應(yīng)用向量是在物理的背景下建立起來的，物理中的一些量，如位移、力、速度、加速度、功等都與向量有著密切的聯(lián)系，因此可以利用向量來解決物理中的問題。具體操作時，要注意將物理問題轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系式，通過向量的運算來解決，最后用來解釋物理現(xiàn)象。1力學(xué)問題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點的量。用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上。2速度、位移問題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解，實質(zhì)就是向量的加減法運算，而運動的疊加也用到向量的合成。3向量與功、動量物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積。(1)力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，即。功是一個實數(shù)，它可正，可負(fù)，也可為零。(2)動量涉及物體的質(zhì)量，物體運動的速度，因此動量的計算是向量的數(shù)乘運算?！菊骖}演練】（2025·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，無彈性細繩，一端分別固定在A，B處，在同樣的細繩的下端吊一重物，要保持此狀態(tài)，對細繩的耐力性要求最高的是(三條繩本身質(zhì)量忽略不計，橫線上填或或)．01平面向量的平行向量【知識點的認(rèn)識】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【典例1】（2025?合肥模擬）已知向量，則“與共線”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2025?河南模擬）如圖，在梯形中，，，，，點滿足，點滿足，且，則A．3 B．4 C．9 D．12【典例3】（2025?湖北模擬）已知，，是同一個平面內(nèi)的三個向量，則“”是“”的A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件02平面向量的數(shù)乘與線性運算（1）實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的大小為，其方向與的正負(fù)有關(guān)．若，當(dāng)時，的方向與的方向相同，當(dāng)時，的方向與的方向相反．當(dāng)時，與平行．對于非零向量、，當(dāng)時，有（2）向量數(shù)乘運算的法則（1）；（－1）；（2）；（3）；（4）．一般地，叫做的一個線性組合（其中，、均為系數(shù)）．如果，則稱可以用線性表示．【典例1】（2025?嘉興模擬）在△所在平面內(nèi)，點滿足，記，，則A． B． C． D．【典例2】（2025?連云港模擬）在△中，點為的中點，點為△的重心，則A． B． C． D．【典例3】（2025?廣州模擬）在平行四邊形中，點是邊上的點，，點是線段的中點，若，則A． B．1 C． D．【典例4】（2025?山西模擬）在△中，，，，點是的中點，則A． B． C．8 D．1203平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為，則：（1）；（2）；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)方向相同時，；當(dāng)方向相反時，；特別地：或（用于計算向量的模）（4）（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：；（3）分配律：【典例1】（2025?吉林校級模擬）已知為單位向量，，，當(dāng)取到最大值時，等于A． B． C． D．【典例2】（2025?廊坊模擬）已知向量，滿足，，且，則的值為A．2 B． C．4 D．【典例3】（2025?廣西模擬）已知向量滿足，且，則A． B． C． D．【典例4】（2025?江蘇模擬）已知，，若對于任意的實數(shù)，不等式恒成立，則A． B． C． D．【典例5】（多選）（2025?貴陽模擬）在△中，，，則A． B． C． D．在上的投影向量為【典例6】（2025秋?廣東月考）已知向量滿足，則．04平面向量的投影向量投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影。投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設(shè)是兩個非零向量，，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．向量在向量上的投影向量是。【解題方法點撥】投影，是一個動作。投影向量，是一個向量。我們把叫作向量在向量上的投影。那么投影向量可以理解為投影數(shù)量乘上一個方向上的單位向量。（1）向量在向量上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個向量，且與共線，其方向由向量和夾角的余弦值決定。（2）注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量為【典例1】（2025?河南模擬）已知向量在上投影數(shù)量為，，則A．10 B．9 C．8 D．7【典例2】（2025?西寧二模）已知向量，，則在上的投影向量為A． B． C．， D．【典例3】（2025?廣州模擬）已知向量滿足：，，，則在上的投影向量為A． B． C． D．【典例4】（2025?江西模擬）已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角是A． B． C． D．05平面向量的基本定理【知識點的認(rèn)識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對實數(shù)、，使.2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【典例1】（2025?河南模擬）在△中，是邊的中點，且點滿足，若，則A． B． C． D．【典例2】（2025?揚州校級模擬）如圖，已知，，，，則A． B． C． D．【典例3】（2025?山東模擬）如圖所示，在正方形中，為的中點，為的中點，則A． B． C． D．06用平面向量的基底表示平面向量【解題方法點撥】表示轉(zhuǎn)換：將向量寫成基底向量的線性組合。例如，用基底和表示為。基底選擇：在特定的基底下表示向量時，選擇適當(dāng)?shù)幕撞⑦M行線性組合．【典例1】（2025?遼寧模擬）已知在正六邊形中，是線段上靠近的三等分點，則A． B． C． D．07平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示解題方法：一、核心公式若兩個非零平面向量，則的充要條件是。二、解題步驟1．確定向量坐標(biāo)：先根據(jù)已知條件，準(zhǔn)確得出要研究的兩個向量和的坐標(biāo)與。2．代入公式計算：將向量坐標(biāo)代入共線充要條件，得到關(guān)于未知量（如參數(shù)）的方程。3．求解方程：解上述方程，得出未知量的值，進而解決問題（如判斷向量是否共線、求參數(shù)的值等）。三、注意事項1．當(dāng)向量為零向量時，與一定共線，但此時也成立，因為零向量與任意向量共線。2．利用該公式解題時，要保證向量坐標(biāo)的準(zhǔn)確性，避免因坐標(biāo)錯誤導(dǎo)致結(jié)果出錯?！镜淅?】（2025?東西湖區(qū)校級模擬）在矩形中，，，若，且，則A． B． C． D．5【典例2】（2025?涼山州模擬）設(shè)，向量，，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例3】（2025?黃山模擬）已知向量，，若，則A．或3 B．或2 C．0或2 D．3或2【典例4】（2025?海淀區(qū)二模）已知向量，．若與共線，則A． B． C． D．208數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角一、核心公式設(shè)兩個非零平面向量，它們的夾角為，則向量的數(shù)量積公式為，由此可推導(dǎo)出求夾角的公式：。二、解題步驟1．計算向量的數(shù)量積：若，則。2．計算向量的模和。3．代入公式求：將代入，求出的值。4．確定夾角：根據(jù)的值以及，確定夾角的大小。三、注意事項1．向量和必須為非零向量，因為零向量的方向是任意的，無法確定夾角。2．計算過程中要注意符號運算，尤其是向量坐標(biāo)分量的乘積和平方運算，避免出現(xiàn)計算錯誤。3．最后確定夾角時，要結(jié)合的正負(fù)以及的取值范圍，準(zhǔn)確得出夾角的大小。【典例1】（2025?內(nèi)蒙古一模）已知，為單位向量，且，則與的夾角為A． B． C． D．【典例2】（2025?寶雞校級模擬）已知向量，，設(shè)，，則與的夾角為A． B． C． D．【典例3】（2025?岳陽模擬）已知，，在△所在平面內(nèi)，且，且，則點，，依次是△的A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心 C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心09數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系一、核心定理若兩個非零平面向量和，則的充要條件是它們的數(shù)量積為0，即。二、解題步驟1．確定向量坐標(biāo)（若向量以坐標(biāo)形式給出）：設(shè)。2．計算數(shù)量積：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，。3．判斷數(shù)量積是否為0：若，則；否則，與不垂直。三、注意事項1．向量和需為非零向量，因為零向量與任意向量垂直，但在利用坐標(biāo)運算判斷時，若其中一個為零向量，其坐標(biāo)分量全為0，代入公式也成立，所以該公式對零向量參與的垂直判斷也適用（零向量與任意向量垂直）。2．計算數(shù)量積時，要注意坐標(biāo)分量的符號運算，避免出現(xiàn)計算錯誤，確保結(jié)果的準(zhǔn)確性，從而正確判斷向量的垂直關(guān)系。【典例1】（2025?保山校級模擬）若則向量的關(guān)系是A．平行 B．重合 C．垂直 D．不確定【典例2】（2025?四川模擬）已知向量，，且，則A．2 B． C． D．【典例3】（2025?新鄉(xiāng)三模）已知向量，，若，則的值為A． B． C． D．01：零向量與單位向量零向量與單位向量區(qū)別：零向量模為0、方向任意；單位向量模為1、方向不唯一。易混點：誤將零向量方向當(dāng)＂確定＂，或認(rèn)為單位向量方向唯一?！镜淅?】（2025·江西·二模）設(shè)，為單位向量，在方向上的投影向量為，則（

）A．1 B． C． D．【典例2】（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點為，則（

）A．若，則 B．若，則C．不可能為單位向量 D．若，則【典例3】（2025·貴州·二模）若，均為單位向量，且，則．02：向量的運算1．向量分解與線性表示的系數(shù)求解的易錯點：在利用平面向量基本定理將向量用基底表示時，對向量的線性運算（加法、減法、數(shù)乘）規(guī)則掌握不熟練，導(dǎo)致分解過程中系數(shù)計算錯誤。例如在典例1中，由推導(dǎo)與、與的關(guān)系時，若對向量的數(shù)乘和線性組合運算理解不到位，容易算錯系數(shù)，進而影響后續(xù)用和表示的結(jié)果。2.向量共線與向量坐標(biāo)（或基底表示）的關(guān)系易錯點：當(dāng)向量用基底（如）表示時，判斷共線需要看它們的基底系數(shù)對應(yīng)成比例。在第13題中，，因為是基底（不共線），所以與共線的充要條件是它們的和的系數(shù)對應(yīng)成比例，若忽略這一點，可能無法正確求出的值?！镜淅?】（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知在中，點D滿足，設(shè)，則（

）A．1 B． C． D．2【典例2】（2025·江蘇南通·三模）已知，為平面內(nèi)一組基底，，，，若A，B，D三點共線，則a的值為（

）A．2 B． C．0 D．1【典例3】（2025·山西晉中·三模）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦．如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)該圖抽象得到的正八邊形ABCDEFGH，其中，O為正八邊形的中心，則（

）A． B．C． D．【典例4】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）設(shè)在中，點D為邊上一點，且，點E為邊上的中點.若，，則（

）A． B． C． D．【典例5】（2025·浙江嘉興·三模）在所在平面內(nèi)，點滿足，記，，則（

）A． B． C． D．03：數(shù)量積的運算律在數(shù)量積運算中，需注意以下幾點：（1）運算律方面：數(shù)量積不滿足結(jié)合律，易錯誤套用實數(shù)乘法結(jié)合律。解題時需牢記數(shù)量積運算律的特殊性，嚴(yán)格按定義和分配律等運算。（2）與向量模、垂直的關(guān)系：由推出，而非直接得，易混淆＂模相等＂與＂向量相等／相反＂。要明確數(shù)量積為0反映的是模的關(guān)系，向量相等／相反還需方向一致。（3）垂直的數(shù)量積表示：若，則，利用此可建立方程求解參數(shù)，但易忽略向量非零的情況（零向量與任意向量垂直），解題時需結(jié)合題意判斷向量是否為零向量。在涉及體積、幾何圖形與數(shù)量積結(jié)合的問題中，易因向量與幾何量（長度、面積等）的轉(zhuǎn)換失誤出錯。需熟練掌握向量模、數(shù)量積與幾何圖形邊長、角度的聯(lián)系，結(jié)合幾何性質(zhì)和向量運算規(guī)則逐步分析。【典例1】（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【典例3】（2025·湖北武漢·二模）四棱錐中，，，，，，內(nèi)部點滿足四棱錐與三棱錐的體積相等，則長的最小值為．04：向量數(shù)乘的有關(guān)計算1．?dāng)?shù)乘與幾何比例的聯(lián)系：若，則點將線段BC分為的比例，對應(yīng)三角形面積比為（同高時），體積比與面積比一致（同高時）。2．共線向量的數(shù)乘表達：若非零向量共線，則存在實數(shù)，使得，此時模長滿足3．向量等式的變形技巧：對含數(shù)乘的向量等式（如），通過移項、合并同類項，整理為＂＂的形式，可快速判斷共線關(guān)系，進而結(jié)合模長求解比例?！镜淅?】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·三模）在體積為9的三棱錐中，，，則三棱錐的體積為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【典例2】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）已知非零向量，滿足，則（

）A． B． C．2 D．4【典例3】（2025·湖北孝感·三模）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC邊的中線AD=，那么BC=．05：三角形的心的向量表示三角形的＂心＂的向量表示1．內(nèi)心（角平分線交點）：若點滿足為三邊），則為內(nèi)心?？赏ㄟ^向量變形，結(jié)合角平分線性質(zhì)判斷。2．重心（三條中線交點）：若且，則為重心（重心分中線比為2:1，向量表示體現(xiàn)為系數(shù)均為）。3．向量與點的位置關(guān)系：對于，當(dāng)且時，點在內(nèi)部（利用向量線性運算的幾何意義，系數(shù)和與共線的關(guān)系判斷）。4．外接圓圓心（外心）：外心是三角形三邊垂直平分線的交點，一般需結(jié)合數(shù)量積（垂直時數(shù)量積為0）、余弦定理等?！镜淅?】（23-24高三上·江西·開學(xué)考試）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，P為內(nèi)一點．若點P滿足，且，則的最大值為．【典例2】（2025·湖南長沙·一模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點M是△ABC所在平面上一點，且則下列說法正確的是（

）A．若，則M在內(nèi)部B．若，則M為的重心C．若，則的面積是面積的D．若，M為外接圓圓心，則06：已知向量共線（平行）求參數(shù)1.若兩非零向量與共線，則存在實數(shù)，使得。利用這一關(guān)系，可將共線向量轉(zhuǎn)化為等式，通過對應(yīng)分量相等建立方程求解參數(shù)。2.對于用基底表示的向量，若（不共線），可設(shè)，再根據(jù)基底系數(shù)對應(yīng)相等列方程組求解參數(shù)。3.要注意向量共線與向量坐標(biāo)（若有坐標(biāo)）的關(guān)系，若向量用坐標(biāo)表示，可利用坐標(biāo)共線的公式（如，則等價于來計算參數(shù)。【典例1】（2025·北京·二模）設(shè)平面向量與不共線，，則“與共線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2025·山東棗莊·二模）已知向量，則（

）A．的充要條件是B．的充要條件是C．與垂直的充要條件是D．若與的夾角為銳角，則的取值范圍是【典例3】（2025·廣東茂名·二模）已知向量不共線，且，則實數(shù)（

）A．3 B． C． D．07：平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示1．向量坐標(biāo)的求解：若已知向量起點和終點，則向量的坐標(biāo)為，需注意是終點坐標(biāo)減起點坐標(biāo)，避免順序顛倒導(dǎo)致坐標(biāo)錯誤。2．向量共線的坐標(biāo)判定：對于向量和，若，則。利用此公式可建立方程，求解與向量共線相關(guān)的參數(shù)。3．位移向量與坐標(biāo)運算：涉及質(zhì)點移動的位移向量問題，要根據(jù)每次移動的向量的模長和方向，確定其坐標(biāo)表示，再通過累加位移向量得到總位移向量的坐標(biāo)，進而結(jié)合模長公式求解相關(guān)問題?！镜淅?】（2025·遼寧盤錦·三模）已知，，，，若與共線，則（

）A．1 B．2 C．或2 D．或1【典例2】（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，一質(zhì)點P從原點O出發(fā)，第一次從點O移動到點，第二次從點移動到點，…，第k次從點（規(guī)定）移動到點.記向量，其模長為k，方向與x軸正方向成角，設(shè)為經(jīng)過n次移動的位移向量，即，則當(dāng)時，n的值為.08：利用向量垂直求參數(shù)1．向量垂直的核心公式：若兩個非零向量垂直，則它們的數(shù)量積為0，即。利用此公式可建立關(guān)于參數(shù)的方程。2．向量運算與坐標(biāo)結(jié)合：當(dāng)向量由已知向量線性組合（如）構(gòu)成時，先根據(jù)向量坐標(biāo)運算求出組合后向量的坐標(biāo)，再代入垂直的數(shù)量積公式求解參數(shù)。3．結(jié)合其他知識求解：若問題還涉及基本不等式、拋物線等其他知識，在利用向量垂直求出參數(shù)關(guān)系后，結(jié)合相應(yīng)知識（如基本不等式求最值、拋物線的定義與性質(zhì)等）進一步求解最終結(jié)果?！镜淅?】（2025·河北衡水·三模）已知向量，，若且，則的最小值為.【典例2】（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知是拋物線的焦點，是上不同的兩點，為坐標(biāo)原點，若，垂足為，則面積的最大值為．【典例3】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知向量，則下列選項正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則向量的夾角為D．若共線，則01：平面向量共線問題1．向量共線的判定：若存在實數(shù)，使得，則與共線。利用這一關(guān)系，可將共線向量轉(zhuǎn)化為等式，通過向量的線性運算求解參數(shù)。2．向量線性運算與共線結(jié)合：在涉及三角形或其他幾何圖形的向量共線問題中，先對已知向量進行線性運算（如拆分項、合并同類項等），將其轉(zhuǎn)化為與待求共線關(guān)系相關(guān)的向量表達式，再根據(jù)共線的定義建立方程求解。3．空間向量共線的拓展：在空間幾何體（如正方體）中，向量共線可用于判斷直線的位置關(guān)系（如異面直線、平行直線等），或結(jié)合向量表達式確定動點的軌跡等問題，需將平面向量共線的知識拓展到空間中，利用向量的線性運算和共線性質(zhì)分析空間中的幾何關(guān)系。【典例1】（2025·湖南邵陽·三模）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，．若，則的值為（

）A．4 B．5 C． D．【典例2】（2025·浙江·三模）如圖所示，某游戲闖關(guān)者需從區(qū)域Ⅰ內(nèi)的定點P快速移動至區(qū)域Ⅱ內(nèi)的定點Q.兩區(qū)域以直線l為分界線，已知P，Q兩點到直線l的距離分別為1，2，且向量在直線l的方向向量上的投影向量的模長為3，考慮到兩區(qū)域通行環(huán)境差異，設(shè)定闖關(guān)者在區(qū)域Ⅰ的移動速率為a，在區(qū)域Ⅱ中的移動速率為b，線段與直線l相交于點A，若圖示折線路徑是耗時最短的闖關(guān)路線.則下列說法正確的有（

）A．存在實數(shù)，使得B．若，則C．D．【典例3】（2025·湖北·三模）在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，動點在正方體表面運動，則（

）A．與為異面直線B．與所成的角為C．平面截該正方體所得截面形狀為等腰梯形D．，則點軌跡長度為02：利用坐標(biāo)求向量的模利用坐標(biāo)求向量的模若已知向量的坐標(biāo)，則其模。若已知向量的線性運算關(guān)系（如與的坐標(biāo)），可先求出向量、的坐標(biāo)，再代入模的公式計算；也可利用，通過數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解，如典例1中可利用該公式簡化計算。【典例1】（2025·陜西咸陽·三模）已知向量滿足，則＝（

）A．5 B．－5 C．－11 D．11【典例2】（2025·江蘇蘇州·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，若點滿足，則（

）A．-3 B．0 C．1 D．4【典例3】（2025·安徽合肥·二模）已知向量，，設(shè)，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．03：由坐