專題02數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和題型1由Sn與an關(guān)系求通項(xiàng)1、關(guān)系：，要注意驗(yàn)證與兩種情況能否統(tǒng)一．2、已知與的關(guān)系式，記為，求它的通項(xiàng)公式，一般有兩種思路：（1）消：容易直接求的情況，可利用階差公式：，消去，轉(zhuǎn)化等差或等比數(shù)列直接求出；（2）消：難以直接求的情況，可利用階差公式：，消去，得出與的遞推關(guān)系式，先求出，后，即可轉(zhuǎn)化力“第1種情形”，從而間接求出．在求解具體的題目時，應(yīng)根據(jù)條件靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇兩種方法，確定變形方向.通常情況下，先求，要比直接求麻煩；但也有時先直接求，會比先求麻煩得多．1．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.2．（25-26高三上·云南昆明·月考）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則3．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．4．（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A． B．C． D．題型2累加法求通項(xiàng)公式累加法適用于鄰項(xiàng)差結(jié)構(gòu)．利用，將問題轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和，從而得到所求數(shù)列的通項(xiàng)．5．（25-26高三上·四川廣安·開學(xué)考試）數(shù)列滿足：，，則（

）A． B． C． D．6．（25-26高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．7．（2025·河北張家口·一模）已知數(shù)列滿足，且，則.8．（24-25高三上·福建三明·月考）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.題型3累乘法求通項(xiàng)公式累乘法適用于鄰項(xiàng)商結(jié)構(gòu)利用，將問題轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和，從而得到所求數(shù)列的通項(xiàng)．9．（25-26高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的值為（

）A．23 B．24 C．25 D．2610．（24-25高三上·廣東梅縣·期中）若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B．6 C．12 D．2011．（24-25高三上·天津·月考）在數(shù)列中，若，則（

）A．1012 B．1013 C．2023 D．202412．（24-25高三上·河南駐馬店·月考）若數(shù)列滿足，，則．題型4構(gòu)造法求通項(xiàng)公式（1）形如，引入?yún)?shù)，構(gòu)造新的等比數(shù)列；（2）形如，引入?yún)?shù)，構(gòu)造新的等比數(shù)列；（3）形如，兩邊同除以，構(gòu)造新的數(shù)列．13．（2025·天津河北·二模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．3059 B．2056 C．1033 D．52014．（2025·河南·模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．520 B．521 C．1033 D．103415．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則通項(xiàng)．16．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則的通項(xiàng)公式為．題型5分組（并項(xiàng)）法求和1、分組求和法：若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后再相加減．2、并項(xiàng)求和法：一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．17．（25-26高三上·北京順義·開學(xué)考試）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.18．（25-26高三上·福建·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的值.19．（25-26高三上·浙江·開學(xué)考試）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，已知(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（2025·廣東梅州·一模）在公差不為0的等差數(shù)列中，已知，，成等比數(shù)列，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．題型6逆序相加法求和如果一個數(shù)列的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．求和時可以將正著寫與倒著寫的兩個式子相加，就得到一個常數(shù)列的和．21．（24-25高三下·四川容縣·月考）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．22．（24-25高三下·湖南長沙·月考）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．23．（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．76 B．38 C．19 D．024．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·月考）已知函數(shù)是上奇函數(shù)，若數(shù)列的項(xiàng)滿足：（）.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.題型7裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消的原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般時前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．25．（25-26高三上·貴州遵義·月考）已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．26．（24-25高三下·云南·月考）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.27．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知數(shù)列中，為的前項(xiàng)和，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．28．（24-25高三下·山西晉中·月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型8錯位相減法求和1、如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時，常采用錯位相減法．2、寫錯位相減法求和時，應(yīng)注意：在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)將兩式“錯項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“”的表達(dá)式．3、萬能公式：形如的數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，．29．（25-26高三上·山東淄博·開學(xué)考試）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列滿足遞推關(guān)系：．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求的前n項(xiàng)和．30．（25-26高三上·廣東深圳·開學(xué)考試）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．31．（24-25高三上·四川德陽·月考）已知數(shù)列．令，(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．32．（24-25高三下·河南信陽·月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.題型9斐波那契數(shù)列1、定義：一個數(shù)列，前兩項(xiàng)都為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和，那么這個數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列；表達(dá)式，，．①逐項(xiàng)羅列：，1，2，3、5，8，13，21，34，55，……；②遞推公式：，；③通項(xiàng)公式：（又叫“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例）．2、求和問題①前項(xiàng)和：；②奇數(shù)項(xiàng)和：；③偶數(shù)項(xiàng)和：．3、平方和問題：4、余數(shù)列周期性①被2除的余數(shù)列周期為3：1，1，0，……②被3的余數(shù)列周期為8：1，1，2，0，2，2，1，0，……③被4的余數(shù)列周期為6：1，1，2，3，1，0，……5、裂項(xiàng)問題：33．（24-25高三上·山東聊城·月考）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2024項(xiàng)中有（

）個奇數(shù)A．1012 B．1348 C．1350 D．135234．（2024·海南·模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱“兔子數(shù)列”，其數(shù)值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在數(shù)學(xué)上，這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：，，記此數(shù)列為，則等于（

）A． B． C． D．35．（24-25高三上·黑龍江綏化·月考）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…其中從第三項(xiàng)起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，已知數(shù)列為“斐波那契數(shù)列”，則（

）A．2023 B．2024 C．1 D．236．（24-25高三上·安徽·月考）數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列是由意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（Leonardo

Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，滿足，（，），則是斐波那契數(shù)列的第項(xiàng).題型10數(shù)列與不等式綜合問題數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，考查方式主要有三種：（1）判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者是借助數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大??；（2）以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，此類問題大多要借助函數(shù)取證明，或者直接利用放縮法證明．37．（24-25高三下·湖北襄陽·月考）已知數(shù)列滿足，且，則使不等式成立的的最大值為（

）A．98 B．99 C．100 D．10138．（24-25高三下·上?！ぴ驴迹┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，問是否存在正整數(shù)m，使得成立，并說明理由.39．（24-25高三上·湖南長沙·月考）在數(shù)列中，，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求的取值范圍.40．（25-26高三上·江蘇南京·月考）已知數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)有，數(shù)列滿足(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和；①求；②若不等式對任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型11公共項(xiàng)與增減項(xiàng)問題1、對于公共項(xiàng)問題，要注意兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)是等差數(shù)列，且公差時兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)，兩個等比數(shù)列的公共項(xiàng)是等比數(shù)列，公比時兩個等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù)．2、對于數(shù)列的中間插項(xiàng)或減項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列問題，我們要把握兩點(diǎn)：先判斷數(shù)列之間共插入（減少）了多少項(xiàng)（運(yùn)用等差等比求和或者項(xiàng)數(shù)公式去看），再對于題目給出的條件確定它包含了哪些項(xiàng)．41．（25-26高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列為公比大于0的等比數(shù)列，且．(1)求；(2)若在與之間插入個1，由此構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和，求的值．42．（2025·山東青島·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線經(jīng)過原點(diǎn)，是的方向向量．?dāng)?shù)列滿足：點(diǎn)均在上，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，若與的公共項(xiàng)為，的值由小到大構(gòu)成數(shù)列，求的前項(xiàng)和．43．（24-25高三上·山東棗莊·月考）已知數(shù)列滿足，公差不為0的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列，(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)求和的通項(xiàng)公式．(3)在與之間從的第一項(xiàng)起依次插入中的項(xiàng)，構(gòu)成新數(shù)列，求中前60項(xiàng)的和．44．（2025·湖南·三模）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)將中的項(xiàng)按從小到大的順序插入中，且在任意的之間插入項(xiàng)，從而構(gòu)成一個新數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，求.題型12數(shù)列的新定義問題1、數(shù)列新定義問題的特點(diǎn)：通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個新的模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情境，在閱讀、理解題目含義的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，或達(dá)到靈活解題的目的．2、數(shù)列新定義問題的解題思路：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按要求逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以解決．45．（25-26高三上·湖南長沙·月考）已知是項(xiàng)正整數(shù)數(shù)列，令，其中.若對任意的中均無相同的項(xiàng)，則稱數(shù)列為“和差單值”數(shù)列.(1)判斷8，4，2，1，2，4，8是否為“和差單值”數(shù)列.(2)已知，其中為兩兩不同的正整數(shù)，問：是否為“和差單值”數(shù)列？請說明理由．(3)證明：若的最大值不超過，則一定不是“和差單值數(shù)列”.46．（24-25高三下·河北滄州·月考）設(shè)是整數(shù)數(shù)列，m是某個取定的正整數(shù)，若是除以m的余數(shù)，則稱數(shù)列是關(guān)于m的模數(shù)列，記作．斐波那契數(shù)列是常見的整數(shù)數(shù)列，滿足．(1)寫出數(shù)列的第3項(xiàng)、第4項(xiàng)和第5項(xiàng)；(2)斐波那契數(shù)列有許多非常好用的性質(zhì)，比如：，請利用這個性質(zhì)解決以下問題：（i）證明數(shù)列是周期為8的周期數(shù)列；（ii）求的個位數(shù)字．參考數(shù)據(jù)：．47．（24-25高三下·云南·月考）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由，，…，組成的數(shù)列記為，把新數(shù)列稱為原數(shù)列的一階和數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，把數(shù)列稱為數(shù)列的二階和數(shù)列，依此類推，可得數(shù)列的p階和數(shù)列，其中．(1)若，求數(shù)列的二階和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若．①求數(shù)列的三階和數(shù)列的通項(xiàng)公式；②寫出數(shù)列的p階和數(shù)列的通項(xiàng)公式（不用證明）．48．（24-25高三下