專(zhuān)題03向量線性運(yùn)算與性質(zhì)培優(yōu)歸類(lèi)題型1向量夾角：坐標(biāo)型求平面向量夾角的方法（坐標(biāo)型）：坐標(biāo)法：若非零向量、，則.1．（24-25高三·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)的圖象（隨著的增大）（

）A．先上升后下降 B．先下降后上升C．先上升后下降再上升 D．先下降后上升再下降【答案】A【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)得出幾何意義，通過(guò)求解兩個(gè)向量的夾角變化即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在中，函數(shù)可改寫(xiě)為：，其中為向量與的夾角。下面對(duì)變化進(jìn)行分析：1.向量方向變化：向量的分量隨增大線性增長(zhǎng)，在區(qū)間內(nèi)從1下降到-1，整體方向趨近于軸正方向。向量的方向角為2.夾角的變化：當(dāng)從增加時(shí)，向量的方向角逐漸減小。初始時(shí)，夾角逐漸減小，增大。當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值1；此后，夾角增大，減小?！嗪瘮?shù)的圖象先上升后下降，故選：A.2．（23-24高三上·山東德州·階段練習(xí)）已知向量，，則（

）A．30° B．150° C．60° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示求出向量夾角，進(jìn)而求解幾何角.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，又，所以，所以，所?故選：B.3．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）若向量，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積為負(fù)以及共線情況，即可求解.【詳解】當(dāng)與共線時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與方向相反，當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，則需且與不反向，所以且，解得，故選：A4．（24-25高三上·河北張家口·階段練習(xí)）圓：與軸正半軸交點(diǎn)為，圓上的點(diǎn)，分別位于第一、二象限，并且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可知，設(shè)的坐標(biāo)為，根據(jù)向量的關(guān)系列方程求解即可．【詳解】由題意知，，設(shè)的坐標(biāo)為,則,,,因?yàn)?，所以，即，又，?lián)立解得或，因?yàn)樵诘诙笙?，故只有滿(mǎn)足，即.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了單位圓的性質(zhì)，考查了向量的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．題型2向量夾角：模與數(shù)量積型求平面向量夾角的方法模長(zhǎng)型）：定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；1．（21-22高一下·全國(guó)·單元測(cè)試）若兩個(gè)非零向量滿(mǎn)足，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)向量的運(yùn)算與模長(zhǎng)關(guān)系可得，從而確定向量與的夾角為的夾角，即可得答案.【詳解】由題意作圖如下，設(shè)，

故向量，因?yàn)椋?，則四邊形ABCD為矩形，則又因?yàn)?，所以，則，故向量與的夾角為的夾角，故為.故選：C.2．（24-25高三上·吉林松原·期末）設(shè)向量的夾角為，定義：.若平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量滿(mǎn)足：，與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，則，由題意中，，，外接圓的半徑為1，設(shè)，由正弦定理可得，，，則，利用三角恒等變換整理化簡(jiǎn)后再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，，則，因?yàn)?，與的夾角為，所以中，，，如圖所示，由正弦定理可得外接圓的半徑為1，則為圓上與不重合的動(dòng)點(diǎn).設(shè)（），由正弦定理可得，，，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為，故選：B3．（21-22高三·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）直角三角形ABC中，斜邊BC長(zhǎng)為a，A是線段PE的中點(diǎn)，PE長(zhǎng)為2a，當(dāng)最大時(shí)，與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與的夾角為，由，可得，利用的范圍可得答案.【詳解】如圖所示，設(shè)與的夾角為，，所以，因?yàn)锳是線段PE的中點(diǎn)，PE長(zhǎng)為2a，所以，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)最大，此時(shí)，最大的值為.故選：A.4．（2025·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，則函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題知，再根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式可得，接著利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得，繼而可得到值域.【詳解】，，則，，.故選：C.題型3線性運(yùn)算：“中點(diǎn)型”“中點(diǎn)”型，也是“特殊定比分點(diǎn)型”，是向量線性運(yùn)算基礎(chǔ)：

若D點(diǎn)在BC線段上，且滿(mǎn)足,則有1．（25-26高二上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）在中，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合，化簡(jiǎn)得到，對(duì)照題設(shè)即得的值.【詳解】因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)?，所?故選：D.2．（24-25高二下·河北秦皇島·期末）如圖，在梯形中，點(diǎn)在線段上，．若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合平面向量基本定理可得，即可得結(jié)果.【詳解】依題意，設(shè)，則，又，且，不共線，則，解得，即，則，，所以.故選：C3．（24-25高三·海南·階段練習(xí)）如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加減法結(jié)合平面向量基本定理計(jì)算參數(shù)即可.【詳解】在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，因?yàn)?，則，所以.故選：B.4．（24-25高三·湖北孝感·期末）如圖是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)的圖形，圖中四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，若，則（

）

A．1 B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)已知構(gòu)建合適的直角坐標(biāo)系，標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值.【詳解】因?yàn)?，所以，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則，設(shè)，則，，由，所以，可得.故選：B題型4線性運(yùn)算：“定比分點(diǎn)型”線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：若直線上三點(diǎn)、、，且滿(mǎn)足()，在直線外任取一點(diǎn)，設(shè)，，可得.重要結(jié)論：若直線上三點(diǎn)、、，為直線外任一點(diǎn)，則.證明：，則，則.1．（23-24高三·廣東廣州·模擬）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).設(shè)，，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由，可得，故.故選：A.2．（24-25高三·山西臨汾·模擬）如圖，在中，為BC的中點(diǎn)，是線段AD上的一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，借助向量線性運(yùn)算與可得，結(jié)合題目所給條件計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)，則，則有，解得.故選：C.3．（24-25高三·四川成都·模擬）如圖，在中，是的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且，若，，則用表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形和條件，利用向量的加減數(shù)乘等運(yùn)算，將所求向量用基底表示即可.【詳解】由圖知，.故選：D.4．（24-25高三·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，E是AD的中點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減法結(jié)合平面向量的線性表示計(jì)算求解.【詳解】在中，E是的中點(diǎn)，則.故選：D.題型5線性運(yùn)算：內(nèi)線交點(diǎn)型向量共線定理(兩個(gè)向量之間的關(guān)系)：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.變形形式：已知直線上三點(diǎn)、、，為直線外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得：.特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“”，否則可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè).證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合.1．（24-25高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，利用重心的性質(zhì)由向量的加法法則可得.【詳解】由題意可得為三角形重心，所以.故選：D.2．（22-23高一下·四川廣安·期中）如圖，已知在中，，，和交于點(diǎn)E，若，則以為基底表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得，進(jìn)而可得，利用三點(diǎn)共線可求得，進(jìn)而利用向量的線性運(yùn)算可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè)，又，所以，所以，又三點(diǎn)共線，所以，解得，所以，所以.故選：C.3．（24-25高三廣東惠州·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，且滿(mǎn)足，交于點(diǎn)F，設(shè)，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)向量共線定理表示出，，從而求出，即可求得．【詳解】設(shè)，因?yàn)锽，F(xiàn)，E共線，所以，又，所以，又因?yàn)?，所以，解：，即，所以，代入得，解得，則有．故選：B．4．（24-25高一下·四川南充·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E分別在的邊BC、AC上.且，，BE與AD交于點(diǎn)M，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)，可得，再利用向量相等得到方程組，求的值，再求，，即可．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，則設(shè)，設(shè)，則，所以，又因?yàn)椴还簿€，所以，故，所以，所以．故選：A.題型6線性運(yùn)算：面積比值型．1．（21-22高三上·河南平頂山·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為正所在平面上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若的面積與的面積比值為，則的值為（

）A． B．C．2 D．3【答案】B【分析】如圖，分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，對(duì)所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的條件得到，由于正三角形，結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到，，由面積之比，分所成的比，從而得出的值．【詳解】，．如圖，，分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知，，故，在正三角形中，，，且三角形與三角形的底邊相等，面積之比為,所以，得．故選：B2．（22-23高一上·遼寧沈陽(yáng)·期中）點(diǎn)P是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)平面向量共線定理得推理求出，從而可確定的位置，即可得出答案.【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)楣簿€，所以，解得，所以，，則，由，得，即，所以，所以，所以.故選：D.3．（22-23高一下·安徽六安·階段練習(xí)）所在平面上一點(diǎn)，滿(mǎn)足且，若的面積為4，則的面積為（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】取中點(diǎn)，連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則可得，即，從而可得的面積與面積關(guān)系，即可得答案.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接則，所以，故點(diǎn)到直線的距離等于2倍的點(diǎn)到直線的距離，則.故選：B.4．（22-23高一下·江蘇鹽城·期中）已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，點(diǎn)P滿(mǎn)足，則與面積比為（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2【答案】B【分析】利用三角形重心的性質(zhì)及平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】如圖所示是的重心，,,,,，即，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即點(diǎn)為邊中線的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，故選：B.題型7線性運(yùn)算：勾股弦圖型1．（24-25高三·江西贛州·階段練習(xí)）勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱(chēng)為“趙爽弦圖”，“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，某同學(xué)繪制的趙爽弦圖，在正方形和中，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影數(shù)量為【答案】C【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以在上的投影?shù)量為，而，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在222年，他為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱(chēng)“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）類(lèi)比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)，若，則可以推出（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】設(shè)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，結(jié)合余弦定理和正弦定理解三角形，利用坐標(biāo)法即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，由題可知，由，所以，則.所以，，.又，所以.所以.即.所以，..又，所以，解得，所以，故選：B.2．（21-22高一上·青海海南·期末）我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得出，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】因?yàn)樵凇摆w爽弦圖”中，若，所以，所以，所以，所以.故選：B.3．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書(shū)中利用“趙爽弦圖”巧妙的證明了勾股定理，該圖形是以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成．類(lèi)比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，若，，則，則（

）．

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的數(shù)乘、加減法運(yùn)算可整理得到，化簡(jiǎn)整理可得的值，從而求得結(jié)果.【詳解】由知：，；，，，則，，.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛；本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，解題的基本思路是能夠利用向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算，利用基底表示出所求向量或構(gòu)造出關(guān)于所求向量的方程，從而求得參數(shù)的值.題型8投影向量a在b方向上的投影向量為：1、．（2022·上海金山·一模）已知向量與的夾角為，且，向量滿(mǎn)足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】C【分析】①根據(jù)及與的夾角為求出，假設(shè)成立，求出與，代入后發(fā)現(xiàn)等式不成立，故①錯(cuò)誤；②利用向量共線定理可知，點(diǎn)C在線段AB上，再結(jié)合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面積公式和基本不等式求出最大值為1，進(jìn)而求出的最大值.【詳解】由，解得：，當(dāng)時(shí)，，由得：，即，由得：，因?yàn)?，假設(shè)，則可求出，，代入中，等號(hào)不成立，故①錯(cuò)誤；設(shè)，，，因?yàn)?，由向量共線定理可知，點(diǎn)C在線段AB上，如圖，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故點(diǎn)C滿(mǎn)足，又，，所以，其中，而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以最小值為，所以最大值為，故的最大值為，②正確.故選：C【點(diǎn)睛】向量投影的理解是很重要的，在出題中往往會(huì)畫(huà)出圖形來(lái)進(jìn)行思考問(wèn)題，利用幾何法來(lái)解決問(wèn)題，這道題目的突破口就是結(jié)合與，可得：點(diǎn)C在線段AB上且，進(jìn)而得到最小值.2．（24-25高三·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知非零向量，的夾角為銳角，為在方向上的投影向量，且，設(shè)與的夾角為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，，從而可得，，設(shè)，根據(jù)向量的夾角公式及基本不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋瑸樵诜较蛏系耐队跋蛄?，所以，則，，設(shè)，由題意可得，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．故選：C．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)是在利用基本不等式求夾角余弦的最小值時(shí)，對(duì)等式的適當(dāng)變形.3．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）向量與在上的投影向量均為，，當(dāng)最大時(shí)，則（

）A． B．6 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)，，與的夾角為，利用三角形面積公式，結(jié)合向量數(shù)量積求法，得到，根據(jù)的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)，，所以，因?yàn)?，所以，所以可設(shè)，，與的夾角為，若，，則知，，即，，，則當(dāng)最大時(shí)，最大，即最小，即此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.故選：C4．（2025·廣東茂名·一模）向量與在單位向量上的投影向量均為，且，當(dāng)與的夾角最大時(shí)，（

）A．8 B．5 C． D．【答案】D【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示出、，利用余弦定理確定，利用面積得到，由此推斷最大時(shí)，最大，取最小值，利用坐標(biāo)運(yùn)算得到：，由二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.【詳解】設(shè)為軸正半軸上的單位向量，令，，，如圖所示，設(shè)與的夾角為，若，在中，由余弦定理有：則，而，所以，所以，因?yàn)?，所以，有根?jù)正弦定理有：，即，整理有：，所以，當(dāng)與的夾角最大時(shí)，最大，取最小值，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以當(dāng)與的夾角最大時(shí)，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求值.題型9基底幾何意義1.（2010高三·浙江溫州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量，，若且，則點(diǎn)所有可能的位置所構(gòu)成的區(qū)域面積是．【答案】【詳解】解：作為中點(diǎn)，則在內(nèi)，面積為2．（23-24高三·上?！るA段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是線段OB及AB的延長(zhǎng)線、AO的延長(zhǎng)線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，且，則x的取值范圍是．

【答案】【分析】借助向量加法的平行四邊形法則，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，由向量加法的平行四邊形法則可知，點(diǎn)會(huì)位于射線與射線或的反向延長(zhǎng)線上所圍成的區(qū)域內(nèi)，（含射線，不含直線），此時(shí)，不符和題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，若，則點(diǎn)會(huì)位于線段上，符合要求；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，點(diǎn)會(huì)位于射線的反向延長(zhǎng)線與射線所圍成的區(qū)域內(nèi)，（不包括點(diǎn)），此時(shí)一定存在符合要求的，使點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi)，符合要求.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.3.（20-21高一上·江西宜春·期末）如圖，B是的中點(diǎn)，，P是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，，③若為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段④的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用向量共線的充要條件判斷出①錯(cuò)，③正確；利用向量的運(yùn)算法則求出，求出x，y判斷出②正確,利用三點(diǎn)共線解得④正確【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在線段上，故，故①錯(cuò)當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，故②對(duì)為定值1時(shí)，，，三點(diǎn)共線，又是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，故的軌跡是線段，故③對(duì)如圖，過(guò)作，交于，作，交的延長(zhǎng)線于，則：；又；，；由圖形看出，當(dāng)與重合時(shí)：；此時(shí)取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故④正確所以選項(xiàng)②③④正確.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，則三點(diǎn)共線.4.（23-24高三上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，若，且點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（含邊界），則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：若在線段上，設(shè)，則有，所以,又由，則，所以，若點(diǎn)在線段上，設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)，最大值為，所以范圍為，由于在中，分別是的中點(diǎn)，則，則，故由，當(dāng)時(shí)有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，所以范圍為，若點(diǎn)在邊界上，則，故選C．考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了平面向量的基本定理及其意義的應(yīng)用，其中解答中涉及到平面向量的三角形法則，平面向量的基本定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及學(xué)生推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題，本題的解答中根據(jù)向量的數(shù)形結(jié)合的特征，利用向量的運(yùn)算法則和平面向量的基本定理，得出的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，同時(shí)注意發(fā)揮向量的數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)．題型10模最值型向量求模運(yùn)算公式：1.|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))2.1．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知是的重心，，那么；若，，則的最小值是.【答案】【分析】通過(guò)向量的線性運(yùn)算來(lái)求解和的值進(jìn)而得到的值；根據(jù)向量的數(shù)量積公式，求出的值，再利用向量模長(zhǎng)公式以及均值不等式來(lái)求解的最小值即可.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，是的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)可知，又，，、，即.，，，，又，，根據(jù)均值不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，那么，即的最小值是.故答案為：，.2．（24-25高三·四川成都·專(zhuān)題練習(xí)）已知向量，，的模長(zhǎng)分別為2，1，1，記向量與的夾角為θ，，則的最大值為．【答案】【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求得，進(jìn)而結(jié)合向量三角不等式求解即可.【詳解】由題意，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)方向相反時(shí)等號(hào)成立，則的最大值為.故答案為：.3．（24-25高三·河北·階段練習(xí)）已知平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且．若存在，使得與垂直，且，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算，向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，列出坐標(biāo)的方程，當(dāng)方程有解時(shí)，求出參數(shù)的范圍，求出模長(zhǎng)的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，，可知，由，可得，則，，因?yàn)榕c垂直，所以，化簡(jiǎn)得，代入，得，由題意知，即，化簡(jiǎn)得，令，則，代入得，整理得，關(guān)于得一元二次方程，由，得，代入得，當(dāng)時(shí)有解，即，解得，解得或，由可得，即，即當(dāng)，時(shí)，取得最小值為.故答案為：.4．（2025高三全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，則的最小值是.【答案】/【分析】設(shè)，從而得到，結(jié)合已知有，應(yīng)用三角形面積公式得，最后由向量數(shù)量積的運(yùn)算律、基本不等式求向量模長(zhǎng)的最值.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，因?yàn)?，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為．故答案為：.題型11數(shù)量積型范圍最值平面向量數(shù)量積公式有兩種形式：a?a?主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:（1）求向量的夾角，cosθ=a·（2）求投影，a在b上的投影是a?（3）a,b向量垂直，則a?b=01．（24-25高一下·上海寶山·期末）如圖，以邊長(zhǎng)為1的正方形的各邊為基準(zhǔn)向外作正三角形，構(gòu)成八邊形.若點(diǎn)、在八邊形的內(nèi)部（含邊界），則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合幾何圖形求出最小值.【詳解】要使取到最小值，則的夾角為鈍角或平角，且它們的模盡可能的大，因此點(diǎn)應(yīng)在八邊形邊界上，由對(duì)稱(chēng)性不妨取點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上的投影在的延長(zhǎng)線，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，在上的投影向量的模最大，且與方向相反，此時(shí)取得最小值，，，，所以.故答案為：2．（24-25高三上?！るA段練習(xí)）在中，是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來(lái)計(jì)算向量的數(shù)量積，從而可求出最小值.【詳解】如圖建系，由可得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，取到最小值.故答案為：.3．（24-25高一下·北京·期中）梯形中，已（1）（2）若點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是.【答案】【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；設(shè)，，，，求出的坐標(biāo)，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合一次函數(shù)的最值的求法，即可求解．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，則.設(shè)，，，，因?yàn)?，，，，則，，則，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，即的最大值是故答案為：，.4．（24-25高三·山東青島·階段練習(xí)）已知中，，，的最小值是，若M為邊AB上任意一點(diǎn)，N為邊BC的中點(diǎn)，則的最小值是.【答案】【分析】延長(zhǎng)AC，使得，進(jìn)而得到B，G，D三點(diǎn)共線，再取取NC中點(diǎn)為H，得到得到求得最小值即可求解.【詳解】延長(zhǎng)AC，使得，令可知B，G，D三點(diǎn)共線，時(shí)為AG最小值，在中，，得，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，所以，在中，，取NC中點(diǎn)為H，，,所以所以.即求的最小值，當(dāng)時(shí)，有最小值，在中，，，所以.故答案為：題型12范圍最值型：向量建系法1．（24-25高三·山西臨汾·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則；的外接圓的圓心是，則的最大值為