專題04立體幾何非建系綜合大題培優(yōu)歸類題型1非建系：“虛”交線型如果兩個(gè)平面相交，則滿足以下性質(zhì)：1.兩點(diǎn)確定一條直線，只需確定兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)即可2.由于兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)A，再找一個(gè)公共點(diǎn)即可確定交線3.一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行，在平面內(nèi)，過兩平面的公共點(diǎn)作直線與已知直線平行，則此直線即為兩平面的交線1．如圖，在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且，，分別為，的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)若平面與平面的交線為，求直線與平面所成角的正弦值.2．如圖，在直三棱柱中，，.(1)設(shè)平面與平面ABC的交線為l，判斷l(xiāng)與AC的位置關(guān)系，并證明；(2)求證：；(3)若與平面所成的角為30°，求三棱錐內(nèi)切球的表面積S.3．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，側(cè)面平面．(1)求證：；(2)設(shè)平面與平面的交線為，、的中點(diǎn)分別為、，證明：平面．題型2非建系：探索性線面平行平行的常用構(gòu)造方法①三角形中位線法； ②平行四邊形線法； ③比例線段法.注意：平行構(gòu)造主要用于：①異面直線求夾角； ②平行關(guān)系的判定.1．（24-25高三·江西·階段練習(xí)）如圖1，已知等邊三角形的邊長為，，分別是，上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，得到如圖2所示的四棱錐．(1)證明：．(2)在棱上是否存在點(diǎn)滿足平面？若存在，求出的值；若不存在，請說出理由．(3)已知二面角的大小是，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界），且，當(dāng)直線與直線的夾角的余弦值最大時(shí)，求的值．2．（23-24高一下·吉林通化·期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由.3．（24-25高三·甘肅蘭州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱垂直于底面，E是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)設(shè)與交于O點(diǎn)，是否存在上一點(diǎn)F，使得平面平面，若存在請指出F點(diǎn)的位置，并說明理由．題型3非建系：探索性面面平行證明平行

(1)線線平行：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.(2)線面平行：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.(3)面面平行：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.1．（21-22高三·湖北·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是平行四邊形，分別為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在底面四邊形內(nèi)部（包括邊界）是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在求點(diǎn)的位置，并求的最大值，如果不存在請說明理由.2．（21-22高一下·江蘇無錫·期中）如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，，，分別為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)點(diǎn)為底面四邊形內(nèi)的一動點(diǎn)（包括邊界），且平面平面，求的最大值．3．（23-24高一下·陜西咸陽·期中）如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，．(1)求三棱錐的體積．(2)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面.如果存在，請說明點(diǎn)位置并證明.如果不存在，請說明理由.題型4非建系：探索性線面垂直垂直的常見構(gòu)造：①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法； ③投影法.④菱形的對角線互相垂直1．（24-25高三·北京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點(diǎn)．(1)求證：AF∥平面SEC；(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．2．（21-22高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，在直三棱柱中，，，，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，為棱上靠近的三等分點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)D，使得面?若存在，求出的大小并證明；若不存在，說明理由.3．（22-23高一下·云南昭通·期末）如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)M為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.題型5非建系：探索性面面垂直面面垂直探索性：面面垂直主要思維，即一個(gè)平面經(jīng)過另外一個(gè)平面的垂線1．（22-23高一下·北京西城·期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面平面．

(1)求證：；(2)求證：為線段中點(diǎn)，并直接寫出到平面的距離；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求；若不存在，說明理由．2．（23-24高三·北京懷柔·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且平面平面.

(1)求證：為線段中點(diǎn)；(2)求證：平面平面；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求；若不存在，說明理由.3．（22-23高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，三角形為正三角形，且側(cè)面底面.分別為線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.題型6非建系三大角1：異面直線異面直線所成的角：簡稱“平移角”，以平移一條直線或者兩條直線同時(shí)平移，平移到一個(gè)平面（三角形或者四邊形）內(nèi)計(jì)算求解。1．（23-24高三·湖南長沙·階段練習(xí)試）如圖，在直三棱柱中，，D是AC的中點(diǎn)，．

(1)求證：平面；(2)若異面直線AC和所成角的余弦值為，求四棱錐的體積．2．（24-25高三·重慶壩·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD.（1）證明：平面平面PAC；（2）若異面直線PD與AB所成角的余弦值為，且，求四棱錐的體積.3．（20-21高一下·重慶九龍坡·期中）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）若O為AC中點(diǎn)，求證：平面；（2）過棱作平面交棱于點(diǎn)，且三棱錐和的體積比為1:2，異面直線AM和BC所成角的余弦值.題型7非建系三大角2：線面角直線與平面所成的角：直線與平面所成的角，簡稱“射影角”，非建系的核心做法就是適當(dāng)選取直線上合適的點(diǎn)，向平面做垂線，連接垂足與斜足，直線與射影所成的角即為線面角。特殊情況下，也可以采取“虛做垂線法”，即采取等體積轉(zhuǎn)化法來求直線上一點(diǎn)到平面的距離。1．（2021·全國·模擬預(yù)測）如圖所示的幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，已知，線段與交于點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)，平面平面，平面．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若是邊長為2的等邊三角形，，求直線與平面所成角的正弦值．2．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若是線段上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．3．（24-25高三安徽階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD的交點(diǎn)為O，且平面ABCD，是等邊三角形，點(diǎn)E是線段AD上的動點(diǎn)．(1)證明：；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)求直線PE與平面PBC所成角的正弦值的最大值，并指出點(diǎn)E此時(shí)所在的位置．題型8非建系三大角3：二面角二面角的平面角：二面角，簡稱“垂面角”，非建系思維，有以下幾種方法定義法：在二面角棱上，選擇合適一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)做棱的垂線即可。垂面法：過棱上一點(diǎn)，做垂直于棱的平面，與兩個(gè)半平面相交，所成角即為二面角的平面角。垂線法：尋找兩個(gè)半平面其中一個(gè)半平面的垂線，與另外一個(gè)半平面相交，從“垂足”（或者“斜足”）向棱做垂線，再連接另外一“足”，即是二面角的平面角。1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）如圖，四棱錐中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面是矩形，且.(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，（i）求證：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的大小為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.2．（24-25高三·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.(3)求二面角平面角的正切值.3．（22-23高一下·福建福州·期末）如圖，四棱錐的側(cè)面是邊長為2的正三角形，底面為正方形，且平面平面，，分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)使得平面，存在指出位置，不存在請說明理由.(3)求二面角的正弦值．題型9特殊證明與計(jì)算：四點(diǎn)共面型1．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，為側(cè)棱上靠近的三等分點(diǎn)，底面，且.(1)在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)四點(diǎn)共面？若存在，指出點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，請說明理由；(2)求二面角的余弦值.2．（23-24高三·河南·階段練習(xí)）如圖，四棱錐，側(cè)面是邊長為的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證:；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請說明理由；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．3．（24-25高一下·云南昭通·期末）圖1是由正方形和等邊組成的平面圖形，將沿折起．(1)折起時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且平面平面，如圖2，、分別是、的中點(diǎn)．①證明：四點(diǎn)共面；②證明：平面平面；(2)折起時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且，如圖3，求點(diǎn)到平面的距離．題型10特殊證明與計(jì)算：外接球型外接球證明與計(jì)算；主要借助于球的定義來證明。球的計(jì)算，則可以借助截面與垂徑勾股三角形來計(jì)算。1．（24-25高三福建福州·階段練習(xí)）如圖所示的四棱錐中，平面，，，，，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)；(1)求證：平面(2)求證：平面(3)若P，B，C，D在同一個(gè)球面上，證明：這個(gè)球的球心在平面ABCD上2．（24-25高三上·河南開封·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面，，，.(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求；(3)當(dāng)，時(shí)，四棱錐的外接球表面積與（2）中四棱錐的外接球表面積相等么？若相等，請求出四棱錐的外接球表面積；若不相等，請說明理由.3．（24-25高一下·安徽安慶·期末）如圖所示，已知正方體的體積為64，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，M的平面與直線平行.(1)求平面與正方體的表面形成的截面圖形的面積；(2)求證：平面平面；(3)點(diǎn)E是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，滿足平面，當(dāng)線段最短時(shí)，求四面體的外接球的表面積.題型11特殊證明與計(jì)算：特殊幾何體體積1．（25-26高二上·山東濰坊·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，且側(cè)面底面，是的中點(diǎn)，．

(1)已知是的中點(diǎn)，求證：平面平面(2)求證：平面；(3)當(dāng)時(shí)，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．2．（25-26高三·湖北·階段練習(xí)）如圖是一塊正四棱臺的工藝石料，該四棱臺的上、下底面的邊長分別為2dm和4dm，高為3dm．

(1)求四棱臺的表面積；(2)現(xiàn)要將這塊工藝石料最大限度打磨為一個(gè)圓臺造型，求圓臺的體積．3．（25-26高二上·北京·開學(xué)考試）如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且.

(1)求證：；(2)線段上是否存在，使得平面？若存在，求出值；若不存在，請說明理由.(3)求多面體的體積.題型12特殊證明與計(jì)算：角度最值范圍角度最值范圍型：遵循角度概念與定義，適當(dāng)?shù)脑O(shè)變量，建立關(guān)于角度的三角函數(shù)式，在對應(yīng)的自變量取值范圍內(nèi)求解最值。1．（25-26高二上·重慶·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面平面，且．

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(3)當(dāng)時(shí)，求二面角的正切值的取值范圍．2．（25-26高三安徽馬鞍山·開學(xué)考試）如圖1，在矩形中，為的中點(diǎn)．將沿向上翻折，進(jìn)而得到多面體（如圖2）．

(1)當(dāng)平面平面時(shí)，求直線與平面所成角的正切值；(2)在翻折過程中，求直線與平面所成角的最大值；(3)在翻折過程中，求二面角的最大值．3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）將邊長為的等邊沿平行于的線段折起，使平面平面（如圖）．設(shè)點(diǎn)到的距離為的長為．

(1)當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？最小值是多少？(2)設(shè)，試求的最小值．題型13特殊證明與計(jì)算：幾個(gè)角度恒等式1．（23-24高三·全國專題練習(xí)）在三棱錐中，，點(diǎn)在平面上的投影為，連接.(1)如圖1，證明：；(2)如圖2，記，，直線與平面所成角為，求證：，比較與的大小并說明理由；(3)如圖3，已知，，，為平面內(nèi)一點(diǎn)，且.記異面直線與所成角為，求的最大值.2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，長度分別為，高，設(shè)側(cè)面與底面所成的二面角分別為，，，證明：．

3．（2025高三·全國·