第六章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CLinearAlgebra二次型線性代數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第六章二次型二次型是線性代數(shù)課程的重要內(nèi)容,它與解析幾何中的相關(guān)知識有著緊密的關(guān)系,同時在物理學(xué)、工程系、投資學(xué)等多個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本章重點講解二次型的知識,包括二次型的相關(guān)概念、標準形的轉(zhuǎn)化、正定二次型的性質(zhì)等.第一節(jié)二次型及矩陣合同在平面解析幾何中,二次齊次方程

表示平面上的一條二次曲線.為便于研究該曲線的幾何性質(zhì),常需要通過坐標變換將二次齊次多項式化成只含有平方項的形式.根據(jù)的符號即可對二次曲線的類型做出判斷.在代數(shù)學(xué)中,該過程即通過一個可逆線性變換將二次齊次多項式進行轉(zhuǎn)化.以下我們將對包含n個變量的二次齊次多項式進行討論.

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、線性變換與矩陣合同一、實二次型及其矩陣目錄/Contents第一節(jié)二次型及矩陣合同一、 實二次型及其矩陣包含n個變量的二次齊次多項式

（6.1）

稱為關(guān)于變量的n元二次型.若則稱為實二次型.若則稱為復(fù)二次型.本章我們只討論實二次型.

一、 實二次型及其矩陣

如果令,,,

則二次型可表示為

=,

（6.2）稱為二次型的矩陣形式,對稱矩陣A稱為二次型的矩陣,矩陣A的秩稱為二次型的秩.

一、 實二次型及其矩陣二次型f與對稱矩陣A之間是一一對應(yīng)的.給定一個二次型就可得到唯一的對稱矩陣A;反之,給定一個對稱矩陣A,就有唯一的一個二次型與其對應(yīng).

例1

(1)求二次型矩陣對應(yīng)的矩陣A.

(2)設(shè),求A對應(yīng)的二次型.

解

(1).

(2).一、 實二次型及其矩陣例2

求二次型的秩.

解易知的矩陣為.由于A的行列式非零,故A的秩為3,二次型的秩也為3.

e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、線性變換與矩陣合同一、實二次型及其矩陣目錄/Contents第一節(jié)二次型及矩陣合同二、線性變換與矩陣合同定義6.1對于n元二次型,關(guān)系式

,（6.3）

稱為由變量到的一個線性變換.矩陣

C=,

稱為線性變換的系數(shù)矩陣.線性變換（6.3）的矩陣表達式為,其中,.

二、線性變換與矩陣合同如果矩陣C可逆,

稱為可逆線性變換（或非退化線性變換）.如果矩陣C是正交矩陣,則稱為正交變換.

如果對二次型進行可逆線性變換,則

.

因此,在新變量下,二次型f的矩陣為.

對于矩陣A,B之間的這種關(guān)系,我們給出如下定義.

定義6.2設(shè),為n階矩陣.如果存在可逆矩陣C,使

,

則稱與合同.

二、線性變換與矩陣合同矩陣間的合同關(guān)系具有以下性質(zhì):

性質(zhì)1

自反性:A與A合同;

性質(zhì)2

對稱性:若A與B合同,則B與A合同;

性質(zhì)3

傳遞性:若A與B合同,B與C合同,則A與C合同.

據(jù)上所述,經(jīng)過可逆線性變換,原二次型矩陣與新二次型矩陣合同,且具有相同的秩.因此,可逆線性變換不改變二次型的秩.

二、線性變換與矩陣合同例3已知矩陣,,求可逆矩陣C使得.

解

根據(jù)初等變換相關(guān)知識,記C,可得.

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