2025年高考數(shù)學(xué)真題匯編立體幾何解題技巧專項(xiàng)訓(xùn)練考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，則直線CD與直線B1C所成角的余弦值為（）A.1/2B.sqrt(3)/2C.2/sqrt(13)D.sqrt(13)/132.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，高為2，E為PC的中點(diǎn)，則直線AE與平面PBD所成角的正弦值為（）A.1/3B.sqrt(2)/3C.sqrt(3)/3D.2/sqrt(7)3.給定空間三個點(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)，則點(diǎn)D(1,1,1)到平面ABC的距離為（）A.1/sqrt(3)B.sqrt(2)/2C.sqrt(3)/3D.sqrt(6)/34.在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AD=1，BC=2，P為AD的中點(diǎn)，Q為BC上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線BQ的距離的最小值為（）A.sqrt(2)/2B.1C.sqrt(3)/2D.sqrt(2)5.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則過圓錐頂點(diǎn)的截面中，面積最大的等腰三角形的面積為（）A.1B.sqrt(3)C.2D.sqrt(2)6.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，E為A1C1的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積為（）A.1/3B.sqrt(3)/3C.2/3D.sqrt(3)7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P在棱AA1上，點(diǎn)Q在棱CC1上，則點(diǎn)P到平面B1DP的距離的最小值為（）A.1/2B.sqrt(2)/2C.sqrt(3)/3D.18.設(shè)m,n是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，下列命題中，正確的是（）A.m⊥α,n⊥β,則α⊥βB.m∥α,n∥β,則α∥βC.m⊥α,n∥α,則m⊥nD.m∥α,n⊥β,α∥β,則m⊥n二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則二面角A-PBC的余弦值為________。10.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E在棱AB上，點(diǎn)F在棱BC上，且EF=1/2，則三棱錐E-FCD1的體積為________。11.給定空間三個點(diǎn)A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)，則平面ABC的一個法向量為________。12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，E為A1C1的中點(diǎn)，則直線DE與平面ABC所成角的正弦值為________。13.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則過圓錐頂點(diǎn)的截面中，面積最小的等腰三角形的腰長為________。14.在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AD=1，BC=2，P為AD的中點(diǎn)，Q為BC上一點(diǎn)，則點(diǎn)D到直線PQ的距離的最大值為________。三、解答題：本大題共4小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(本小題滿分16分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，E為A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)。(1)證明：DE⊥BC；(2)求三棱錐E-BCD的體積；(3)求直線DE與平面A1B1C1所成角的正弦值。16.(本小題滿分18分)已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，高為2，E為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PB上一點(diǎn)，且PF=1/2。(1)求證：平面AEF⊥平面PBC；(2)求三棱錐E-PCD的體積；(3)求點(diǎn)E到平面PBC的距離。17.(本小題滿分18分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D為AB的中點(diǎn)，E為A1C1的中點(diǎn)。(1)求證：DE⊥平面A1B1C1；(2)求二面角A-DE-B的余弦值；(3)求點(diǎn)B1到平面A1DE的距離。18.(本小題滿分18分)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，O為底面圓心，P為底面圓周上一點(diǎn)，Q為母線PO上一點(diǎn)，且PQ=1。(1)求證：平面OPQ⊥平面OAC；(2)求三棱錐Q-ABC的體積；(3)求點(diǎn)Q到平面ABC的距離。試卷答案一、選擇題：1.C2.B3.A4.A5.B6.B7.B8.C二、填空題：9.1/sqrt三、解答題：15.(1)證明：取AC的中點(diǎn)G，連接DG，EG。因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，G為AC的中點(diǎn)，所以DG//BC，且DG=1/2BC。又因?yàn)镋為A1C1的中點(diǎn)，所以EG//A1B1，且EG=1/2A1B1。因?yàn)榈酌鍭BC是等邊三角形，所以DG⊥AG，EG⊥AG。又因?yàn)锽C⊥AG，A1B1⊥AG，所以BC⊥平面DGE，A1B1⊥平面DGE。所以BC⊥EG，A1B1⊥DG。因?yàn)锳1B1//EG，所以BC⊥DG。又因?yàn)镈，E，G均為中點(diǎn)，所以DE//BC。又因?yàn)锽C⊥DG，所以DE⊥DG。又因?yàn)镈E，DG?平面DGE，且DE∩DG=D，所以DE⊥平面BCGE。因?yàn)锽C?平面BCGE，所以DE⊥BC。(2)解：取BC的中點(diǎn)H，連接DH，EH。因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，H為BC的中點(diǎn)，所以DH//AC，且DH=1/2AC。又因?yàn)镋為A1C1的中點(diǎn)，所以EH//A1C。因?yàn)榈酌鍭BC是等邊三角形，所以AH⊥BC，DH⊥BC。又因?yàn)锳1C⊥底面ABC，所以A1C⊥BC。所以BC⊥平面A1CH。因?yàn)镋H?平面A1CH，所以BC⊥EH。又因?yàn)镋H⊥A1H，所以EH⊥平面A1CH。又因?yàn)镋，H，A1均為中點(diǎn)，所以EH=1/2A1C。所以三棱錐E-BCD的體積V=1/3S_BCH*EH=1/3*(1/2*BC*AH)*EH=1/3*(1/2*2*sqrt(3)/2)*(1/2)=sqrt(3)/4。又因?yàn)锳H=1，BC=2，DH=1/2AC=1，所以S_BCH=1/2*BC*AH=1/2*2*1=1。所以三棱錐E-BCD的體積V=1/3*S_BCH*EH=1/3*1*sqrt(3)/4=sqrt(3)/3。(3)解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,2)，P(0,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,2)，P(0,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，A1(2,0,2)。則DE=(1,1,2)，平面A1B1C1的一個法向量為(0,2,0)。所以直線DE與平面A1B1C1所成角的正弦值sinθ=|DE·n|/(|DE|*|n|)=|(1,1,2)·(0,2,0)|/sqrt(1^2+1^2+2^2)*sqrt(0^2+2^2+0^2)=2/sqrt(6)*2=sqrt(6)/3。16.(1)證明：取PC的中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M。因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以EM//PB，且EM=1/2PB。又因?yàn)镕為PB上一點(diǎn)，且PF=1/2，所以FM//PC，且FM=1/2PC。因?yàn)镻B⊥PC，所以EM⊥FM。又因?yàn)镋，M，F(xiàn)均為中點(diǎn)，所以EM=1/2PB，F(xiàn)M=1/2PC。所以平面AEF⊥平面PBC。(2)解：取CD的中點(diǎn)N，連接PN，DN。因?yàn)镻為底面ABC的中心，所以PN⊥底面ABC，DN⊥BC。又因?yàn)榈酌鍭BC是正方形，所以PN=DN=2*sqrt(2)/2=sqrt(2)。又因?yàn)镻，N，D均為中點(diǎn)，所以PN=1/2PC，DN=1/2CD。所以三棱錐E-PCD的體積V=1/3S_PCD*PN=1/3*(1/2*PC*CD)*PN=1/3*(1/2*2*2)*sqrt(2)=2*sqrt(2)/3。(3)解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,2)，P(0,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，A1(2,0,2)。則DE=(1,1,2)，平面PBC的一個法向量為(2,0,-2)。所以點(diǎn)E到平面PBC的距離d=|DE·n|/|n|=|(1,1,2)·(2,0,-2)|/sqrt(2^2+0^2+(-2)^2)=|2-4|/2=sqrt(2)/2。17.(1)證明：取AC的中點(diǎn)G，連接DG，EG。因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，G為AC的中點(diǎn)，所以DG//BC，且DG=1/2BC。又因?yàn)镋為A1C1的中點(diǎn)，所以EG//A1C。因?yàn)锽C⊥AC，所以BC⊥DG。又因?yàn)锳1C⊥AC，所以A1C⊥EG。又因?yàn)锽C⊥AC，A1C⊥AC，所以BC⊥A1C。又因?yàn)锽C⊥DG，BC⊥A1C，且DG∩A1C=C，所以BC⊥平面A1CG。因?yàn)镈E?平面A1CG，所以BC⊥DE。又因?yàn)镈E，BC?平面DEG，且DE∩BC=D，所以DE⊥平面A1BCG。因?yàn)锳1C?平面A1BCG，所以DE⊥A1C。又因?yàn)镈E⊥平面A1BCG，A1C?平面A1BCG，所以DE⊥A1C。所以DE⊥平面A1C1G。因?yàn)镋，G，A1均為中點(diǎn)，所以DE⊥平面A1C1G。所以DE⊥平面A1B1C1。(2)解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,2)，D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,2)，D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,2)。則DE=(1,1,2)，平面A1DE的一個法向量為(2,0,-2)。所以二面角A-DE-B的余弦值cosθ=|DE·n|/(|DE|*|n|)=|(1,1,2)·(2,0,-2)|/sqrt(1^2+1^2+2^2)*sqrt(2^2+0^2+(-2)^2)=2/sqrt(6)*2=sqrt(6)/3。(3)解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,2)，D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,2)。則B1(2,2,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(1,1,2)。則平面A1DE的一個法向量為(2,0,-2)。所以點(diǎn)B1到平面A1DE的距離d=|B1D·n|/|n|=|(2,2,2)·(2,0,-2)|/sqrt(2^2+0^2+(-2)^2)=|4-4|/2=0。18.(1)證明：取OC的中點(diǎn)M，連接PM，QM。因?yàn)镻Q=1，所以QM=1/2PQ=1/2。又因?yàn)镻，Q在母線PO上，且PQ=1，所以PQ⊥PO。又因?yàn)镸為OC的中點(diǎn)，所以PM⊥OC。又因?yàn)镻M⊥OC，PQ⊥PO，且PM∩PQ=P，所以平面OPQ⊥平面OAC。(2)解：以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OA為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz。則O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，Q(0,0,1/2)，O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，Q(0,0,1/2)。則ABC的一個法向量為(1,1,0)。所以三棱錐Q-ABC的體積V=1/3S_ABC*OQ=1/3*(1/2*AB*AC)*OQ=1/3*(1/2*1*1)*