高中高中2025北京平谷高二（下）期末數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)1．本試卷共4頁，包括兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．在答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)和姓名．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結(jié)束，請(qǐng)將答題卡交回．第一部分選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10題，每題4分，共40分；在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則（）A.1 B. C.－1 D.04.已知等差數(shù)列中，，，則（）A. B. C. D.5.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.某學(xué)校從5名男生和3名女生中推薦3人參加區(qū)級(jí)演講比賽，若選出的3人既有男生又有女生，則不同的選法有（）A.45種 B.56種 C.15種 D.30種8.一個(gè)容器裝有細(xì)沙，細(xì)沙從容器底部勻速漏出，tmin后剩余的沙量（單位：）．已知經(jīng)過4min后容器里的細(xì)沙還有開始時(shí)的，若再經(jīng)過min，容器里的細(xì)沙只有開始時(shí)的，則（）A.10 B.8 C.6 D.49.已知函數(shù)，若且，則以下錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)，則下面說法正確的是（）A.函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)的一條對(duì)稱軸為D.函數(shù)圖象在直線與之間第二部分非選擇題（共110分）二、填空題（本大題共5題，每題5分，共25分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上．）11.函數(shù)的定義域是______．12.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，比賽中該射手連續(xù)射擊3次，則該射手恰好擊中目標(biāo)2次的概率為______．13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，它們的始邊與x軸正半軸重合，終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若將終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)恰與終邊重合，則的一個(gè)取值為______．14.已知公比的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列，則______，______．15.設(shè)函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的圖像恒過定點(diǎn)；②對(duì)任意的，都不是單調(diào)函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，存在2個(gè)零點(diǎn)；④若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題（本大題共6題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）16.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，，平面ABCD，，，點(diǎn)E為線段PO中點(diǎn)．（1）求證：平面PAC；（2）求平面PAC與平面PBC夾角的大?。?8.中小學(xué)體育鍛煉是青少年成長(zhǎng)的必修課，不僅促進(jìn)學(xué)生身心發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)和耐力，還幫助學(xué)生培養(yǎng)鍛煉習(xí)慣，形成健康生活方式．現(xiàn)從某高中校甲、乙兩個(gè)班隨機(jī)選出幾名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們平時(shí)周末在戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)，得到以下數(shù)據(jù)（單位：分）：甲班：40，60，80，100，120，140，160，190，200，220；乙班：50，60，100，110，150，160，170，200．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每名學(xué)生的戶外運(yùn)動(dòng)情況相互獨(dú)立．（1）現(xiàn)從甲班的樣本中隨機(jī)選出2人進(jìn)行問卷調(diào)查，求這2人中恰有1人周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)超過3個(gè)小時(shí)的概率；（2）現(xiàn)從甲班全體學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，乙班全體學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，記X為這3人中在周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于120分鐘的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)樣本中甲班學(xué)生周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的方差為、乙班學(xué)生周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的方差為，直接寫出與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）19.已知函數(shù)，從以下三個(gè)條件中選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)作為函數(shù)在同一周期內(nèi)滿足的條件，使函數(shù)存在且唯一確定．解答下列問題：（1）求函數(shù)解析式；（2）設(shè)函數(shù)，（i）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值．條件①：，．條件②：．條件③：．（注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．如果選擇的條件不符合要求，得0分．）20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：．21.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為Q增數(shù)列．（1）判斷下面兩個(gè)數(shù)列是否為Q增數(shù)列？并說明理由．①②（2）若數(shù)列為Q增數(shù)列，且任意項(xiàng)，，，，求正整數(shù)k的最大值．

參考答案第一部分選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10題，每題4分，共40分；在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上．）1.【答案】B【分析】利用交集運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B.2.【答案】C【分析】根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱及可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【詳解】的定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，排除A；的定義域?yàn)?，但不是奇函?shù)，排除B；的定義域?yàn)榍遥詾槠婧瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，C符合題意；的定義域?yàn)椋?，是奇函?shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意排除D.故選：C3.【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)求導(dǎo)公式求出導(dǎo)函數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】，，.故選：C4.【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可求得數(shù)列第5項(xiàng)的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以.故選：C.5.【答案】D【分析】寫出該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為1，求解此時(shí)的，再代入系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)為：，令，解得，則的系數(shù)為.故選：D.6.【答案】A【分析】令，，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，其中，故在上恒成立，充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到結(jié)論.【詳解】令，，則，令得，解得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中，故在上單調(diào)遞增，其中，故在上恒成立，所以充分性成立，但必要性不成立，比如，但，所以”是“”的充分不必要條件.故選：A7.【答案】A【分析】列出選出的3人既有男生又有女生的所有可能，用組合數(shù)表示每種可能的選法種數(shù)，再使用分類加法計(jì)數(shù)原理即可.【詳解】選出的3人中有1名男生和2名女生的選法有種，選出的3人中有2名男生和1名女生的選法有種，則選出的3人既有男生又有女生的選法有種.故選：A.8.【答案】C【分析】由題意可得，解得，從而可求解.【詳解】由題意可得，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得，解得，再經(jīng)過

min，容器里的細(xì)沙只有開始時(shí)的，則，即，解得，故C正確故選：C.9.【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可判斷B；直接代入函數(shù)解析式判斷是否相等即可判斷C；由及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以對(duì)且，均有成立，A正確；對(duì)B，，B正確；對(duì)C，，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)閷?duì)且，，所以，D正確.故選：C10.【答案】D【分析】A選項(xiàng)：由定義域及判斷函數(shù)是奇函數(shù)，利用驗(yàn)證是函數(shù)的周期；B選項(xiàng)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；C選項(xiàng)：驗(yàn)證從而判斷是否為的一條對(duì)稱軸；D選項(xiàng)：根據(jù)三角函數(shù)的值域可推出，所以圖象在直線與之間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故是奇函數(shù)，，所以不是的周期，A錯(cuò)誤；，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，，所以存在，使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不是的?duì)稱軸，C錯(cuò)誤；對(duì)任意的x，，即，所以函數(shù)圖象在直線與之間，D正確.故選：D第二部分非選擇題（共110分）二、填空題（本大題共5題，每題5分，共25分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上．）11.【答案】【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)定義及分式分母不為0計(jì)算定義域即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以且不是2，所以函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：.12.【答案】【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知：恰好有兩次擊中目標(biāo)的概率為.故答案為：.13.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)終邊相等知識(shí)可得，再結(jié)合與關(guān)于軸對(duì)稱，從而可求解.【詳解】由題意與關(guān)于軸對(duì)稱，則，又將終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)恰與終邊重合，則，求解得，不妨取時(shí)，.故答案為：（答案不唯一）.14.【答案】①.②.【分析】根據(jù)等比數(shù)列及等差中項(xiàng)化簡(jiǎn)基本量運(yùn)算求解即可，再應(yīng)用等比數(shù)列求和公式得出應(yīng)用等比通項(xiàng)計(jì)算.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列，，且、、成等差數(shù)列，所以，所以，所以，且，所以，，所以，所以.故答案為：；.15.【答案】①③④【分析】取即可判定①；研究當(dāng)時(shí)的單調(diào)性即可判定②錯(cuò)誤；分別研究和函數(shù)的圖像，即可判定③正確；分，兩種情況分析函數(shù)存在最大值的條件，進(jìn)而可判定④正確.【詳解】設(shè)函數(shù)，.對(duì)于①，,∴函數(shù)圖像恒過定點(diǎn),故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且,∴此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且,故無零點(diǎn).函數(shù)圖像為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為,判別式,故有2個(gè)不同零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有且只有1個(gè)零點(diǎn).函數(shù)圖像為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為,過定點(diǎn),故有1個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，符合題意.綜上，③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，,無最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，必須且只需,即,,,,,又∵,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍,故④正確.故答案為：①③④.三、解答題（本大題共6題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）16.【答案】（1）（2）極大值為，無極小值.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得到切線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出切線方程.（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)定義域確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定極值點(diǎn)和極值.【小問1詳解】因?yàn)椋?所以切線斜率為，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問2詳解】令，則，求得.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值為.所以函數(shù)的極大值為，無極小值.17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先利用線面垂直的性質(zhì)定理得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而利用線面垂直的判斷定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面PBC的法向量為，由（1）可知，為平面PAC的法向量，利用夾角公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫鍭BCD，平面，所以，又底面ABCD為正方形，，，平面，平面，所以平面，平面，所以，平面ABCD，平面，所以，在中，，又點(diǎn)E為線段PO中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC；【小問2詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，，設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則,即，令，則，所以．由（1）可知，為平面PAC的法向量，設(shè)平面PAC與平面PBC夾角的夾角為，則，又，所以，即平面PAC與平面PBC夾角為．18.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）首先求出周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)超過3個(gè)小時(shí)的概率，然后利用組合數(shù)求出所求概率即可.（2）首先確定甲班、乙班周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于120分鐘的概率，確定的可能取值和對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而列出的分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.（3）通過數(shù)據(jù)直觀看出數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小來比較甲班、乙班方差的大小即可.【小問1詳解】由甲班數(shù)據(jù)可以看出，周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)超過3個(gè)小時(shí)的人數(shù)為3人.從10人中隨機(jī)選取2人，恰有1人周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)超過3個(gè)小時(shí)的概率為.【小問2詳解】由甲乙班數(shù)據(jù)可以得出，甲班周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于120分鐘的概率為.乙班周末戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不少于120分鐘的概率為.根據(jù)題意，的可能取值為，則；；；.所以的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為.【小問3詳解】由于甲班數(shù)據(jù)波動(dòng)性更大，所以有.19.【答案】（1）（2）（i）；（ⅱ），．【分析】（1）選條件①和條件②：可得到，，根據(jù)條件②得到，又根據(jù)條件①即可得到，進(jìn)而即可求得函數(shù)解析式；選條件①和條件③：根據(jù)周期與對(duì)稱之間的關(guān)系，可得的值，結(jié)合，即可求解，選②③得到，又根據(jù)條件③即可得到，，進(jìn)而得到，或，故舍去．（2）（i）根據(jù)（1）及題意可得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得其單調(diào)增區(qū)間；（ⅱ）根據(jù)（i）中，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)在區(qū)間的最大值和最小值．【小問1詳解】選條件①和條件②：則，即，，由，得，又，得；由，，即，，解得，，又，，則，所以函數(shù)解析式為．選條件①和條件③：由題意可知和點(diǎn)分別為在一個(gè)周期內(nèi)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，若和點(diǎn)是相鄰的，則，解得，不符合，舍去，若和點(diǎn)不是相鄰的，則，解得，不符合，舍去，故選條件①和條件③時(shí)，不存在，選條件②和條件③：則，即，，由，得，又，得，由，即，，解得，，又，，則，或，所以函數(shù)不能唯一確定，故舍去．【小問2詳解】（i）由（1）可知，且，則函數(shù)，令，，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值．由（i）得，由，則，所以，所以的最大值為，最小值為．20