2025年大學《物理學》專業(yè)題庫——物理學中的電子奇異角動量研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.在量子力學中，描述電子自旋角動量的算符S2和z分量算符S_z具有確定的本征值。若一個電子處于S2的本征態(tài)|s,m_s?，其中m_s=±?，則其S_z的本征值可能是什么？請寫出相應的關(guān)系式。2.定義自旋量子數(shù)為s的粒子體系，其總角動量算符J2與J_z的對易關(guān)系是什么？請說明J2與J_z是否具有共同的本征態(tài)。3.一個自旋量子數(shù)為?的粒子和一個軌道角動量量子數(shù)為l的粒子（l≥0）組成一個復合系統(tǒng)。請寫出該復合系統(tǒng)的總角動量量子數(shù)J的可能取值范圍，并說明理由。二、4.在量子力學中，Winger-Eisenbudg算符P和G被定義為：P=(σ·L-σ·S)，G=(σ·L+σ·S)，其中σ是泡利矩陣，L和S分別是軌道角動量和自旋角動量算符。請證明P2=G2=1，并且P和G是厄米算符（或自伴算符）。5.設(shè)一個電子處于自旋軌道耦合修正后的量子態(tài)，其奇異角動量h分量的算符為?h=Gz。請說明當電子處于l=1,s=?的態(tài)時，其h分量的可能本征值有哪些？并寫出相應的選擇定則，說明在電偶極躍遷中，該態(tài)的能級能否躍遷到l'=0的態(tài)？三、6.考慮一個由一個自旋量子數(shù)為s的粒子和一個軌道角動量量子數(shù)為l的粒子組成的系統(tǒng)。試用角動量加法的方法，推導出系統(tǒng)總角動量量子數(shù)J的可能取值范圍。在J=l+s的情況下，描述態(tài)的對稱性（交換對稱或反對稱）。7.在描述具有自旋和軌道角動量的粒子的波函數(shù)時，需要考慮自旋軌道耦合。設(shè)一個電子的波函數(shù)為ψ(r,θ,φ,σ)，其中r,θ,φ是球坐標，σ是自旋變量。請說明在自旋軌道耦合作用下，波函數(shù)的變換性質(zhì)，并解釋為何引入Winger-Eisenbudg算符P和G是必要的。8.一個電子處于l=1,s=?的態(tài)，該態(tài)經(jīng)過自旋軌道耦合修正后，可以表示為|l,s,m_l,m_s?和|l,s,-m_l,-m_s?的線性組合。請寫出這個線性組合的具體形式（用m_l和m_s表示系數(shù)），并說明這個組合態(tài)的奇異角動量h分量的取值。四、9.在研究某些原子或分子的光譜時，自旋軌道耦合效應不可忽略。假設(shè)一個原子中的電子處于n=3,l=2,s=?的態(tài)。請計算該電子的總角動量量子數(shù)J的可能取值，并列出相應態(tài)的宇稱（+1或-1）。10.Winger-Eisenbudg算符G在量子力學中還有什么其他的應用或意義？請結(jié)合奇異角動量的概念進行簡要說明。試卷答案一、1.S_z的本征值為?m_s。關(guān)系式為S2|s,m_s?=?2s(s+1)|s,m_s?，S_z|s,m_s?=?m_s|s,m_s?。2.[J2,J_z]=0。是的，J2與J_z具有共同的本征態(tài)。3.J的可能取值為|l-s|,|l-s|+1,...,l+s。理由：根據(jù)角動量加法規(guī)則，總角動量量子數(shù)J的取值范圍為|l-s|到l+s，以整數(shù)為步長。二、4.證明P2=G2=1：P2=(σ·L-σ·S)2=σ·L2-σ·L·S-σ·S·L+σ·S2=σ·L2-σ·S2+σ·S2=σ·(L2+S2)=σ·(?2l(l+1)+?2s(s+1))=?2(l(l+1)+s(s+1))=?2(s(s+1)+l(l+1))=1。同理可證G2=1。證明P和G是厄米算符：P?=(σ·L-σ·S)?=(L·σ-S·σ)=P，G?=(σ·L+σ·S)?=(L·σ+S·σ)=G。5.h分量的可能本征值為±1。選擇定則Δm=±1,±2,±3,...,±|l-s|。能級能否躍遷取決于Δm是否為0。對于l'=0，Δl=l-l'=l。由于Δm必須是Δl的整數(shù)倍，即Δm=±k(l)，k為整數(shù)。若l=1，則Δm只能是0,±1,±2。因此，l=1,s=?的態(tài)可以躍遷到l'=0的態(tài)（當Δm=0時，對應從m_s=+?到m_s=-?的躍遷）。三、6.J的可能取值范圍：|l-s|,|l-s|+1,...,l+s。推導方法：將軌道角動量算符L和自旋角動量算符S視為兩個獨立的角動量，利用角動量加法的規(guī)則，J的取值在L和S的量子數(shù)之和與差之間，以整數(shù)為步長。描述對稱性：在J=l+s的情況下，態(tài)的對稱性由自旋部分的對稱性決定。由于自旋部分是s=?的態(tài)，其對稱性為反對稱（交換兩個粒子時波函數(shù)變號）。因此，總態(tài)是反對稱的。7.變換性質(zhì)：在交換兩個粒子的坐標（包括位置和自旋）時，波函數(shù)ψ(r?,θ?,φ?,σ?;r?,θ?,φ?,σ?)的變換為ψ(r?,θ?,φ?,σ?;r?,θ?,φ?,σ?)。引入P和G的必要性：為了描述自旋軌道耦合效應導致的額外對稱性（h分量），需要引入P和G算符來標記態(tài)的交換對稱性。它們將態(tài)空間分解為對應于不同宇稱和h分量的子空間。8.線性組合形式為√(1/2)[|l,s,m_l,??+|l,s,-m_l,-??]。奇異角動量h分量的取值為±1。四、9.J的可能取值：3/2和5/2。宇稱：對于n=3,l=2,s=?的態(tài)，軌道部分宇稱為(-1)^(l+1)=(-1)3=-1。自旋部分宇稱為(-1)^(s+1)=(-1)?(宇稱無定義，但通?？紤]自旋對稱性對總宇稱的貢獻為+1)?？傆罘Q近似為軌道宇稱。J=3/2的態(tài)宇