第1頁(yè)/共1頁(yè)湖南省永州市高級(jí)中學(xué)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試模擬卷一、單選題（每題5分，共40分）1.已知集合，且，則a=（）A.1 B.-1 C.±1 D.02.若S是由“我和我祖國(guó)”中的所有字組成的集合，則S中元素個(gè)數(shù)是（）A.4 B.5 C.6 D.73.若集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，則一定不是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形4.方程組的解集是（）A. B. C. D.5.由實(shí)數(shù)，，，，所組成的集合，最多含元素個(gè)數(shù)為（）A2 B.3 C.4 D.56.下列四個(gè)集合中，是空集的是（）A. B.，且C. D.7.集合，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.8.設(shè)集合，，則集合是A. B. C. D.二、多選題（每小題6分，選對(duì)部分得部分分，共18分）9.下列說法中不正確的是（）A.與表示同一個(gè)集合B.集合＝與＝表示同一個(gè)集合C.方程＝的所有解的集合可表示為D.集合不能用列舉法表示10.(多選題)大于4的所有奇數(shù)構(gòu)成的集合可用描述法表示為（）A.{x|x＝2k－1，k∈N} B.{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}C.{x|x＝2k＋3，k∈N} D.{x|x＝2k＋5，k∈N}11.（多選）給出下列關(guān)系中正確的有（）A B. C. D.三、填空題（每題5分，共15分）12.設(shè)集合，則用列舉法表示集合為______．13.已知集合，若，則方程解為__________.14.方程組的解集中元素的個(gè)數(shù)為_________.四、解答題（共77分）15.用列舉法表示下列集合：（1）；（2）；（3）.16.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求a，b的值；（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義法證明．17.已知是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，恒有.（1）求的值；（2）證明：為偶函數(shù)；（3）若在上單調(diào)遞增，求不等式的解集.18.函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)，并確定函數(shù)的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（3）求的值域．19.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)，，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

湖南省永州市高級(jí)中學(xué)2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試模擬卷一、單選題（每題5分，共40分）1已知集合，且，則a=（）A.1 B.-1 C.±1 D.0【答案】B【解析】【分析】代入求值，再由集合的互異性驗(yàn)證即可求解.【詳解】由題意可得或，解得或，當(dāng)時(shí)，，不滿足集合的互異性，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故選：B2.若S是由“我和我的祖國(guó)”中的所有字組成的集合，則S中元素個(gè)數(shù)是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】?jī)蓚€(gè)”我”字只算一個(gè).【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性,可得S中元素個(gè)數(shù)是5.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合中元素的互異性,屬于基礎(chǔ)題.3.若集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，則一定不是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合中元素的互異性可得答案.【詳解】根據(jù)集合元素的互異性，在集合中，必有，故一定不是等腰三角形；故選：D.4.方程組的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用代入法和消元法即可求解.【詳解】，兩式相加可得，所以，將代入可得，所以，所以方程組的解集是，故選：D5.由實(shí)數(shù)，，，，所組成的集合，最多含元素個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)根式，再按x值的正負(fù)0，分類討論即可判斷作答.【詳解】顯然，，當(dāng)時(shí)，集合中有1個(gè)元素0；當(dāng)時(shí)，，集合中有2個(gè)元素，；當(dāng)時(shí)，，集合中有2個(gè)元素，，所以集合中最多含2個(gè)元素.故選：A6.下列四個(gè)集合中，是空集的是（）A. B.，且C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空集的定義判斷．【詳解】A中有元素0，B中集合沒有任何元素，為空集，C中有元素1，D中集合，大于4的實(shí)數(shù)都是其中的元素．故選：B．7.集合，若，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，列出不等式，解出即可.【詳解】∵，，∴，所以故選：C.8.設(shè)集合，，則集合是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】解方程得到集合；根據(jù)，即可求出集合.【詳解】解方程得或，因?yàn)?，所以或，因此，或，故，，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、多選題（每小題6分，選對(duì)部分得部分分，共18分）9.下列說法中不正確的是（）A.與表示同一個(gè)集合B.集合＝與＝表示同一個(gè)集合C.方程＝的所有解的集合可表示為D.集合不能用列舉法表示【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)集合的概念，以及元素與集合的關(guān)系，以及元素的特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，是一個(gè)元素（數(shù)），而是一個(gè)集合，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，集合＝表示數(shù)構(gòu)成的集合，集合＝表示點(diǎn)集，所以B不正確；對(duì)于C中，方程＝的所有解的集合可表示為，根據(jù)集合元素的互異性，可得方程＝的所有解的集合可表示為，所以C不正確；對(duì)于D中，集合含有無(wú)窮個(gè)元素，不能用列舉法表示，所以D正確.故選：ABC.10.(多選題)大于4的所有奇數(shù)構(gòu)成的集合可用描述法表示為（）A.{x|x＝2k－1，k∈N} B.{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}C.{x|x＝2k＋3，k∈N} D.{x|x＝2k＋5，k∈N}【答案】BD【解析】【分析】用列舉法把四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的集合表示出來(lái)，即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A：對(duì)于B：對(duì)于C：對(duì)于D：故選：BD11.（多選）給出下列關(guān)系中正確的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系即得.【詳解】因?yàn)?，，，，所以AD正確.故選：AD.三、填空題（每題5分，共15分）12.設(shè)集合，則用列舉法表示集合為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，則，對(duì)代入檢驗(yàn)，注意集合的元素為坐標(biāo)．【詳解】∵，則可得，則又∵，則當(dāng)成立，當(dāng)成立，∴故答案為：．13.已知集合，若，則方程的解為__________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，是方程的根，解得.方程等價(jià)變形為，解得，即可.【詳解】是方程的根，即，解得.又方程，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系以及實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，屬于較易題.14.方程組的解集中元素的個(gè)數(shù)為_________.【答案】2【解析】【分析】先求出，再代入求即可求解【詳解】解方程得，，當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，所以，；所以方程組的解為或，有2組解故答案為：2四、解答題（共77分）15.用列舉法表示下列集合：（1）；（2）；（3）.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】(1)解方程即可；(2)根據(jù)求解；.(3)接方程即可；【詳解】(1)由得，,因此.(2)由，且，,得，因此.(3)由得，.因此.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法以及一元二次方程的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求a，b的值；（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義法證明．【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)，得到，結(jié)合，求出a，b的值；（2）取點(diǎn)，作差，判號(hào)，下結(jié)論，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.小問1詳解】∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴由，得．又∵，∴，解之得；所以函數(shù)的解析式為：，a=2，b=0；【小問2詳解】在上單調(diào)遞增，理由如下：設(shè)，則∵，∴，即，所以在上單調(diào)遞增．17.已知是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，恒有.（1）求的值；（2）證明：為偶函數(shù)；（3）若在上單調(diào)遞增，求不等式的解集.【答案】（1），（2）證明見解析（3）或，【解析】【分析】（1）令以及即可求解，（2）令，即可根據(jù)偶函數(shù)的定義求解，（3）先得出，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解.【小問1詳解】令得：，故，令得：，故.【小問2詳解】因?yàn)槭嵌x在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，令，故，為偶函數(shù)；【小問3詳解】在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，故在上是減函數(shù)，由于，則，故，且，解得且，故不等式的解集為或.18.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)，并確定函數(shù)的解析式；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（3）求的值域．【答案】（1），（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)是奇函數(shù)求出，求出可得答案；（2）利用單調(diào)性的定義證明即可；（3）利用基本不等式可得答案．【小問1詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，可得，且時(shí)，滿足，所以，；【小問2詳解】在上單調(diào)遞增，證明如下，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，可得，所以，所以在上是單調(diào)遞增；【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，且所以，即的值域?yàn)椋?9.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)，，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取