專題4.3三角恒等變換（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式】.................................................................................................................4

【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】.........................................................................................5

【題型3輔助角公式的運(yùn)用】.................................................................................................................................7

【題型4二倍角公式及其應(yīng)用】.............................................................................................................................9

【題型5三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)】...............................................................................................................................10

【題型6給角求值型問(wèn)題】...................................................................................................................................11

【題型7給值求值型問(wèn)題】...................................................................................................................................12

【題型8給值求角型問(wèn)題】...................................................................................................................................14

【題型9半角公式、萬(wàn)能公式及應(yīng)用】...............................................................................................................17

【題型10三角恒等變換的綜合應(yīng)用】.................................................................................................................19

1、三角恒等變換

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

三角恒等變換是三角函數(shù)的重

(1)會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式要工具，是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)、重點(diǎn)

(2)會(huì)用兩角差的余弦公式推內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，主

2023年新課標(biāo)I卷：第8題，5分

導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式要考察三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值、三角

2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：第7題，5分

(3)掌握兩角和與差的正弦、余函數(shù)的變換等內(nèi)容，一般以單選題、

2024年新課標(biāo)I卷：第4題，5分

弦、正切公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用多選題、填空題的形式出現(xiàn)，試題

2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第13題，5分

(4)能運(yùn)用兩角和與差的正弦、難度中等或偏下；但在有關(guān)三角函

2025年全國(guó)一卷：第11題，6分

余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的數(shù)的解答題中有時(shí)也會(huì)涉及到三角

2025年全國(guó)二卷：第8題，5分

正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)恒等變換、合并化簡(jiǎn)，此時(shí)試題難

行簡(jiǎn)單的恒等變換度中等，復(fù)習(xí)時(shí)需要同學(xué)熟練運(yùn)用

公式，靈活變換.

知識(shí)點(diǎn)1三角恒等變換思想

1．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式

(1)角的代換

代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問(wèn)題時(shí)，角的代換作用尤為

突出.

常用的角的代換形式：

①α=(α+β)-β；

②α=β-(β-α)；

③；

④；

⑤；

⑥.

(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中要

特別注意的是“1”的代換.

(3)輔助角公式

通過(guò)應(yīng)用公式[或?qū)⑿稳鏰sinα

+bcosα(a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個(gè)三角函數(shù)[或].這

種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個(gè)三角函數(shù)，這種恒等變換稱

為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.

知識(shí)點(diǎn)2二倍角公式

1．二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函數(shù)公式β=α簡(jiǎn)記符號(hào)

正弦sin2α=2sinαcosαS(α+β)S2α

2222

余弦cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinαC(α+β)C2α

正切T(α+β)T2α

2．二倍角公式的變形應(yīng)用

(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方變形

.

(3)因式分解變形

.

(4)升冪公式

；.

知識(shí)點(diǎn)3三角恒等變換的應(yīng)用技巧

1．兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用技巧

(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.

(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.

2．兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形

運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如

和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓

展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

3．輔助角公式的運(yùn)用技巧

對(duì)asinx+bcosx化簡(jiǎn)時(shí)，輔助角的值如何求要清楚.

4．角的變換問(wèn)題的解題策略：

(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)"已知角"的和或差的形式；

(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所

求角”變成“已知角”.

(3)常見的角變換：，，，

，等.

知識(shí)點(diǎn)4三角恒等變換幾類問(wèn)題的解題策略

1．給值求值問(wèn)題的解題思路

給值求值問(wèn)題一般是將待求式子化簡(jiǎn)整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相

應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.

2．給角求值問(wèn)題的解題思路

給角求值問(wèn)題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間

總有一定的關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得

解.

3．給值求角問(wèn)題的解題思路

給值求角問(wèn)題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.

4．三角恒等變換的綜合應(yīng)用的解題策略

三角恒等變換的綜合應(yīng)用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過(guò)變換把函數(shù)化為

f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解

決相關(guān)問(wèn)題.

【方法技巧與總結(jié)】

1．.

2．降冪公式：，.

3．，，.

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式】

【例1】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）

11

cos?+?=3,cos?cos?=2cos???=

A．B．C．D．

2211

3?33?3

【答案】A

【解題思路】根據(jù)和差角的余弦公式即可求解.

【解答過(guò)程】

11111

∵cos?+?=cos?cos??sin?sin?=3,cos?cos?=2,∴sin?sin?=2?3=6,

.

112

∴cos???=cos?cos?+sin?sin?=2+6=3

故選：A.

【變式1-1】（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則

4

（）sin(?+?)=2cos(???)tan?+tan?=3tan??tan?=

A．3B．C．D．

11

?33?3

【答案】D

【解題思路】利用兩角和差公式可得，結(jié)合題意即可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)?，則tan?+tan?，=2+2tan，?tan?

4

又因?yàn)閠an?+tan?=3，cos?≠0cos?≠0

則sin(?+?)=2cos(???)①，

等式sin①?的co兩s?邊+同co時(shí)s?除si以n?=2cos?cos?+2sin?sin?

cos?cos?

可得，解得.

41

tan?+tan?=2+2tan?tan?=3tan?tan?=?3

故選：D.

【變式1-2】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知（），則（）

π32πππ

sin?+6=3?3≤?≤3sin?+3=

A．B．C．D．

3?63+663

6633

【答案】B

【解題思路】通過(guò)及兩角和的正弦公式即可求解.

πππ

?+3=?+6+6

【解答過(guò)程】由可得，

2πππππ

?3≤?≤3?2≤?+6≤2

又，則，

π3π6

sin?+6=3cos?+6=3

故

πππππππ

sin?+3=sin?+6+6=sin?+6cos6+cos?+6sin6

.

33613+6

故=選3：×B2.+3×2=6

【變式1-3】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（）

A．B．sin?C．+?=2sin?sin?taDn．?tan?=?2tan?+?=

44

?33?22

【答案】A

【解題思路】根據(jù)兩角和的正弦公式和同角的商數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而，結(jié)合兩角

tan?+tan?

tan?tan?=2tan?+tan?=?4

和的正切關(guān)系計(jì)算即可求解.

【解答過(guò)程】由，得，

等式兩邊同時(shí)除s以in(?+?)=，2得sin?sin?sin，?cos?+sin?cos?=2sin?sin?

11

sin?sin?tan?+tan?=2

即，又，所以，

tan?+tan?

tan?tan?=2tan?tan?=?2tan?+tan?=?4

所以.

tan?+tan?4

tan(?+?)=1?tan?tan?=?3

故選：A.

【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】

【例2】（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）下列選項(xiàng)中，值為的是（）

A．B．3

4sin15°cos15°2cos46°cos16°?sin46°sin16°

C．D．

1+tan15°

1?tan15°8cos10°cos20°cos40°

【答案】C

【解題思路】應(yīng)用二倍角公式、和角公式及特殊角的三角函數(shù)值，把各項(xiàng)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，

判斷結(jié)果.

【解答過(guò)程】A、利用二倍角公式，

sin2?=2sin?cos?

可得：，A錯(cuò)誤.

°°°°°1

4sin15cos15=2?2sin15cos15=2sin30=2?2=1

B、利用余弦和角公式，

得：cos?+?=cos?cos??sin?sin?因此原式為：

°°°°°°°

cos46cos16?sin46sin16=，coBs錯(cuò)46誤.+16=cos62

°

C2c、os利62用正≈切2?和0.角49公65式=0.939≠3，令，

tan?+tan?°°

tan?+?=1?tan?tan??=45,?=15

則，正確

°C.

1+tan15

°°°°

tan45+15=tan60=3=1?tan15

、利用遞推積化和差公式，結(jié)合，得：

D°°

sin80cos10

°°°°°

sin8?=8sin?cos?cos2?cos4?8cos10cos20cos40=sin10=sin10≈

.

D5.6錯(cuò)71誤≠.3

故選：C.

【變式2-1】（2025·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）（）

sin160°cos10°+cos20°cos80°=

A．B．C．D．

3311

【答案】C2?22?2

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及和角的正弦求解.

【解答過(guò)程】.

1

sin160°cos10°+cos20°cos80°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=2

故選：C.

【變式2-2】（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則（）

ππ1

?∈0,2,?∈0,2tan?+tan?=cos?

A．B．

ππ

2???=22?+?=2

C．D．

ππ

2???=22?+?=2

【答案】D

【解題思路】化切為弦，逆用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得，根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)

sin?+?=cos?

得或，即可得解.

ππ

?+?=2???+?+2??=π

【解答過(guò)程】因?yàn)?，所以?/p>

1sin?1?sin?

即tan?+tan?=，c整os?理得cos?=cos?，

即sin?cos?=cos??sin?c，os所?以sin?+或?=cos?，

πππ

sin?+?=sin2???+?=2???+?+2??=π

即或（舍去）.

ππ

2?+?=2?=2

故選：D.

【變式2-3】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：（）

tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=

A．B．1C．D．

323

【答案】D333

【解題思路】根據(jù)兩角和的正切公式化簡(jiǎn)即可．

【解答過(guò)程】因?yàn)椋?/p>

tan20°+tan40°

所以tan60°=tan20°+40°=1?，tan20°tan40°=3

所以tan20°+tan40°=31?tan20°tan40°

tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=31?，tan20°tan40°+3tan20°tan40°

=故選3：?D．3tan20°?tan40°+3tan20°tan40°=3

【題型3輔助角公式的運(yùn)用】

【例3】（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小正周期為（）

2?

??=2sin??4+3cos2?

A．B．C．D．

4π2

2π3π3π

【答案】C

【解題思路】由余弦二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，再由周期公式即可求解.

【解答過(guò)程】

2ππ

??=2sin??4+3cos2?=1?cos2??2+3cos2?=1?sin2?+3cos2?

，

312?

=22c，os2??2s，in2?+1=2sin2?+3+1

∴故?選=：2C．∴?=π

【變式3-1】（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）

π

3cos??sin?=1cos2?+3=

A．B．C．D．

3113

【答案】B?2?222

【解題思路】利用輔助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式

π1ππ

cos?+6=2cos2?+3=cos2?+6

即可求解.

【解答過(guò)程】由得，

ππ1

3cos??sin?=12cos?+6=1?cos?+6=2

又因?yàn)椋?/p>

2

ππ2π11

故選：Bc.os2?+3=cos2?+6=2cos?+6?1=2×2?1=?2

【變式3-2】（2025·廣東湛江·二模）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)取得最大值時(shí)，

（）?(?)=3sin?+2cos?[0,?]?

cos?=

A．B．C．D．

313213313213

【答案】D?13?131313

【解題思路】根輔助角公式和正弦函數(shù)最值求解即可.

【解答過(guò)程】，

?(?)=3sin?+2cos?=13sin(?+?)

其中,且為銳角，

213313

因?yàn)閟in?在=13上>單0,調(diào)co遞s?增=，且13>0?，

所以?(?)[0,?]，則的最?大+值?為∈?,?，+?

ππ

?,?+??0,2?2??

此時(shí)．

π213

故選：coDs?.=cos2??=sin?=13

【變式3-3】（2025·山東濟(jì)寧·一模）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為和，

則（）?(?)=2sin?+cos??3,?∈(0,π)?1?2

12

coAs．(???)=B．C．D．

2112

?5?555

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用函數(shù)零點(diǎn)的意義及正弦函數(shù)的性質(zhì)求得

π

?(?)?=2?

，進(jìn)而求出，最后利用二倍角的余弦求值.

?1+?2?1??2

2cos2

【解答過(guò)程】函數(shù)，其中銳角由確定，

1

?(?)=2sin?+cos??3=5sin(?+?)?3?tan?=2

由，得，而，

3

?(?1)=?(?2)=0sin(?1+?)=sin(?2+?)=5?1,?2∈(?,π+?)

因此，即，則，

π?1+?2π?1+?23

?1+?+?2+?=π?=2?2sin(?1+2?2)=5

即，于是，

π?1??23?1??23

sin(2?2)=5cos2=5

所以.

2?1??21

cos(?1??2)=2cos2?1=5

故選：C.

【題型4二倍角公式及其應(yīng)用】

【例4】（2025·甘肅白銀·一模）已知，則（）

π1π

cos??6=3sin2?+6=

A．B．C．D．

2277

3?39?9

【答案】D

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式求解即可.

【解答過(guò)程】.

πππππ2π

sin2?+6=cos2?2?+6=cos3?2?=cos2??3=2cos??6?1

.

127

故=選2×：D3.?1=?9

【變式4-1】（2025·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）

π211π

sin??24=3cos2?+12=

A．B．C．D．

5757

?9?999

【答案】A

【解題思路】由，利用二倍角的余弦公式即可求解.

11πππ

cos2?+12=cos2??24+π=?cos2??24

【解答過(guò)程】由，

11πππ2π5

cos2?+12=cos2??24+π=?cos2??24=?1+2sin??24=?9

故選：A.

【變式4-2】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）若，且，則（）

π

?∈2,π51+cos2??10sin2?=3tan2?=

A．B．C．D．

177

?732425

【答案】C

【解題思路】利用二倍角公式對(duì)已知條件進(jìn)行化解，結(jié)合齊次式可求，然后根據(jù)正切的二倍角公式可求

.tan?

【ta解n2答?過(guò)程】

（∵）51+cos2??1，0sin2?=3

1323

∴21+cos2??sin2?=10∴cos??2sin?cos?=10

1?2tan?3

22

∴1+tan?=10?3tan?+20tan??7=0

（）

舍.

12tan?2×?77

22

31?tan?1?(?7)24

故∴t選an：?C=.,tan?=?7∴tan2?===

【變式4-3】（2025·山西·三模）已知，，則（）

ππ

?∈?2,2sin2?=cos?cos2?=

A．B．C．D．1

13

【答案】A233

【解題思路】由二倍角公式可得，據(jù)此可得答案.

π

?=6

【解答過(guò)程】由，故，.

1ππ1

sin2?=cos??sin?=2?=6cos2?=cos3=2

故選：A．

【題型5三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)】

【例5】（2025·江西·一模）化簡(jiǎn)（）

A．B．tan35°+tan1C0．0°1+tan35°tan80°=D．

【答案】Dtan65°?tan65°?1

【解題思路】利用兩角和的正切公式結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)原式，求出結(jié)果即可.

【解答過(guò)程】由兩角和的正切公式得

tan35°+tan100°=tan(100°+35°)1?tan35°tan100°

=由誘tan導(dǎo)13公5式°1得?tan35°tan100°=?1×1?tan35°tan，100°=tan35°tan100°?1

則原式可化為tan80°=tan(180°?100°)=?tan100°，故D正確.

故選：D.tan35°tan100°?1?tan35°tan100°=?1

【變式】（河北模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)：（）

5-12025··°

cos40

°

A．B．1+sCin．40=D．

°°°°

【答案】Atan25sin25tan65sin65

【解題思路】利用二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系弦化切，及兩角差的正切公式和即可求解.

°

【解答過(guò)程】1=tan45

°2°2°°°°°°.

cos40cos20?sin20cos20?sin201?tan20tan45?tan20°

°°°2°°°°°

1+sin40=sin20+cos20=sin20+cos20=1+tan20=1+tan45?tan20=tan25

故選：A.

【變式】（安徽六安模擬預(yù)測(cè)）（）

5-22025··°°

sin50+sin70

°

sin80=

A．B．C．D．

23321

【答案】B

【解題思路】利用兩角和與差的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】

°°°°°°

sin50+sin70sin60?10+sin60+10

°°°

sin80=sin90?10

°°°°°°°°.

sin60cos10?cos60sin10+sin60cos10+cos60sin10

°°

=cos10=2sin60=3

故選：B.

【變式】（河北滄州二模）化簡(jiǎn)（）

5-32025··°°°

cos20?sin30cos40

°°

sin40cos60=

A．1B．C．2D．

23

【答案】B33

【解題思路】將式中的非特殊角通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥饨呛徒羌纯蛇M(jìn)行化簡(jiǎn).

【解答過(guò)程】40°

°°°°°°°°°.

cos20?sin30cos40cos60?40?sin30cos40sin60sin40

°°°°°°°

sin40cos60sin40cos60sin40cos60

故選：B.===tan60=3

【題型6給角求值型問(wèn)題】

【例】（高三上重慶沙坪壩階段練習(xí)）求值：（）

624-25··°

1?3tan10

°

1?cos20=

A．1B．C．D．

【答案】D2322

【解題思路】先化切為弦將轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)二倍角的正弦和余弦公式、輔助角公式以及誘導(dǎo)公

sin10°

tan10°cos10°

式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.

【解答過(guò)程】原式sin10°

1?3cos10°cos10°?3sin10°

2

=2sin10°=2sin10°cos10°，

2cos10°+60°22cos70°22cos90°?20°22sin20°

2

=sin20°=sin20°=sin20°=sin20°=22

故選：2D.

【變式6-1】（2025·廣東汕頭·二模）若，則實(shí)數(shù)的值為（）

°°

?sin160+tan20=3?

A．B．C．D．

43

【答案】A443233

【解題思路】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得的值.

【解答過(guò)程】由已知可得?

°°°°°°°

3?tan203cos20?sin202sin60cos20?cos60sin20

°°°°1°

?=sin180?20=sin20cos20=2sin40

°.

4sin40

°

sin40=4

故=選：A.

【變式】（高一上廣東茂名期末）的值為（）

6-224-25··°°

sin110cos250

2°2°

cos25?sin155

A．B．C．D．

1133

【答案】A?222?2

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及倍角公式求解即可.

【解答過(guò)程】原式11

°°°°.

?sin70cos702sin1402sin401

2°2°°°

故選：A.=cos25?sin25=?cos50=?sin40=?2

【變式】（重慶模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）

6-32025··°2°2°

2sin183cos9?sin9?1

°°

cos6+3sin6

A．B．C．D．

1°

212sin92

【答案】B

【解題思路】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡(jiǎn)所求代數(shù)式.

【解答過(guò)程】原式

°2°2°2°2°

2sin183cos9?sin9?cos9?sin9

°°

=2sin6+30

°2°2°°°°.

2sin182cos9?2sin92sin18cos18sin36

°°°

故=選：B.2sin36=sin36=sin36=1

【題型7給值求值型問(wèn)題】

【例7】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則的值