重難點(diǎn)08導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題（舉一反三專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）

【全國(guó)通用】

【題型1同構(gòu)：利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)】...............................................................................................................2

【題型2同構(gòu)：利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)】..............................................................................................................4

【題型3同構(gòu)：利用f(x)與sinx，cosx構(gòu)造函數(shù)】...............................................................................................7

【題型4指對(duì)同構(gòu)問(wèn)題】.......................................................................................................................................10

【題型5同構(gòu)應(yīng)用——比較大小】.......................................................................................................................13

【題型6同構(gòu)應(yīng)用——解決不等式恒成立問(wèn)題】...............................................................................................16

【題型7同構(gòu)應(yīng)用——證明不等式】...................................................................................................................19

【題型8與零點(diǎn)有關(guān)的同構(gòu)問(wèn)題】.......................................................................................................................24

1、導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的

高考情況來(lái)看，導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)也在解答題中出現(xiàn)，通過(guò)已知等式

或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成立等問(wèn)題，難度較大，復(fù)習(xí)是要加強(qiáng)

這方面的訓(xùn)練.

知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題的解題策略

1．導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問(wèn)題是通過(guò)已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，解決比較大小、解不等式、恒成

立等問(wèn)題，主要有以下幾種類(lèi)型：

(1)利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)

①出現(xiàn)nf(x)+xf'(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x).

②出現(xiàn)xf'(x)-nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù).

(2)利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù).

(3)利用f(x)與sinx，cosx構(gòu)造函數(shù).

2．同構(gòu)式的應(yīng)用

(1)在方程中的應(yīng)用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則a,b可視為方程f(x)=0的兩個(gè)根.

(2)在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而利用導(dǎo)

數(shù)找到和函數(shù)單調(diào)性、最值等之間的練習(xí)，來(lái)解決比較大小、解不等式、恒成立等問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)2指對(duì)同構(gòu)問(wèn)題

1．指對(duì)同構(gòu)解決不等式問(wèn)題

在解決指對(duì)混合不等式時(shí)，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性

構(gòu)造出來(lái)的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型(即不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù))，無(wú)疑大大加快解決問(wèn)題的速度.

找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們稱(chēng)為同構(gòu)法.

(1)五個(gè)常見(jiàn)變形：

.

(2)三種基本模式：

三種同構(gòu)方式

①積型：

②商型：

③和差型：

【題型1同構(gòu)：利用f(x)與x構(gòu)造函數(shù)】

【例1】（2025·江西南昌·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)任意，，

′

則不等式的解集是?（(?)）R?2=?1?∈??(?)+??(?)<0

A．?+1??+1B．>?2C．D．

【答案】A?∞,1?∞,21,+∞2,+∞

【解題思路】設(shè)，由恒成立，在上單調(diào)遞減，由

′′

可得??=??，?由單?調(diào)(?性)=解不?(等?)式+即??可(?.)<0?(?)R?+1??+1>

【?解2答過(guò)程?(】?設(shè)+1)>g(2)，則，

對(duì)任意，??=????，2=2?(2)=?2恒成立，即在上單調(diào)遞減，

′′′

∵?∈??(?)+??(?)<0∴?(?)=?(?)+??(?)<0?(?)R

由可得，，解得，即解集為.

故選?：+A1.??+1>?2?(?+1)>g(2)∴?+1<2?<1?∞,1

【變式1-1】（2025·吉林·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足，

′′

則不等式??的解集為（?∞）,0??????2??>0

2

A．??+2024??+2024??1<0B．

C．?2025,?2024D．?2024,0

【答案】A?∞,?2024?∞,?2025

【解題思路】令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞減，由已知可得，可得

????+2024??1

222

??=????∞,0?+2024<(?1)??+

，可得不等式的解集.

【2解02答4過(guò)<程?】?由1題意知，當(dāng)時(shí)，，

′

令，則?∈?∞,0????2?，?>0

2′′

??????2???????2??

2′43

所以??=在??上?單=調(diào)遞減?，=?<0

不等式???∞,0等價(jià)于，

??+2024??1

222

??+2024?(?+2024)??1<0?+2024<(?1)

即為，所以，解得.

?+2024>?1

??+2024<??1?2025<?<?2024

故選：A.?+2024<0

【變式1-2】（24-25高二下·廣東潮州·階段練習(xí)）已知是偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，.若

'

時(shí)，，則使得不等式???成?立?的∈?的取值范圍是?（1=）1?≥0

'

A?．?+???>0??20B25．????2025>1?

C．2026,+∞D(zhuǎn)．?∞,?2026∪2026,+∞

【答案】A2025,+∞?∞,?2025∪2025,+∞

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，則由條件可知的單調(diào)性、奇偶性以及，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為求解不等式??=???.???1=1

【解答過(guò)程】令???2025>，?則1，

''

則當(dāng)時(shí)，??=??，?即?單?調(diào)遞=增?，?+???

'

因?≥為0偶函數(shù)?，?則>0??，則，

即??為奇函數(shù)，??=?????+???=????????=0

則??在上單調(diào)遞增，

因??R，則，

?1=1?1=1

則可轉(zhuǎn)化為，

則??2025??，?即?2025>，1???2025>?1

故不??等2式02的5解>集1為?>2026.

故選：A.2026,+∞

【變式1-3】（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知為定義在上的偶函數(shù)，已

知，當(dāng)時(shí)，有，則使??成立的的?取∞,值0范∪圍0為,+（∞）

′

?A1．=0?>02??????>B0．??>0?

C．?∞,?1∪0,1D．?1,0∪1,+∞

【答案】D?∞,?1∪1,+∞?1,0∪0,1

【解題思路】令，其中，分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，由可

??

2

?

得出，?可?得=出?≠，0可得出關(guān)于?的?不等式，解之即可0.,+∞??>0

【解答?過(guò)?程>】0令?，?其>中?1，因?yàn)楹瘮?shù)?為定義在上的偶函數(shù)，

??

2

??=??≠0???∞,0∪0,+∞

則，所以，，

?????

22

所以??，?函=數(shù)??為偶函數(shù)?，??=??=?=??

??

當(dāng)時(shí)，，

2′′

????2???????2??

′43

?>0??=?=?<0

所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，

?1

2

??0,+∞?1=1=0

由可得，則，

??

2

??>0??=?>0??=??>0=?1

所以，，解得或，

?<1

?1<?<00<?<1

因此，使?≠0成立的的取值范圍為.

故選：D.??>0??1,0∪0,1

【題型2同構(gòu)：利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)】

【例2】（2025·四川德陽(yáng)·三模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，

′′

，則不等式??的解集?是?（）R??2?????>0

4?2?3

?4?A．?=??eB．e?ln?<??C．3D．

3333

【答案】C0,e1,ee,ee,+∞

【解題思路】根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)，求得的單調(diào)性，再利用函數(shù)對(duì)稱(chēng)性解不等式即可求得結(jié)

??

?

??=e??

果.

【解答過(guò)程】構(gòu)造函數(shù)，則；

′

???????

?′?

??=e??=e

因?yàn)椋?/p>

′

所以當(dāng)??2時(shí)?，????>0，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

′′

當(dāng)?時(shí)>，2?????，>即0??，>此0時(shí)在??2,上+單∞調(diào)遞減；

′′

又?<2?????，所<以0??<，0即???∞,；2

?4????

4?2?4???

所以?4函?數(shù)?=?圖?象e上的點(diǎn)e關(guān)=于e的?對(duì)4稱(chēng)?點(diǎn)?=??也在函數(shù)圖象上，

即函數(shù)?圖?象關(guān)于直線?,??對(duì)稱(chēng)，?=24??,??

不等式??變?形=為2，即；

?ln??3?ln??3

33ln?3

可得e?ln?<??3，?<ee<e

又?在ln?<?3上=單?調(diào)1遞增，在上單調(diào)遞減，

所以??2,+∞，解得?.∞,2

3

故選：1C<.ln?<3e<?<e

【變式2-1】（2025·四川德陽(yáng)·三模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)在定義域均為且是

′?+2

偶函數(shù)，其函數(shù)圖象為不間斷曲線且???，?則不等式???=的e解集??為+（2）

′3

??2??+??>0??ln?<e?3

A．B．C．D．

3333

【答案】C0,e1,ee,ee,+∞

【解題思路】對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合題意分析的符號(hào)，可得的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和偶函數(shù)性質(zhì)解不等

′

式即可.??????

【解答過(guò)程】因?yàn)?，則，

?+2′?+2′

??=e??+2??=e??+2+??+2

又因?yàn)椋矗?/p>

′′

且??，2??+??>0???+2+??+2>0

?+2

當(dāng)e>時(shí)0，則，可得；

′′

當(dāng)?>0時(shí)，則??+2+??+2>0，可得??>0；

′′

可知?<0在??+內(nèi)2單調(diào)+遞?增?+，2在<0內(nèi)單?調(diào)?遞<減0，且函數(shù)圖象為不間斷曲線，

若??0,+∞，即?∞,0??，

3ln??2+21+2

可得??ln?<e?3，e則?ln??2，+解2得<e?1+，2

3

?ln??2<?1?1<ln??2<1e<?<e

所以不等式的解集為.

33

故選：C.??ln?<e?3e,e

【變式】（高二下天津南開(kāi)期末）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，

2-224-25··′

′??+??

???????1>0

則，不等式的解集是（）

?ln??2

2??22

e?

?A2．??=??eB．<C．D．

2222

【答案】B0,e1,ee,ee,+∞

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)結(jié)合條件分析的單調(diào)性，由可得

?2??2

，將所求不?等?式=轉(zhuǎn)e化?為?，利用單調(diào)性?可?得答案.?2??=??e

【?解2答=過(guò)?程0】令，則?ln?<?2，

?′?′

??=e????=e??+??

因?yàn)椋?/p>

′

??+??

所以當(dāng)??1時(shí)>，0，，在上為增函數(shù)，

′′

當(dāng)?時(shí)>，1??+??，>0??，>0在??1,上+為∞減函數(shù)，

′′

因?yàn)?<1??+??，<所0以??<0???∞，,1

2??22???

所以?2??=??e，故e?，2??=??e

因?yàn)?2??=等?價(jià)?于?2=?0，等價(jià)于，

?ln??2

2ln?2

e??

所以<，故e?ln<，e即?不2等式的解集?是ln?<.?2

22

故選：0B<.ln?<21<?<e1,e

【變式】（云南楚雄一模）已知是上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的均有成立．若

2-32025··′

??

，則不等式的解?集?為（R）?∈R??+ln3>0

1??

??1A．=?1B?．?<3C．D．

【答案】B?∞,?1?∞,1?1,+∞1,+∞

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而得解

?

??=3??????<?1

【解答過(guò)程】由得．

′

??′

??+ln3>0??+??ln3>0

令，則，

?′?′

所以??=在3?上?單調(diào)遞?增?，=3ln3???+??>0

又??R，為奇函數(shù)，

??1=?1??

所以，，

則?1=1?1=3?1=3．

1???

故選??：B<.3?3??<3???<?1??<1

【題型3同構(gòu)：利用f(x)與sinx，cosx構(gòu)造函數(shù)】

【例3】（24-25高二下·重慶·階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，

′

且，當(dāng)時(shí)，??，則?關(guān)π于,0的∪不0,等π式的解集為（）??

π′

?2=00<?<π??sin????cos?<0???<0

A．B．

ππππ

?2,0∪0,2?2,0∪2,π

C．D．

ππ

?π,0∪0,2?π,0∪2,π

【答案】B

【解題思路】由題意可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合其奇偶性，即可判斷

????

sin?sin?

的正負(fù)情況，結(jié)合，即?可?求=得答案.??=

??<0

【解答過(guò)程】令，則，

′

????sin????cos?

′2

由于當(dāng)??時(shí)，=sin???=sin?，故此時(shí)，

′′

則在0<?<上π單調(diào)遞?減?，sin????cos?<0??<0

由于?函?數(shù)0,π是定義在上的奇函數(shù)，

則???π,0∪，0即,π為上的偶函數(shù)，

??????

則???在=sin(??)上=單?s調(diào)in?遞=增?，(?)???π,0∪0,π

而???，π,故0，

ππ

?2=0?2=0

故當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，

ππππ

0<?<2?2<?<0??>02<?<π?π<?<?2??<0

由可得或，解得或，

sin?>0sin?<0ππ

??<02<?<π?2<?<0

故不等式?的?解<集0為??>0，

ππ

??<0?2,0∪2,π

故選：B.

【變式3-1】（2025·重慶九龍坡·二模）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，當(dāng)

ππ′π

???2,2??0≤?<2

時(shí)，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（）

′π

??cos?+??sin?>0??>2?3?cos?

A．B．

ππππ

?3,33,2

C．D．

πππππππ

?2,?3∪3,2?3,0∪3,2

【答案】C

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)解抽象不等式.

?(?)π

?(?)=cos?,0≤?<2

【解答過(guò)程】構(gòu)造函數(shù)，

?(?)π

?(?)=cos?,0≤?<2

，

′′′

?(?)cos???(?)cos??(?)cos?+?(?)sin?

22

?(?)=cos?=cos?>0

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，

?(?)π

?(?)=cos?0,2

因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)也為偶函數(shù)，

?(?)

???(?)=cos?

且函數(shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，

?(?)π?(?)π

?(?)=cos?0,2?(?)=cos??2,0

因?yàn)?，所以?/p>

ππ

?∈?2,2cos?>0

關(guān)于x的不等式可變?yōu)棣校布矗?/p>

π???3π

π

??>2?3?cos?cos?>cos3?(?)>?(3)

所以，則π解得或，

π?>3ππππ

?(?)>?(3)ππ3<?<2?2<?<?3

22

故選:C.?<?<

【變式3-2】（24-25高二下·湖北·階段練習(xí)）奇函數(shù)定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是.當(dāng)

′

時(shí)，有，則關(guān)于x的不等?式???,0∪的0,?解集為（）??0<?<?

′?

??sin????cos?<0??<2?4sin?

A．（，π）B．

???

4??,?4∪4,?

C．D．

????

?4,0∪0,4?4,0∪4,?

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性求解不等式即可.

?(?)

?(?)=sin?

【解答過(guò)程】解：令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，

?(?)′

?(?)=sin?0<?<???sin????cos?<0

所以，當(dāng)時(shí)，，

′

?(?)sin???(?)cos?

′2

0<?<??(?)=sin?<0

所以，函數(shù)在(內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，

?(?)

?(?)=sin?0,?)

所以，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式可化為?，即，

??(?)?(4)?

?

0<?<????<2?4sin?sin?<sin4?(?)<?(4)

所以；

?

?>?>4

當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的不等式可化為?，即?

??(?)?(4)??(?)?(4)

??

??<?<00<??<????<2?4sin?sin?>sin4sin(??)>sin4

因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故?，也即

?(??)?(4)?

?

??sin(??)>sin4?(??)>?(4)

所以，即，

??

??<4?>?4

所以，．

?

?4<?<0

綜上，原不等式的解集.

??

(?4,0)∪(4,?)

故選：D．

【變式3-3】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，不

πππ

?2,2?????=???∈0,2

等式恒成立（為的導(dǎo)函數(shù)），若，，

′′1

??sin?+??cos?<0?????cos1=??1?cos2=??lne?=

，則（）

π

2?3

A．B．C．D．

【答案】C?>?>??>?>??>?>??>?>?

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，可得出，

??π

??=cos???0,2?=?1

，，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.

1ππ

?=?2?=?3??0,2???

【解答過(guò)程】由題意得函數(shù)為偶函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，

??

????=cos?

所以，

′

??′??cos?+??sin?

′2

??cos?cos?

易知當(dāng)=時(shí)，=，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．

π′π

?∈0,2??<0??0,2

因?yàn)椋瑒t，

?1

?cos1=??1=?1?=cos1=?1

由，則1，

111?21

1

?cos2=??lne=??2=?2?=cos2=?2

且π，

π?3π

π

?=2?3=cos3=?3

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，

π1ππ

??0,20<2<1<3<2

所以，即，

1π

?2>?1>?3?>?>?

故選：C．

【題型4指對(duì)同構(gòu)問(wèn)題】

【例4】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求

??

實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）?∈(0,+∞)?(?)=??e?(?+1)ln?+??≥0

A．B．

11

?e,+∞e,+∞

C．D．

2

e,+∞[e,+∞)

【答案】B

【解題思路】由題易知時(shí)不成立，時(shí)，由指對(duì)同構(gòu)轉(zhuǎn)化為，令

???

，即?，≤運(yùn)0用單調(diào)性解不?等>式0得到在??上e恒+成?立?，≥利?l用n?參+變ln分?離，?接?著=求?函e數(shù)+

?最值即?可?.?≥?ln???≥ln?(0,+∞)

【解答過(guò)程】當(dāng)時(shí)，，所以不符合題意；

?e

當(dāng)由?≤0?e=?e?e?e+，1即+?e<0?≤0，

????ln?

令?>0?(?)=??e?，(?+1)ln?+??≥0??，e+??≥eln?+ln?

?′?

所以??=在?e+??>0上單?調(diào)?遞=增，?+1e+1>0

???∈(0,+∞)，即，

??ln?

∵??e+?在?≥eln?上+恒ln成?立，???≥?ln?

∴??≥ln?(，0,令+∞)，

ln?ln?

∴?≥?max??=??>0

，

1?ln?

′2

所?以?=?=時(shí)0，??=e，單調(diào)遞增，

′

?∈0,e時(shí)，??>0，??單調(diào)遞減，

′

即?∈e,+∞??，<0??

1

??max=?e=e

,

ln?1

∴?≥?max=e

故選：B.

【變式4-1】（24-25高二下·云南臨滄·期中）若函數(shù)存在零點(diǎn)，則的取值范圍

??

為（）??=?e+2ln?+?(?>0)?

A．B．，C．D．

11

0,e1+∞e,e0,e

【答案】A

【解題思路】根據(jù)進(jìn)行同構(gòu)處理，令，由函數(shù)

?+ln?ln??

單調(diào)，所以??=，0即即e，+求2導(dǎo)?分+析ln值?域=即e可+.2ln???=e+2???

【解答過(guò)程】?由+題ln意?=得ln?，令ln?=ln?，?則?，

?+ln?ln?

令，?>0??=0e+2?+ln?=e+2ln?

?

因?yàn)?函?數(shù)=e+2，?均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，

?

所以由?=e?=2?，得?，即???，

令??+ln?，=?ln?，則?+ln?=，ln?ln?=ln???

′1??

當(dāng)??=，ln?時(shí)?，??>0，??單=調(diào)?遞增，

′

當(dāng)?∈0，1時(shí)?，?>0?，?單調(diào)遞減，

′

所以?∈1+∞??，<當(dāng)0??時(shí)，，

?(?)max=?1=?1?→0??→+∞

所以，解得，即的取值范圍為,

11

ln?≤?10<?≤e?0,e

故選：A.

【變式4-2】（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).

???

(1)若，求的極值；??=?ln?+???,??=e??e?∈?

1

?=?2??

(2)證明：對(duì)于滿(mǎn)足不等式的任意，均有.

【答案】(1)極小值為??，0無(wú)<極?大?0值.?0??0>0

(2)證明見(jiàn)解析?1=0

【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性可得；

（2）把不等式指對(duì)同構(gòu)變形后構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性解抽象不等式可得.

??

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?，所以?/p>

11

?=?2??=?2ln?+????>0

所以.

′2????1??12?+1

令??=，則2?=，列表2如?下：

′

??=0?=11

?0,11,+∞

-0+

′

??

極小值

??