2025年初等數論考研真題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若a和b是互質的正整數，且a|c，b|c，則下列說法正確的是：A.ab|cB.a+b|cC.a|bD.b|a答案：A2.下列哪個數是素數？A.49B.53C.57D.61答案：B3.若n是正整數，且n2是偶數，則n一定是：A.偶數B.奇數C.0D.非負整數答案：A4.歐拉函數φ(n)表示小于n且與n互質的正整數的個數，若n=12，則φ(12)的值是：A.2B.4C.6D.8答案：C5.若a和b是正整數，且a≡b(modm)，則下列說法正確的是：A.a=bB.a+b≡0(modm)C.a-b≡0(modm)D.a2≡b2(modm)答案：C6.下列哪個數是梅森素數？A.2^7-1B.2^11-1C.2^13-1D.2^17-1答案：A7.若p是素數，且a是任意整數，則a2≡1(modp)的解的個數是：A.1B.2C.p-1D.p答案：B8.下列哪個數是完全數？A.6B.28C.49D.56答案：B9.若a和b是正整數，且gcd(a,b)=1，則下列說法正確的是：A.a和b都是素數B.a和b中至少有一個是素數C.a和b互質D.a和b有公共因子答案：C10.下列哪個數是費馬數？A.2^2+1B.2^3+1C.2^4+1D.2^5+1答案：B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些數是合數？A.15B.19C.21D.23答案：A,C2.下列哪些數是偶數？A.2B.3C.4D.5答案：A,C3.下列哪些數是奇數？A.1B.2C.3D.4答案：A,C4.下列哪些數是素數的倍數？A.2B.3C.5D.7答案：B,C,D5.下列哪些數是完全平方數？A.1B.4C.9D.16答案：A,B,C,D6.下列哪些數是歐拉函數φ(n)的值？A.1B.2C.4D.6答案：A,B,D7.下列哪些數是梅森素數的值？A.3B.7C.31D.127答案：B,D8.下列哪些數是費馬數的值？A.3B.5C.17D.257答案：A,B,C,D9.下列哪些數是同余式a≡b(modm)的解？A.a=bB.a+b≡0(modm)C.a-b≡0(modm)D.a2≡b2(modm)答案：A,C,D10.下列哪些數是互質的？A.8和9B.10和21C.12和15D.14和15答案：A,B,D三、判斷題（每題2分，共10題）1.若a|b，b|c，則a|c。答案：正確2.若a和b是互質的，則gcd(a,b)=1。答案：正確3.若p是素數，且a是任意整數，則a2≡1(modp)的解的個數是2。答案：正確4.若n是正整數，且n2是奇數，則n一定是奇數。答案：正確5.若a和b是正整數，且a≡b(modm)，則a和b有相同的奇偶性。答案：正確6.若a和b是正整數，且gcd(a,b)=1，則a和b互質。答案：正確7.若p是素數，且a是任意整數，則a2≡1(modp)的解的個數是1。答案：錯誤8.若n是正整數，且n2是偶數，則n一定是偶數。答案：正確9.若a和b是正整數，且a≡b(modm)，則a和b有相同的因子。答案：錯誤10.若a和b是正整數，且gcd(a,b)=1，則a和b都是素數。答案：錯誤四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述歐拉函數φ(n)的定義及其性質。答案：歐拉函數φ(n)表示小于n且與n互質的正整數的個數。性質包括：若p是素數，則φ(p)=p-1；若a和b互質，則φ(ab)=φ(a)φ(b)；φ(n)是偶數當且僅當n=2或n是4的倍數。2.簡述素數的定義及其性質。答案：素數是指只有1和自身兩個正因子的正整數。性質包括：素數有無窮多個；任何大于1的正整數都可以唯一地分解為素數的乘積；若p是素數，且p|ab，則p|a或p|b。3.簡述完全數的定義及其性質。答案：完全數是指等于其所有正因子（包括1但不包括自身）之和的正整數。性質包括：偶數完全數可以表示為2^(p-1)(2^p-1)，其中2^p-1是素數（梅森素數）；目前發(fā)現的完全數都是偶數，奇數完全數是否存在尚未確定。4.簡述費馬數的定義及其性質。答案：費馬數是指形如2^(2^p)+1的數，其中p是素數。性質包括：費馬數是無窮大的；若F_p=2^(2^p)+1是素數，則p必須是2；目前已知的費馬數都是合數。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論歐拉函數φ(n)在密碼學中的應用。答案：歐拉函數φ(n)在密碼學中有著重要的應用，特別是在RSA公鑰密碼系統(tǒng)中。RSA公鑰密碼系統(tǒng)的安全性基于大整數的分解難度，而歐拉函數φ(n)用于計算公鑰和私鑰。具體來說，RSA公鑰密碼系統(tǒng)選擇兩個大素數p和q，計算n=pq，φ(n)=(p-1)(q-1)，然后選擇一個與φ(n)互質的整數e作為公鑰，計算d使得ed≡1(modφ(n))，d為私鑰。歐拉函數φ(n)的計算對于生成有效的公鑰和私鑰至關重要。2.討論素數在數論中的重要性。答案：素數在數論中具有極其重要的地位。首先，素數是數論研究的基石，許多數論問題都與素數有關，如素數分布、素數定理等。其次，素數在密碼學中有著廣泛的應用，如RSA公鑰密碼系統(tǒng)就依賴于大素數的存在。此外，素數在數論中的性質和研究對于理解整數的結構和行為具有重要意義，如素數的唯一分解定理等。因此，素數是數論中一個非常重要的研究對象。3.討論完全數在數論中的重要性。答案：完全數在數論中具有特殊的重要性。首先，完全數的研究可以揭示整數的一種特殊性質，即其因子和與其自身相等。其次，完全數與素數有著密切的聯系，偶數完全數可以表示為2^(p-1)(2^p-1)，其中2^p-1是素數（梅森素數）。因此，研究完全數有助于我們更好地理解素數和整數的性質。此外，完全數在密碼學等領域也有著潛在的應用價值，因此完全數是數論中一個值得深入研究的對象。4.討論費馬數在數論中的重要性。答案：費馬數在數論中具有特殊的重要性。首先，費馬數是形如2^(2^p)+1的數，其中p是素數，研究費馬數