2025年高等數(shù)學(xué)期末考試試題（A卷）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}+\arctan\left(\frac{1}{x-1}\right)$，則函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)椋ǎ〢.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$C.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$D.$(-\infty,1)$2.極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cosx}{\sin^2x}$的值為（）A.$\frac{3}{2}$B.$1$C.$\frac{1}{2}$D.$0$3.設(shè)函數(shù)$y=y(x)$由方程$x^2+y^2-xy=1$確定，則$\frac{dy}{dx}=$（）A.$\frac{2x-y}{x-2y}$B.$\frac{2x-y}{2y-x}$C.$\frac{y-2x}{x-2y}$D.$\frac{y-2x}{2y-x}$4.曲線$y=x^3-3x^2+2$的拐點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.$(1,0)$B.$(1,-1)$C.$(2,-2)$D.$(0,2)$5.下列反常積分收斂的是（）A.$\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$B.$\int_0^1\frac{1}{x^2}dx$C.$\int_0^{+\infty}e^{-2x}dx$D.$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x\lnx}dx$6.設(shè)向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,k,6)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$k=$（）A.$3$B.$4$C.$5$D.$6$7.函數(shù)$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$的極值點(diǎn)為（）A.$(0,0)$B.$(1,1)$C.$(0,1)$D.$(1,0)$8.設(shè)$D$是由$y=x$，$y=2x$，$x=1$所圍成的區(qū)域，則二重積分$\iint_Dxydxdy=$（）A.$\frac{5}{16}$B.$\frac{7}{16}$C.$\frac{9}{16}$D.$\frac{11}{16}$9.微分方程$y''-4y'+4y=e^{2x}$的通解為（）A.$y=(C_1+C_2x)e^{2x}+\frac{1}{2}x^2e^{2x}$B.$y=(C_1+C_2x)e^{2x}+x^2e^{2x}$C.$y=(C_1+C_2x)e^{2x}+\frac{1}{2}xe^{2x}$D.$y=(C_1+C_2x)e^{2x}+xe^{2x}$10.冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n\cdot2^n}$的收斂域?yàn)椋ǎ〢.$[-1,3)$B.$(-1,3]$C.$[-1,3]$D.$(-1,3)$二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）11.設(shè)$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq0\\ln(1+x),&x>0\end{cases}$，則$f'(0)=$________。12.曲線$y=e^x$在點(diǎn)$(0,1)$處的切線方程為_(kāi)_______。13.定積分$\int_{-1}^1(x^3\cosx+2)dx=$________。14.設(shè)函數(shù)$z=x^2y+\frac{y}{x}$，則$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=$________。15.設(shè)$L$是從點(diǎn)$(0,0)$到點(diǎn)$(1,1)$的直線段，則曲線積分$\int_L(x+y)ds=$________。16.微分方程$xy'-y=x^2$的通解為_(kāi)_______。三、解答題（共7小題，共66分）17.（本題滿分8分）計(jì)算極限$\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x\tanx}\right)$。18.（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)$y=x^3-3x+1$，求其單調(diào)區(qū)間和極值。19.（本題滿分10分）計(jì)算不定積分$\int\frac{x\arctanx}{\sqrt{1+x^2}}dx$。20.（本題滿分10分）設(shè)$D$是由曲線$y=x^2$，$y=\sqrt{x}$所圍成的區(qū)域，計(jì)算二重積分$\iint_D(x+y)dxdy$。21.（本題滿分10分）求微分方程$y''+y'-2y=2\cosx$的通解。22.（本題滿分10分）將函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}$展開(kāi)成$(x-3)$的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。23.（本題滿分10分）設(shè)有一立體，底面是由曲線$y=x^2$和$y=2-x^2$所圍成的區(qū)域，垂直于$x$軸的截面是等邊三角形，求該立體的體積。四、證明題（共1小題，共10分）24.設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，在$(0,1)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(0)=0$，$f(1)=1$。證明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=2\xi$。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（僅供閱卷參考）一、選擇題1-5:BACAC6-10:BBCAA二、填空題11.$0$12.$y=x+1$13.$4$14.$2x-\frac{1}{x^2}$15.$\sqrt{2}$16.$y=x(x+C)$三、解答題17.解：原式$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx-x}{x^2\tanx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx-x}{x^3}$（等價(jià)無(wú)窮小替換）$\tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，代入得原式$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{3}+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{3}$。解：$y'=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$令$y'=0$，得$x=-1$，$x=1$。當(dāng)$x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$時(shí)，$y'>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$x\in(-1,1)$時(shí)，$y'<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3$，極小值$f(1)=1-3+1=-1$。解：令$t=\arctanx$，$dt=\frac{1}{1+x^2}dx$，$\sqrt{1+x^2}=u$，$du=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$原式$=\int\arctanxd(\sqrt{1+x^2})=\sqrt{1+x^2}\arctanx-\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}dx$$=\sqrt{1+x^2}\arctanx-\ln(x+\sqrt{1+x^2})+C$。解：聯(lián)立$y=x^2$與$y=\sqrt{x}$，得交點(diǎn)$(0,0)$，$(1,1)$。積分區(qū)域$D$：$0\leqx\leq1$，$x^2\leqy\leq\sqrt{x}$。原式$=\int_0^1dx\int_{x^2}^{\sqrt{x}}(x+y)dy=\int_0^1\left[xy+\frac{1}{2}y^2\right]_{x^2}^{\sqrt{x}}dx$$=\int_0^1\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{2}x-x^3-\frac{1}{2}x^4\right)dx=\frac{33}{140}$。解：特征方程$r^2+r-2=0$，解得$r_1=1$，$r_2=-2$，齊次通解$Y=C_1e^x+C_2e^{-2x}$。設(shè)特解$y^*=A\cosx+B\sinx$，代入方程得$(-A\cosx-B\sinx)+(-A\sinx+B\cosx)-2(A\cosx+B\sinx)=2\cosx$整理得$(-3A+B)\cosx+(-A-3B)\sinx=2\cosx$，解得$A=-\frac{3}{5}$，$B=\frac{1}{5}$。通解$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}-\frac{3}{5}\cosx+\frac{1}{5}\sinx$。解：$f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{1+(x-3)}-\frac{1}{2+(x-3)}=\frac{1}{1+(x-3)}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-3}{2}}$$\frac{1}{1+(x-3)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-3)^n$，收斂區(qū)間$|x-3|<1$；$\frac{1}{1+\frac{x-3}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{x-3}{2}\right)^n$，收斂區(qū)間$|x-3|<2$；故$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-3)^n-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{x-3}{2}\right)^n$，收斂區(qū)間$(2,4)$。解：聯(lián)立$y=x^2$與$y=2-x^2$，得交點(diǎn)$(-1,1)$，$(1,1)$。截面面積$S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}(2y)^2=\sqrt{3}y^2=\sqrt{3}(2-2x^2)^2=4\sqrt{3}(1-x^2)^2$。體積$V=\int_{-1}^1S(x)dx=4\sqrt{3}\int_{-1}^1(1-2x^2+x^4)d