專題01：三角形的證明（一）考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)與判斷題型一：全等三角形例1.如圖，在中，，點(diǎn)、分別在、上，且，、相交于點(diǎn)．求證：（1）．（2）．【練習(xí)1】如圖，中，，，，且，過點(diǎn)作，垂足為．若，則的長為．【練習(xí)2】如圖所示，在和中，，，若證還要從下列條件中補(bǔ)選一個(gè)，錯(cuò)誤的選法是A． B． C． D．【練習(xí)3】如圖，在四邊形中，，，，是邊上的兩點(diǎn)，且．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．題型二：運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求角例2.已知：如圖，在中，點(diǎn)，是邊上的兩點(diǎn)，且，．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，直接寫出的度數(shù)；（3）設(shè)，，猜想與的之間數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【練習(xí)4】在△ABC中，AB＝AC，∠B的角平分線與AC邊所夾的銳角為60°，則∠A的度數(shù)等于．【練習(xí)5】已知：如圖，在中，，；試求和的度數(shù)．題型三：運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求線段例3.如圖所示，等腰三角形的底邊為，腰長為．（1）求邊上的高線．（2）一動(dòng)點(diǎn)在底邊上從向以的速度移動(dòng)，請你探究：當(dāng)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線與腰垂直？【練習(xí)6】等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則這個(gè)等腰三角形的周長為A．12 B．9 C．9或12 D．10或12【練習(xí)7】已知，求邊長為，的等腰三角形的周長．題型四：等腰三角形的判斷例4.如圖，是等邊三角形，是中線，是直線上一點(diǎn)，．求證：是等腰三角形．【練習(xí)8】（1）若三角形的三邊、、滿足，則它的形狀是A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形（2）如圖，在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，連接，，且，．求證：是等腰三角形．題型五：等腰三角形的存在性問題例5.（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，且使為等腰三角形，符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5（2）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)和，若動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則使為等腰三角形的點(diǎn)有個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．2【練習(xí)9】（1）如圖，在中，已知，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)出發(fā)的時(shí)刻可能的值為A．5 B．5或8 C． D．4或（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸和軸上，，在軸上找一點(diǎn)，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)共有個(gè)．考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)與判斷題型一：求等邊三角形中的角例6.（1）24．如圖，為等邊三角形，，則度．（2）是一個(gè)等邊三角形，點(diǎn)，分別在，上，且，和相交于，求的度數(shù)．【練習(xí)10】（1）如圖，等邊中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)，則的度數(shù)是度．（2）已知，如圖，是等邊三角形，于，是延長線上的一點(diǎn)，．求的度數(shù)．題型二：等邊三角形的判斷例7.如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）當(dāng)，，時(shí)，求的長；【練習(xí)11】（1）若的三條邊長分別是、、，且，則這個(gè)三角形是A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形（2）的三邊、、滿足：，則為A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形題型三：等邊三角形性質(zhì)綜合運(yùn)用例8．已知與均為等邊三角形，點(diǎn)、在的同側(cè)．（1）如圖1，點(diǎn)在上，寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若點(diǎn)在的延長線上，其它條件不變，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系．【練習(xí)12】如圖，點(diǎn)為邊長為4的等邊的邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），以為邊作等邊，求面積的最小值．題型四：反證法例9．（1）用反證法證明“若，則，中至少有一個(gè)為0”時(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)A．， B．， C．， D．，（2）用反證法證明“在中，若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)A． B． C． D．【練習(xí)13】（1）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于”時(shí)，應(yīng)假設(shè)直角三角形中A．兩銳角都大于 B．有一個(gè)銳角小于 C．有一個(gè)銳角大于 D．兩銳角都小于（2）牛頓曾說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于”時(shí)，第一步先假設(shè)A．三角形中有一個(gè)內(nèi)角小于 B．三角形中有一個(gè)內(nèi)角大于 C．三角形中每個(gè)內(nèi)角都大于 D．三角形中沒有一個(gè)內(nèi)角小于考點(diǎn)3：含30°角的直角三角形題型一：在含30°角的直角三角形中簡單求線段例10.如圖，已知在中，，于，，．求：（1）和的長；（2）求的長．【練習(xí)14】如圖，在中，，，為上的點(diǎn)，，．求：的長．題型二：含30°角的直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用例11.如圖，等邊的邊長為12，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．過點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）若，求的長；（2）當(dāng)取何值時(shí)，？【練習(xí)15】如圖，上午8時(shí)，一條船從處測得燈塔在北偏西，以15海里時(shí)的速度向正北航行，9時(shí)30分到達(dá)處，測得燈塔在北偏西，若船繼續(xù)向正北方向航行，求輪船何時(shí)到達(dá)燈塔的正東方向處．1．下列長度的線段中，能組成等腰三角形的一組是A．1，1，2 B．3，3，5 C．2，2，5 D．3，4，52．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角比另一個(gè)內(nèi)角大，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是A． B． C．或 D．無法確定3．用反證法證明“四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角”，可先假設(shè)A．四邊形的四個(gè)角都是直角 B．四邊形的四個(gè)角都是銳角 C．四邊形的四個(gè)角都是鈍角 D．四邊形的四個(gè)角都是鈍角或直角4．如圖，，，點(diǎn)在邊上，，和相交于點(diǎn)，若，則為度．A． B． C． D．5．如圖，四邊形中，，，于點(diǎn)，且四邊形的面積為4，則A．1 B．2 C．3 D．46．在中，，，則是三角形．7．等腰三角形中，．若為底角，則．8．如圖，是等邊三角形，，，則度．9．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于，，則．10．如圖，直線過正方形的頂點(diǎn)，點(diǎn)、到直線的距離分別為1、3，則正方形的邊長為．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸和軸上，，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)共有個(gè)．12．如圖所示，在中，，，求和的度數(shù)．13．已知中，，于，的平分線分別交、于、．試說明是等腰三角形．14．如圖，中，，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若，，求的周長；（2）若，求的度數(shù)．15．如圖，在中，，，，，、是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，是等腰三角形？（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，是以或?yàn)榈走叺牡妊切危?6．如圖，，點(diǎn)是的平分線上的一點(diǎn)，于，交于，已知，求的長度．17．已知：如圖，為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，求的面積．18．已知為等邊三角形，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合）．以為邊作等邊三角形，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)．①求證：；②直接判斷結(jié)論是否成立（不需證明）；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí)，其他條件不變，請寫出，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．專題01：三角形的證明（一）考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)與判斷題型一：全等三角形例1.如圖，在中，，點(diǎn)、分別在、上，且，、相交于點(diǎn)．求證：（1）．（2）．【答案】見詳解【分析】（1）由“”可證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可證，可得．【詳解】證明：（1），，，（2），，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵．【練習(xí)1】如圖，中，，，，且，過點(diǎn)作，垂足為．若，則的長為．【答案】17【分析】根據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理可得出答案．【詳解】解：，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．【練習(xí)2】如圖所示，在和中，，，若證還要從下列條件中補(bǔ)選一個(gè)，錯(cuò)誤的選法是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全等三角形的判定依次判斷即可求解．【詳解】解：，，，，故選項(xiàng)不符合題意；，，，，故選項(xiàng)不符合題意；，，，，故選項(xiàng)不符合題意；，，，無法證明與全等，故選項(xiàng)符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．【練習(xí)3】如圖，在四邊形中，，，，是邊上的兩點(diǎn)，且．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．【答案】見詳解【分析】（1）利用等式性質(zhì)即可得到，再根據(jù)即可判定．（2）利用全等三角形的對應(yīng)邊相等以及等式性質(zhì)，即可得到，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可得到的度數(shù)．【詳解】解：（1），，即，在和中，，；（2），，，，，即，，是的外角，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識的運(yùn)用，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．題型二：運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求角例2.已知：如圖，在中，點(diǎn)，是邊上的兩點(diǎn)，且，．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，直接寫出的度數(shù)；（3）設(shè)，，猜想與的之間數(shù)量關(guān)系（不需證明）．【答案】見詳解【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出①，②，①②得出，求出，代入求出即可；（2），（3）同（1）．【詳解】解：（1），，，①，，，②①②得：，，，．，，；（2）由（1）知，；（3）由（1）知，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出．【練習(xí)4】在△ABC中，AB＝AC，∠B的角平分線與AC邊所夾的銳角為60°，則∠A的度數(shù)等于．【答案】20°或100°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的定義得到∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），當(dāng)∠BEC＝60°時(shí)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到（180°﹣∠A）+∠A＝60°，即可求得∠A＝20°；當(dāng)∠AEB＝60°時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到（180°﹣∠A）+∠A+60°＝180°，即可求得∠A＝100°．【詳解】解：設(shè)∠B的角平分線交AC于點(diǎn)E，當(dāng)∠BEC＝60°時(shí)，如圖1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵∠ABE+∠A＝∠BEC，∴（180°﹣∠A）+∠A＝60°，∴∠A＝20°；當(dāng)∠AEB＝60°時(shí)，如圖2，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵∠ABE+∠A+∠BEC＝180°，∴（180°﹣∠A）+∠A+60°＝180°，∴∠A＝100°，綜上所述，∠A的度數(shù)為20°或100°．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況分別求得等腰三角形的頂角是解題的關(guān)鍵．【練習(xí)5】已知：如圖，在中，，；試求和的度數(shù)．【答案】見詳解【分析】由題意，在中，，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出底角，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系即可求出內(nèi)角．【詳解】解：在中，，，在三角形中，，又，在三角形中，．，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用等腰三角形兩底角相等，還考查了三角形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系．利用三角形的內(nèi)角求角的度數(shù)是一種常用的方法，要熟練掌握．題型三：運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求線段例3.如圖所示，等腰三角形的底邊為，腰長為．（1）求邊上的高線．（2）一動(dòng)點(diǎn)在底邊上從向以的速度移動(dòng)，請你探究：當(dāng)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線與腰垂直？【答案】見詳解【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得到的長，由勾股定理可求得的長；（2）分兩種情況進(jìn)行分析：①②，從而可得到運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【詳解】解：（1）作，，，；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒后有時(shí)，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒后有時(shí)，同理可證得，，．綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)或秒時(shí)，點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線與腰垂直．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，此題難度適中，解題的關(guān)鍵是分類討論思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【練習(xí)6】等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則這個(gè)等腰三角形的周長為A．12 B．9 C．9或12 D．10或12【答案】A【分析】因?yàn)榈妊切蔚膬蛇叿謩e為2和5，沒有明確底邊和腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【詳解】解：①當(dāng)2為底時(shí)，三角形的三邊分別為2、5、5，因?yàn)?，所以可以?gòu)成三角形，周長為；②當(dāng)2為腰時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、5，因?yàn)椋圆荒軜?gòu)成三角形，故舍去．綜上所述，三角形的周長為12，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，在條件中沒有明確底和腰時(shí)，需進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．【練習(xí)7】已知，求邊長為，的等腰三角形的周長．【答案】見詳解【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出、，再分情況討論求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，解得，，①若是腰長，則底邊為2，三角形的三邊分別為3、3、2，能組成三角形，周長．②若是腰長，則底邊為3，三角形的三邊分別為2、2、3，能組成三角形，周長．故邊長為、的等腰三角形的周長為8或7．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及三角形的三邊關(guān)系，難點(diǎn)在于要討論求解．題型四：等腰三角形的判斷例4.如圖，是等邊三角形，是中線，是直線上一點(diǎn)，．求證：是等腰三角形．【答案】見詳解【分析】由是等邊三角形可以得到，又是中線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到于，然后即可得到，而，再利用等腰三角形的性質(zhì)可以得到，然后利用等腰三角形的判定即可證明結(jié)論．【詳解】證明：是等邊三角形，，是中線，，，，又，，，，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；解本題要充分利用已知條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明是等腰三角形，求得是解答本題的關(guān)鍵．【練習(xí)8】（1）若三角形的三邊、、滿足，則它的形狀是A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)，可得出，，之間的關(guān)系式，即可得出答案．【詳解】解：，或或，或或，為等腰三角形，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三個(gè)數(shù)的乘積為0，可得出每個(gè)式子為0，再由兩邊相等可得出三角形是等腰三角形．（2）如圖，在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，連接，，且，．求證：是等腰三角形．【答案】見詳解【分析】求出，根據(jù)全等三角形的判定定理推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的判定推出即可．【詳解】證明：，，在和中，，，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，注意：有兩邊相等的三角形是等腰三角形．題型五：等腰三角形的存在性問題例5.（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，且使為等腰三角形，符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】以為圓心，長為半徑畫圓可得與軸有2個(gè)交點(diǎn)，再以為圓心，長為半徑畫圓可得與軸有1個(gè)交點(diǎn)，然后再作的垂直平分線可得與軸有1個(gè)交點(diǎn)．【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)在軸上，且使為等腰三角形，符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)共4個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的判定，關(guān)鍵是考慮全面，作圖不重不漏．（2）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)和，若動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則使為等腰三角形的點(diǎn)有個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】分，和三種情況進(jìn)行討論即可得出點(diǎn)的位置，從而可得出點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：、，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)在線段的垂直平分線上，可知點(diǎn)在點(diǎn)，即此時(shí)點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，可求得，此時(shí)點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，即，可解得或，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，或，；綜上可知點(diǎn)的位置有4個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，用了分類討論思想．【練習(xí)9】（1）如圖，在中，已知，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)出發(fā)的時(shí)刻可能的值為A．5 B．5或8 C． D．4或【答案】D【分析】沒有指明等腰三角形的底邊，所以需要分類討論：，，．【詳解】解：如圖，在中，已知，，，由勾股定理，得．①當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，是的中位線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，即；③若時(shí)，與矛盾，不和題意．綜上所述，的值是4或；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分類討論，還要注意的取值范圍．（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸和軸上，，在軸上找一點(diǎn)，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)共有個(gè)．【答案】4【分析】分類討論：時(shí)，時(shí)，時(shí)，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，在軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，在軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，在軸上有一點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)．綜上所述：符合條件的點(diǎn)共有4個(gè)．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，把所有可能的情況都找出來，不遺漏掉任何一種情況是本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)與判斷題型一：求等邊三角形中的角例6.（1）24．如圖，為等邊三角形，，則度．【答案】150【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，設(shè)，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：為等邊三角形，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．（2）是一個(gè)等邊三角形，點(diǎn)，分別在，上，且，和相交于，求的度數(shù)．【答案】見詳解【分析】根據(jù)題干條件：，，，可以判定，即可得到，又知求出即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，又知，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是能看出，還要熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)定理．【練習(xí)10】（1）如圖，等邊中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，、交于點(diǎn)，則的度數(shù)是度．【答案】120【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，確定、既為等邊三角形的中線，又是三角形的高，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360度解出的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等即可得出的度數(shù)．【詳解】解：為等邊三角形，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)；；在四邊形中，，；；對頂角相等；．故應(yīng)填．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是是正確解答本題的關(guān)鍵．（2）已知，如圖，是等邊三角形，于，是延長線上的一點(diǎn)，．求的度數(shù)．【答案】見詳解【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)“三線合一”得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，注意：①等邊三角形的三邊都相等，并且每個(gè)角都等于，②等腰三角形底邊上的高平分頂角．題型二：等邊三角形的判斷例7.如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）當(dāng)，，時(shí)，求的長；【答案】見詳解【分析】（1）由，得出，再由，得出結(jié)論；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形的定義，即可判斷為直角三角形，利用勾股定理即可得出的長；【詳解】（1）證明：將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，，，．是等邊三角形；（2），，是等邊三角形，，又，，為直角三角形．又，，，；【點(diǎn)睛】此題主要運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理等知識，滲透分類討論思想．【練習(xí)11】（1）若的三條邊長分別是、、，且，則這個(gè)三角形是A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到且，即，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：，且，，為等邊三角形．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．（2）的三邊、、滿足：，則為A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】原式可化為，即，根據(jù)完全平方公式得，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得三邊相等．【詳解】解：原式可化為，即，，，，，，，，故，為等邊三角形．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判斷，此題要轉(zhuǎn)化為偶次方的和，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零，即若，，，為非負(fù)數(shù)，且，則必有．題型三：等邊三角形性質(zhì)綜合運(yùn)用例8．已知與均為等邊三角形，點(diǎn)、在的同側(cè)．（1）如圖1，點(diǎn)在上，寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，若點(diǎn)在的延長線上，其它條件不變，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】見詳解【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，，利用等量代換得，則可根據(jù)“”判斷，所以，于是；（2）利用同樣方法證明，則，所以．【詳解】（1）解：．理由如下：為等邊三角形，，，為等邊三角形，，，，即，在和中，，，，；（2）解：．理由如下：與（1）的證明方法一樣可得到，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．【練習(xí)12】如圖，點(diǎn)為邊長為4的等邊的邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），以為邊作等邊，求面積的最小值．【答案】見詳解【分析】當(dāng)時(shí)，最短，面積最小，先求出和的面積，再根據(jù)，得出面積比等于相似比的平方即可求出面積的最小值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，最短，面積最??；是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，，，即，；即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和垂線段最短；由題意得出當(dāng)時(shí)，最短，面積最小是解題的關(guān)鍵．題型四：反證法例9．（1）用反證法證明“若，則，中至少有一個(gè)為0”時(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行解答．【詳解】解：“若，則，中至少有一個(gè)為0．”第一步應(yīng)假設(shè)：，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．（2）用反證法證明“在中，若，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)A． B． C． D．【答案】B【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：用反證法證明，“在中，、對邊是、，若，則”，第一步應(yīng)假設(shè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．【練習(xí)13】（1）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于”時(shí)，應(yīng)假設(shè)直角三角形中A．兩銳角都大于 B．有一個(gè)銳角小于 C．有一個(gè)銳角大于 D．兩銳角都小于【答案】A【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答．【詳解】解：反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于”時(shí)，應(yīng)假設(shè)直角三角形中兩銳角都大于，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．（2）牛頓曾說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于”時(shí)，第一步先假設(shè)A．三角形中有一個(gè)內(nèi)角小于 B．三角形中有一個(gè)內(nèi)角大于 C．三角形中每個(gè)內(nèi)角都大于 D．三角形中沒有一個(gè)內(nèi)角小于【答案】C【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答．【詳解】解：用反證法證明：“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于”時(shí)，第一步先假設(shè)三角形中每個(gè)內(nèi)角都大于，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．考點(diǎn)3：含30°角的直角三角形題型一：在含30°角的直角三角形中簡單求線段例10.如圖，已知在中，，于，，．求：（1）和的長；（2）求的長．【答案】見詳解【分析】（1）由中，，得到，由于，得到，于是得到，求得，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)有一個(gè)角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）中，，，，，，，，，，；（2）中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．【練習(xí)14】如圖，在中，，，為上的點(diǎn)，，．求：的長．【答案】見詳解【分析】根據(jù)等腰三角形的判定得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算．【詳解】解：，，，，，，，由勾股定理得：，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半．題型二：含30°角的直角三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用例11.如圖，等邊的邊長為12，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．過點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）若，求的長；（2）當(dāng)取何值時(shí)，？【答案】見詳解【分析】（1）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)樵谥?，根?jù)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半可得，所以，同理可知，在中，，則可根據(jù)求得結(jié)果；（2）通過計(jì)算求出，即可判斷．【詳解】解：（1），在中在中，；（2），，，，，，∴,，根據(jù)勾股定理得，，，，，，∴,,根據(jù)勾股定理得，．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，把全等三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合求解，充分掌握和理解直角三角形中的一些特殊的對應(yīng)關(guān)系并靈活運(yùn)用可解得此題．【練習(xí)15】如圖，上午8時(shí)，一條船從處測得燈塔在北偏西，以15海里時(shí)的速度向正北航行，9時(shí)30分到達(dá)處，測得燈塔在北偏西，若船繼續(xù)向正北方向航行，求輪船何時(shí)到達(dá)燈塔的正東方向處．【答案】見詳解【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出，得到的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，計(jì)算即可．【詳解】解：為的外角，，，，，，，在中，，，從到用的時(shí)間為小時(shí)分鐘，則當(dāng)船繼續(xù)航行，10時(shí)15分到達(dá)燈塔在正東方向．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、方向角，在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半．1．下列長度的線段中，能組成等腰三角形的一組是A．1，1，2 B．3，3，5 C．2，2，5 D．3，4，5【答案】B【分析】利用三角形的三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】解：、因?yàn)?所以不能構(gòu)成三角形，本選項(xiàng)不符合題意．、因?yàn)?所以符合題意，能夠成三角形，本選項(xiàng)符合題意．、因?yàn)?所以不能構(gòu)成三角形，本選項(xiàng)不符合題意．、3,4,5是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．2．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角比另一個(gè)內(nèi)角大，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是A． B． C．或 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，先設(shè)出三角形的兩個(gè)角，然后進(jìn)行討論，即可得出頂角的度數(shù)．【詳解】解：在中，設(shè)，，分情況討論：當(dāng)為底角時(shí)，，解得，頂角；當(dāng)為底角時(shí)，，解得，頂角．故這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為或．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．3．用反證法證明“四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角”，可先假設(shè)A．四邊形的四個(gè)角都是直角 B．四邊形的四個(gè)角都是銳角 C．四邊形的四個(gè)角都是鈍角 D．四邊形的四個(gè)角都是鈍角或直角【答案】B【分析】根據(jù)四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角的反面是四邊形的四個(gè)角都是銳角解答即可．【詳解】解：用反證法證明“四邊形中至少有一個(gè)角是鈍角或直角”，可先假設(shè)四邊形的四個(gè)角都是銳角，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．4．如圖，，，點(diǎn)在邊上，，和相交于點(diǎn)，若，則為度．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定即可判斷，可知：，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可知的度數(shù)，從而可求出的度數(shù)．【詳解】解：和相交于點(diǎn)，．在和中，，．又，，．在和中，，．，．在中，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．5．如圖，四邊形中，，，于點(diǎn)，且四邊形的面積為4，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】運(yùn)用割補(bǔ)法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，求出的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，與的延長線交于點(diǎn)，，，四邊形是矩形，，，在和中，，，四邊形是正方形，，．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用割補(bǔ)法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，其面積保持不變，所求就是正方形的邊長了；也可以看作將三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形．6．在中，，，則是三角形．【答案】等邊【分析】由于，，根據(jù)有一個(gè)角為的等腰三角形為等邊三角形，判斷得出為等邊三角形即可解決問題．【詳解】解：，，為等邊三角形，故答案是：等邊．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)：有一個(gè)的等腰三角形為等邊三角形；三個(gè)角都相等，每一個(gè)角等于．7．等腰三角形中，．若為底角，則．【答案】80【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)，當(dāng)是底角時(shí)，，，，解得，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．8．如圖，是等邊三角形，，，則度．【答案】15【分析】由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合條件可求得，又由可得，再由可求得．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，，，，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的“三線合一”是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于，，則．【答案】【分析】連接，由是線段的垂直平分線可知，，再根據(jù)是的外角可得出的度數(shù)，在中根據(jù)可知．【詳解】解：如圖所示，連接，是線段的垂直平分線，，，是的外角，，中，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．10．如圖，直線過正方形的頂點(diǎn)，點(diǎn)、到直線的距離分別為1、3，則正方形的邊長為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，利用證明和全等，利用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】解：在正方形中，，，，，，，，在和中，，，，，在中，由勾股定理得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考常考題型．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸和軸上，，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使得是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)共有個(gè)．【答案】6【分析】分類討論：時(shí)，時(shí)，時(shí)，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，在軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)，在軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，在軸上有1點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)，在軸上有2點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)，有1點(diǎn)與時(shí)的軸正半軸的點(diǎn)重合．③當(dāng)時(shí)，在軸、軸上各有一點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)，有1點(diǎn)與時(shí)的軸正半軸的點(diǎn)重合．綜上所述：符合條件的點(diǎn)共有6個(gè)．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，把所有可能的情況都找出來，不遺漏掉任何一種情況是本題的關(guān)鍵．12．如圖所示，在中，，，求和的度數(shù)．【答案】見詳解【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可求的度數(shù)，運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)求解．【詳解】解：，，，，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．已知中，，于，的平分線分別交、于、．試說明是等腰三角形．【答案】見詳解【分析】首先根據(jù)條件，是邊上的高，可證出，，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得到，再利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系可得到，最后利用等角對等邊即可得出答案．【詳解】解：，，，，，是的平分線，，，，，，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系以及等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件理清角之間的關(guān)系，得出．14．如圖，中，，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若，，求的周長；（2）若，求的度數(shù)．【答案】見詳解【分析】（1）根據(jù)等角對等邊得到，根據(jù)線段垂直平分線上的