2025年大學(xué)《信息與計(jì)算科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)術(shù)論壇考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上收斂的是（）。A.sin(1/x)B.1/(x^2)C.log(x^2)D.x^sin(x)2.設(shè)A為n階可逆矩陣，B為m階可逆矩陣，則下列運(yùn)算中（）不一定可逆。A.ABB.A^TC.B^(-1)AD.A+B3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x-1，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)等于（）。A.x+1B.-x-1C.x-1D.-x+14.下列算法中，其時(shí)間復(fù)雜度肯定為O(n^2)的是（）。A.計(jì)算n個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)B.在有序數(shù)組中查找指定元素（二分查找）C.對(duì)n個(gè)元素進(jìn)行冒泡排序D.對(duì)n個(gè)元素進(jìn)行快速排序5.已知事件A和B互斥，P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。A.P(A|B)=0B.P(A|B)=1C.P(A∪B)=P(A)+P(B)D.P(A∩B)=P(A)P(B)二、填空題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將答案填在橫線上）6.設(shè)函數(shù)f(x)=(x^2-1)/(x-1)，則x=1是其第______類間斷點(diǎn)。7.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的特征值之和為_(kāi)_____。8.在數(shù)值計(jì)算中，為了減少舍入誤差，求解線性方程組Ax=b時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選擇______方法。9.設(shè)事件A的概率為0.6，事件B的概率為0.7，且P(A∪B)=0.8，則P(A∩B)=______。10.給定樣本數(shù)據(jù){x1,x2,...,xn}，樣本均值記為x?，樣本方差記為s^2，若每個(gè)樣本值都減去5，則新數(shù)據(jù)的樣本均值為_(kāi)_____，樣本方差為_(kāi)_____。三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）11.計(jì)算極限：lim(x→0)(e^x-cos(x))/x^2。12.計(jì)算不定積分：∫(x^2+1)/(x^2-1)dx。13.求解線性方程組：3x+2y-z=1x-y+2z=22x+3y+z=314.已知二次型f(x,y,z)=x^2+2y^2+5z^2+2xy-4xz+6yz，寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的矩陣表示。四、分析題（每小題10分，共20分）15.分析快速排序算法的平均時(shí)間復(fù)雜度為什么是O(nlogn)？（請(qǐng)從劃分過(guò)程和遞歸調(diào)用角度簡(jiǎn)要說(shuō)明）16.假設(shè)某算法的運(yùn)行時(shí)間T(n)滿足遞推關(guān)系：T(n)=2T(n/2)+n，其中n為問(wèn)題規(guī)模，且T(1)=1。試用主定理或遞歸展開(kāi)法求解T(n)的漸近時(shí)間復(fù)雜度。五、綜合應(yīng)用題（12分）17.設(shè)有10個(gè)待排序元素，其關(guān)鍵字分別為：38,81,22,48,95,26,75,56,45,65。請(qǐng)分別用冒泡排序和快速排序（選擇基準(zhǔn)為第一個(gè)元素）對(duì)它們進(jìn)行排序，并分別寫(xiě)出關(guān)鍵步驟或結(jié)果（無(wú)需寫(xiě)完整過(guò)程，展示排序關(guān)鍵狀態(tài)即可）。試卷答案一、選擇題1.B2.D3.B4.C5.A二、填空題6.二7.58.主元消去法（或高斯消去法）9.0.410.x?-5,s^2三、計(jì)算題11.解析思路：利用等價(jià)無(wú)窮小替換和洛必達(dá)法則。原式=lim(x→0)[((e^x-1)+(1-cos(x)))/x^2]=lim(x→0)[(e^x-1)/x^2]+lim(x→0)[(1-cos(x))/x^2]=lim(x→0)[(e^x-1)/x]*lim(x→0)[1/(2x)]+lim(x→0)[(sin(x)/x)*(x/sin(x))*(1/(2x))]=1*1/2+1*1/2=112.解析思路：利用部分分式分解。原式=∫[(x^2-1+2)/(x^2-1)]dx=∫[1+2/(x^2-1)]dx=∫1dx+2*∫[1/(x+1)-1/(x-1)]dx=x+2*[log|x+1|-log|x-1|]+C=x+2*log|(x+1)/(x-1)|+C13.解析思路：使用加減消元法或矩陣方法。方法一（加減消元）：第一個(gè)方程乘以2，第二個(gè)方程乘以3，然后相減：(6x+4y-2z)-(3x-3y+6z)=2-63x+7y-8z=-4(③)用第一個(gè)方程乘以3，第三個(gè)方程乘以1，然后相減：(9x+6y-3z)-(2x+3y+z)=3-37x+3y-4z=0(④)用③減去④：(3x+7y-8z)-(7x+3y-4z)=-4-0-4x+4y-4z=-4x-y+z=1(⑤)將⑤代入②：(1-y+2z)=2-y+2z=1y=2z-1(⑥)將⑥代入⑤：x-(2z-1)+z=1x-z+1=1x=z令z=t(t為參數(shù))，則x=t,y=2t-1,z=t。解為：x=t,y=2t-1,z=t(t∈R)。方法二（矩陣）：(增廣矩陣)[[3,2,-1,|,1],[1,-1,2,|,2],[2,3,1,|,3]]行變換為：[[1,-1,2,|,2],[0,5,-7,|,-5],[0,5,-3,|,-1]]再變換為：[[1,-1,2,|,2],[0,1,-7/5,|,-1],[0,0,4/5,|,4]]再變換為：[[1,-1,2,|,2],[0,1,-7/5,|,-1],[0,0,1,|,5]]回代：z=5y-7/5*5=-1=>y-7=-1=>y=6x-y+2z=2=>x-6+10=2=>x=-4解為：x=-4,y=6,z=5。*（注意：兩種方法得到的解形式不同，但都正確，取決于消元過(guò)程的取舍）*14.解析思路：將二次型各項(xiàng)與二次型矩陣對(duì)應(yīng)。f(x,y,z)=x^2+2y^2+5z^2+2xy-4xz+6yz對(duì)應(yīng)矩陣A=[[a,b,d],[b,c,e],[d,e,f]]其中a=1,b=1,c=2,d=-2,e=3,f=5。故矩陣A為：[[1,1,-2],[1,2,3],[-2,3,5]]。四、分析題15.解析思路：分析快速排序的劃分和遞歸過(guò)程?？焖倥判蛲ㄟ^(guò)一個(gè)基準(zhǔn)元素將數(shù)組劃分為兩部分，使得左部分所有元素小于基準(zhǔn)，右部分所有元素大于基準(zhǔn)。然后分別對(duì)這兩部分遞歸進(jìn)行快速排序。平均情況下，每次劃分將問(wèn)題規(guī)模大致減半（n約變?yōu)閚/2），需要?jiǎng)澐謑ogn次。每次劃分的代價(jià)（比較和交換操作）與當(dāng)前問(wèn)題規(guī)模n成正比（約為cn）。因此，總的平均時(shí)間復(fù)雜度為T(n)=c*n*logn=O(nlogn)。16.解析思路：使用主定理或遞歸展開(kāi)法。方法一（主定理）：遞歸式為T(n)=2T(n/2)+n。比較a=2,b=2,p=1。計(jì)算n^(log_b(a))=n^(log_2(2))=n^1=n。由于p=1=n^(log_b(a)-ε)(取ε=0)，屬于主定理第二類情況。根據(jù)主定理，T(n)=Θ(n*(logn)^p)=Θ(n*(logn)^1)=Θ(nlogn)。方法二（遞歸展開(kāi)）：T(n)=n+2T(n/2)=n+2*(n/2+2T(n/4))=n+n+4T(n/4)=2n+4T(n/4)=2n+4*(n/4+2T(n/8))=2n+n+8T(n/8)=3n+8T(n/8)...=kn+2^kT(n/2^k)當(dāng)n/2^k=1時(shí)，k=log_2(n)。代入得：T(n)=n*log_2(n)+2^(log_2(n))*T(1)=n*log_2(n)+n*T(1)由于T(1)=1是常數(shù)，所以T(n)=Θ(nlogn)。五、綜合應(yīng)用題17.解析思路：分別執(zhí)行冒泡排序和快速排序。冒泡排序（初始序列：38,81,22,48,95,26,75,56,45,65）：第一輪（從前往后）：81>38,交換->38,81,22,48,95,26,75,56,45,65；...；95>45,交換->38,81,22,48,45,26,75,56,95,65。最后交換次數(shù)=9。第二輪：81>22,交換->38,22,81,48,45,26,75,56,95,65；...；95>56,交換->38,22,81,48,45,26,75,56,95,65。最后交換次數(shù)=7。...（繼續(xù)類似過(guò)程）關(guān)鍵狀態(tài)：經(jīng)過(guò)多輪后，序列逐漸變“冒泡”到前面，每次遍歷將最大（或當(dāng)前最大）元素移到末尾。此處省略完整過(guò)程，最終排序結(jié)果為：22,26,38,45,48,56,65,75,81,95?？焖倥判颍ɑ鶞?zhǔn)選擇第一個(gè)元素38，初始序列：38,81,22,48,95,26,75,56,45,65）：第一次劃分：i=0,j=9,temp=38。i<j,a[i]=81>temp,i++,j--;j=8,a[j]=45<temp,j++,i=1。i<j,a[i]=22<temp,i++,j--;j=7,a[j]=75>temp,i=1,j=7。i<j,a[i]=22<temp,i++,j--;j=6,a[j]=56>temp,i=1,j=6。i<j,a[i]=22<temp,i++,j--;j=5,a[j]=95>temp,i=1,j=5。i<j,a[i]=22<temp,i++,j--;j=4,a[j]=48>temp,i=1,j=4。i<j,a[i]=22<temp,i++,j--;j=3,a[j]=26<temp,i=2,j=3。i<j,a[i]=48>temp,i++,j--;j=2,a[j]=45<temp,i=3,j=2。i<j,a[i]=48>temp,i++,j--;j=1,a[j]=81>temp,i=4,j=1。i>=j,停止。交換a[0]和a[1]：a=[81,38,22,48,95,26,75,56,45,65]劃分結(jié)果：L=[81],V=[38],R=[22,48,95,26,75,56,45,65]對(duì)R=[22,48,95,26,75,56,45,65]進(jìn)行劃分（基準(zhǔn)選擇22）：i=0,j=7,temp=22。i<j,a[i]=48>temp,i++,j--;j=6,a[j]=95>temp,i=1,j=6。i<j,a[i]=26<temp,i++,j--;j=5,a[j]=75>temp,i=2,j=5。i<j,a[i]=56>temp,i++,j--;j=4,a[j]=45<temp,i=3,j=4。i<j,a[i]=45<temp,i++,j--;j=3,a[j]=65>temp,i=4,j=3。i>=j,停止。交換a[0]和a[3]：R=[45,48,95,26