2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在醫(yī)療資源分配中的貢獻考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述線性規(guī)劃模型的基本組成要素，并說明在醫(yī)療資源分配問題中，如何體現(xiàn)這些要素。二、某城市有兩個急救中心（A和B），負責(zé)覆蓋三個區(qū)域（1、2、3）。急救中心A每天可調(diào)派的急救車數(shù)量為4輛，急救中心B每天可調(diào)派的急救車數(shù)量為3輛。三個區(qū)域每天需要的急救車數(shù)量分別為3輛、2輛和2輛。從急救中心A到三個區(qū)域的急救車行駛時間（以小時計）分別為：到區(qū)域1為1.5小時，到區(qū)域2為0.8小時，到區(qū)域3為1.2小時。從急救中心B到三個區(qū)域的急救車行駛時間（以小時計）分別為：到區(qū)域1為1.0小時，到區(qū)域2為1.4小時，到區(qū)域3為0.9小時。目標(biāo)是確定從每個急救中心調(diào)派到每個區(qū)域的急救車數(shù)量，使得總的急救車行駛時間最小。請建立該問題的線性規(guī)劃模型。三、在醫(yī)療資源分配中，除了線性規(guī)劃模型，圖論模型也能發(fā)揮重要作用。請簡述網(wǎng)絡(luò)最大流模型在醫(yī)療物資（如藥品、血液）配送中的應(yīng)用，并說明模型中哪些要素可以代表醫(yī)療資源分配中的實際意義。四、某醫(yī)院需制定下一周（7天）的護士排班計劃。醫(yī)院共有A、B、C三種類型的護士，分別能勝任不同崗位的工作。崗位分為急診（E）、普通病房（P）和行政（O）。每天對各崗位的護士需求量如下表所示（單位：人）：|星期|急診(E)|普通病房(P)|行政(O)||:-----|:-------|:-----------|:-------||星期一|10|20|5||星期二|8|18|4||星期三|12|22|6||星期四|9|19|5||星期五|11|21|7||星期六|6|15|3||星期日|7|14|2|護士類型及工作能力：A型護士可勝任所有崗位，每天最多工作8小時；B型護士可勝任急診和普通病房，每天最多工作10小時；C型護士只勝任普通病房，每天最多工作8小時。A型護士每天工資為200元，B型護士為180元，C型護士為150元。醫(yī)院希望制定滿足需求且成本最低的排班計劃。請建立該問題的線性規(guī)劃模型。五、假設(shè)某地區(qū)有N個社區(qū)，需要分配M臺移動醫(yī)療檢測車（假設(shè)M≤N）到這些社區(qū)進行疾病篩查。每個社區(qū)i的需求量為di，分配到社區(qū)i的檢測車數(shù)量不能超過其承載能力ci。檢測車從中心倉庫出發(fā)，需要行駛到各個社區(qū)提供服務(wù)，再返回倉庫。已知從倉庫到每個社區(qū)i，以及社區(qū)i之間（包括返回倉庫）的行駛時間（或成本）為tij。目標(biāo)是確定每個社區(qū)獲得檢測車的數(shù)量，使得總的服務(wù)時間（或總成本）最小，同時滿足每個社區(qū)至少獲得一臺檢測車，且總檢測車數(shù)量不超過M。請構(gòu)建該問題的數(shù)學(xué)模型。模型中可以包含線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃或混合整數(shù)規(guī)劃等不同形式，請分別給出。六、在實際應(yīng)用中，醫(yī)療資源的需求往往具有隨機性。例如，急診室的病人到達數(shù)量通常服從泊松分布。請解釋如何利用隨機規(guī)劃或魯棒優(yōu)化等方法來處理醫(yī)療資源分配中的隨機不確定性（以急診資源分配為例說明）。與確定性模型相比，這些方法有哪些優(yōu)勢和潛在挑戰(zhàn)？試卷答案一、線性規(guī)劃模型的基本組成要素包括：決策變量（DecisionVariables），表示問題中需要求解的未知量；目標(biāo)函數(shù)（ObjectiveFunction），表示需要最大化或最小化的目標(biāo)，通常是決策變量的線性函數(shù)；約束條件（Constraints），表示問題中決策變量必須滿足的限制，通常是一組線性等式或不等式。在醫(yī)療資源分配問題中，決策變量可以是分配到不同地點或不同用途的資源數(shù)量（如分配給某個科室的病床數(shù)、分配給某個地區(qū)的醫(yī)護人員數(shù)量等）；目標(biāo)函數(shù)可以是最大化醫(yī)療服務(wù)效率、最小化資源總成本、最小化患者等待時間等；約束條件可以包括資源總量限制（如某個醫(yī)院的總床位數(shù)有限）、服務(wù)能力限制（如某個醫(yī)生每天最多接診人數(shù)）、需求滿足限制（如某個地區(qū)必須保證一定數(shù)量的醫(yī)護人員）、優(yōu)先級限制（如危重病人優(yōu)先獲得資源）等。二、決策變量：設(shè)xij為從急救中心i調(diào)派到區(qū)域j的急救車數(shù)量（i∈{A,B},j∈{1,2,3}）。目標(biāo)函數(shù)：最小化總的急救車行駛時間：MinZ=1.5x11+0.8x12+1.2x13+1.0x21+1.4x22+0.9x23約束條件：1.急救中心供應(yīng)約束：x11+x12+x13≤4(急救中心A)x21+x22+x23≤3(急救中心B)2.區(qū)域需求約束：x11+x21≥3(區(qū)域1)x12+x22≥2(區(qū)域2)x13+x23≥2(區(qū)域3)3.非負約束：xij≥0(所有i,j)三、網(wǎng)絡(luò)最大流模型可以用于醫(yī)療物資配送。在模型中，可以將醫(yī)院、倉庫、配送點（如各個科室或社區(qū)）表示為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，將可行的物資運輸路徑表示為邊。每條邊可以賦予容量，代表該路徑上單位時間或單位路程能夠通過的最大物資量，這可以基于道路狀況、運輸工具能力、倉庫容量等因素確定。源點代表物資的起點（如中心倉庫），匯點代表物資的終點（如所有需要物資的科室）。目標(biāo)是找到從源點到匯點的最大流量，即在滿足所有路徑容量限制和物資守恒（流入某節(jié)點的物資量等于流出量，除源點和匯點外）的條件下，使得從起點運輸?shù)浇K點的總物資量最大。這有助于確定最優(yōu)的物資配送方案，確保關(guān)鍵區(qū)域能夠獲得充足的物資支持，提高整個配送系統(tǒng)的效率和承載能力。模型中的源點是物資供應(yīng)中心，匯點是物資需求中心，中間節(jié)點是轉(zhuǎn)運站，邊的容量是運輸能力限制，最大流值代表最大物資輸送能力。四、決策變量：設(shè)ai,bi,ci分別為排班計劃中星期d（d=1,2,...,7）安排工作的A型、B型、C型護士數(shù)量。目標(biāo)函數(shù)：最小化總工資成本：MinZ=200*Σ(d=1to7)ai+180*Σ(d=1to7)bi+150*Σ(d=1to7)ci約束條件：1.急診崗位需求約束：ai+bi≥10(星期一)ai+bi≥8(星期二)ai+bi≥12(星期三)ai+bi≥9(星期四)ai+bi≥11(星期五)ai+bi≥6(星期六)ai+bi≥7(星期日)2.普通病房崗位需求約束：ai+bi+ci≥20(星期一)ai+bi+ci≥18(星期二)ai+bi+ci≥22(星期三)ai+bi+ci≥19(星期四)ai+bi+ci≥21(星期五)ai+bi+ci≥15(星期六)ai+bi+ci≥14(星期日)3.行政崗位需求約束：ai≥5(星期一)ai≥4(星期二)ai≥6(星期三)ai≥5(星期四)ai≥7(星期五)ai≥3(星期六)ai≥2(星期日)4.護士工作時長約束：8*ai≤8*Σ(d=1to7)ai(A型總工作小時不超過總天數(shù)*8)10*bi≤8*Σ(d=1to7)bi(B型總工作小時不超過總天數(shù)*10)8*ci≤8*Σ(d=1to7)ci(C型總工作小時不超過總天數(shù)*8)*(注：更準(zhǔn)確的約束應(yīng)限制每天工作小時，但題目只給類型最大工作小時，這里按總工時不超過類型*天數(shù)*最大小時數(shù)約束，實際建?？赡苄枰鼜?fù)雜的每天總工時約束)*5.非負約束：ai,bi,ci≥0五、模型1：線性規(guī)劃模型決策變量：設(shè)yij為分配到社區(qū)i的檢測車數(shù)量（i∈1,2,...,N;j∈1,2,...,M）。目標(biāo)函數(shù)：最小化總服務(wù)時間：MinZ=Σ(i=1toN)Σ(j=1toM)tij*yij約束條件：1.檢測車使用約束（每個社區(qū)至少分配一輛，且總數(shù)不超過M）：Σ(j=1toM)yij≥1(對于所有i∈1,2,...,N)Σ(i=1toN)yij≤M(對于所有j∈1,2,...,M)2.檢測車承載能力約束：yij≤ci(對于所有i∈1,2,...,N;j∈1,2,...,M)3.非負約束：yij≥0(對于所有i,j)模型2：整數(shù)規(guī)劃模型決策變量與目標(biāo)函數(shù)同模型1。約束條件同模型1，但增加了整數(shù)約束：yij∈Z?(對于所有i,j)Z?表示正整數(shù)集合。*(注：通常還隱含yij為0或1的二元選擇變量形式)*模型3：混合整數(shù)規(guī)劃模型決策變量：部分變量為連續(xù)變量tij*yij(乘積形式)，部分變量為整數(shù)變量yij。目標(biāo)函數(shù)與約束條件同模型1。需要指定哪些yij必須為整數(shù)（即至少分配一輛車時，yij為0-1變量或正整數(shù)）。六、在急診資源分配中，病人到達數(shù)量服從泊松分布，表明需求具有隨機性。處理方法：1.隨機規(guī)劃：將隨機變量（如病人到達率、處理時間）直接納入模型。模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件包含這些隨機變量。求解方法通常較復(fù)雜，可能得到期望值最優(yōu)解、最壞情況解或基于魯棒性理論的最優(yōu)解。優(yōu)勢是能更真實地反映不確定性；挑戰(zhàn)是模型復(fù)雜度高，求解困難。2.魯棒優(yōu)化：不直接假設(shè)隨機變量的具體分布，而是考慮其在