八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形證明教學(xué)案∵”、“<RichMediaReference>∴”的使用，條件的羅列，以及依據(jù)的注明）。證明：∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性質(zhì)）即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已證）∴△ABC≌△DEF（SSS）*小結(jié)：當(dāng)題目中出現(xiàn)線(xiàn)段和差關(guān)系時(shí)，要注意觀(guān)察圖形，利用等式性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。2.例題解析2（涉及角相等與SAS）：已知：如圖，AB=AD，∠BAC=∠DAC。求證：△ABC≌△ADC。*學(xué)生嘗試分析：*要證△ABC≌△ADC，已知AB=AD，∠BAC=∠DAC。*觀(guān)察圖形，兩個(gè)三角形有公共邊AC。*學(xué)生口述思路，教師點(diǎn)評(píng)并規(guī)范書(shū)寫(xiě)。（此例可由SAS證得）*提問(wèn)：若將已知條件改為“AB=AD，∠B=∠D”，能否證明全等？（引導(dǎo)學(xué)生思考AAS的應(yīng)用，或需要添加什么條件）探究二：輔助線(xiàn)的“橋梁”作用——構(gòu)造全等三角形*提出問(wèn)題：當(dāng)直接證明兩個(gè)三角形全等的條件不充足時(shí)，我們?cè)撛趺崔k？（引出輔助線(xiàn)）*例題解析3（輔助線(xiàn)添加：連接已知點(diǎn)）：已知：如圖，AB=CD，AD=CB。求證：AB∥CD。*引導(dǎo)分析：要證AB∥CD，可證什么？（內(nèi)錯(cuò)角相等，如∠ABD=∠CDB）。要證∠ABD=∠CDB，可證哪兩個(gè)三角形全等？（△ABD和△CDB）。已有AB=CD，AD=CB，還缺什么條件？（公共邊BD）。*教師點(diǎn)撥：這里BD這條線(xiàn)段，原圖中沒(méi)有明確畫(huà)出，但它是連接B、D兩點(diǎn)的重要橋梁。*學(xué)生嘗試完成證明，強(qiáng)調(diào)輔助線(xiàn)的作法描述：“連接BD”。*例題解析4（輔助線(xiàn)添加：截長(zhǎng)補(bǔ)短——視學(xué)生情況選講或作為后續(xù)拓展）：已知：如圖，在△ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)。求證：AB-AC>BD-CD。*思路引導(dǎo)：要證AB-AC>BD-CD，可考慮將AB-AC轉(zhuǎn)化為一條線(xiàn)段。在AB上截取AE=AC，連接DE。則BE=AB-AC。再證△AED≌△ACD（SAS），得DE=CD。此時(shí)，BD-CD=BD-DE。在△BDE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，BE>BD-DE，即AB-AC>BD-CD。*強(qiáng)調(diào)：輔助線(xiàn)的添加是為了創(chuàng)造新的條件，構(gòu)造全等三角形，從而解決問(wèn)題。添加輔助線(xiàn)時(shí)要結(jié)合已知條件和圖形特點(diǎn)，不能盲目。方法小結(jié)：1.證明三角形全等的基本思路：*觀(guān)察要證的線(xiàn)段或角在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。*尋找這兩個(gè)三角形全等所需的條件。*若條件不足，看能否通過(guò)圖形中的隱含條件（如公共邊、公共角、對(duì)頂角）或添加輔助線(xiàn)來(lái)獲得。2.常用輔助線(xiàn)作法（初步）：*連接兩點(diǎn)構(gòu)造全等。*遇角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)或在角的兩邊截取相等線(xiàn)段。*遇中線(xiàn)，可倍長(zhǎng)中線(xiàn)。（后續(xù)會(huì)詳細(xì)學(xué)習(xí)）第四環(huán)節(jié)：典例精析，深化理解(約10分鐘)*出示綜合性稍強(qiáng)的例題：已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。求證：DE=AD+BE。*引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，小組討論：*要證DE=AD+BE，DE可看作哪兩條線(xiàn)段的和？（DC+CE）*能否證AD=CE，DC=BE？*觀(guān)察△ADC和△CEB，它們是否全等？需要哪些條件？（∠ADC=∠CEB=90°，AC=BC，還需∠ACD=∠CBE或∠DAC=∠ECB）*如何證∠ACD=∠CBE？（利用同角的余角相等：∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，所以∠ACD=∠CBE）*學(xué)生代表口述證明思路，教師點(diǎn)評(píng)并完善。*強(qiáng)調(diào)：本題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定（AAS）、性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，是一道經(jīng)典的“一線(xiàn)三垂直”模型題。第五環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)，鞏固提升(約15分鐘)*基礎(chǔ)題（必做）：1.已知：如圖，AD=AE，∠1=∠2，∠B=∠C。求證：AB=AC。2.已知：如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD。求證：BC=AD。*提高題（選做）：3.已知：如圖，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F(xiàn)是CD中點(diǎn)。求證：AF⊥CD。*學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，對(duì)共性問(wèn)題進(jìn)行集中講解。鼓勵(lì)學(xué)生上臺(tái)板演，展示解題過(guò)程，師生共同評(píng)議。第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)，反思升華(約5分鐘)*引導(dǎo)學(xué)生回顧：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？你有哪些收獲？*證明三角形全等的常用判定方法。*分析證明題思路的方法（執(zhí)果索因、由因?qū)Ч?輔助線(xiàn)的初步認(rèn)識(shí)和作用。*證明過(guò)程的規(guī)范書(shū)寫(xiě)。*教師強(qiáng)調(diào)：三角形證明是幾何入門(mén)的關(guān)鍵，需要多思考、多練習(xí)、多總結(jié)。要養(yǎng)成“言必有據(jù)，步步有理”的嚴(yán)謹(jǐn)思維習(xí)慣。遇到難題不畏懼，從已知出發(fā)，聯(lián)想所學(xué)，逐步攻克。第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，拓展延伸(約2分鐘)1.必做題：教材對(duì)應(yīng)練習(xí)題中選取2-3道基礎(chǔ)證明題，要求規(guī)范書(shū)寫(xiě)。2.選做題：思考并嘗試解決課堂上未完成的提高題，或補(bǔ)充一道涉及輔助線(xiàn)（如倍長(zhǎng)中線(xiàn)）的題目。3.預(yù)習(xí)：三角形證明的應(yīng)用——線(xiàn)段和差、角的和差證明。八、板書(shū)設(shè)計(jì)三角形證明的思路與方法1.判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL(強(qiáng)調(diào)條件)2.性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。3.證明思路：*找目標(biāo)三角形*尋已知條件（顯性、隱性）*缺啥補(bǔ)啥（輔助線(xiàn)）4.輔助線(xiàn)（初步）：*連接兩點(diǎn)*截長(zhǎng)/補(bǔ)短5.例題解析1（板書(shū)規(guī)范過(guò)程）*已知：...*求證：...*證明：∵...（已知）∴...（等式性質(zhì)）在△...和△...中...=...（已知）...=...（已證）...=...（公共邊）∴△...≌△...（SSS）6.方法小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，教師提煉）九、教學(xué)反思(課后填寫(xiě))*本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況如何？*學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，哪些地方學(xué)生理解較好，哪些地方仍存在困難？*例題和練習(xí)的選取是否恰當(dāng)，難度梯度是否合理？*輔助線(xiàn)的引入是否自然，學(xué)生接受程度如何？*課堂互動(dòng)氛圍如何，學(xué)生參與度高嗎？*教學(xué)方法和手段的運(yùn)用是否有效？有哪些