專題8.6雙曲線（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】...........................................................................................................................4

【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】...................................................................................................................................6

【題型3曲線方程與雙曲線】...................................................................................................................................8

【題型4求雙曲線的軌跡方程】.............................................................................................................................10

【題型5雙曲線的焦點、焦距、長軸、虛軸】.....................................................................................................13

【題型6雙曲線中的焦點三角形問題】.................................................................................................................14

【題型7雙曲線的漸近線方程】.............................................................................................................................17

【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】.........................................................................................................19

【題型9與雙曲線有關(guān)的最值問題】.....................................................................................................................21

【題型10雙曲線的實際應(yīng)用】...............................................................................................................................23

1、雙曲線

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考I卷：第16題，5

分

2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8雙曲線的方程及其性質(zhì)是圓錐

題，5分曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重

(1)了解雙曲線的定義、幾何圖2023年北京卷：第12題，5分點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，

形和標(biāo)準(zhǔn)方程2023年天津卷：第9題，5分主要考查雙曲線的定義、方程與簡單

(2)掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范2024年新高考I卷：第12題，5幾何性質(zhì)等知識，主要以單選題、多

圍、對稱性、頂點、漸近線、分選題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大，

離心率)2024年全國甲卷（理數(shù)）：第5復(fù)習(xí)時要加強這方面的訓(xùn)練.

(3)了解雙曲線的簡單應(yīng)用題，5分與向量等知識結(jié)合綜合考查也

2025年全國一卷：第3題，5分是高考命題的一個趨勢，需要學(xué)會靈

2025年全國二卷：第11題，6分活求解.

2025年北京卷：第3題，4分

2025年天津卷：第9題，5分

知識點1雙曲線的方程及其性質(zhì)

1．雙曲線的定義

雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫作雙

曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.

2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：

雙曲線在坐標(biāo)

系中的位置

標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的關(guān)系

3．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

雙曲線的一些幾何性質(zhì)：

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R

對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)

半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b

離心率

漸近線方程

4．雙曲線的離心率

(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.

知識點2雙曲線方程的求解方法

1．雙曲線方程的求解

(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，

b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或

，再根據(jù)條件求解.

(3)與雙曲線有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為.

知識點3雙曲線的焦點三角形

1．雙曲線的焦點三角形

(1)焦點三角形的概念

設(shè)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1,F2為雙曲線的焦點，當(dāng)點P,F1,F2不在同一條直線上時，它們構(gòu)成一個焦點三角形，

如圖所示.

(2)求雙曲線中的焦點三角形△PF1F2面積的方法

方法一：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|-|PF2||=2a；

②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；

③通過配方，利用整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值；

④利用公式，求得面積.

方法二：利用公式，求得面積.

(3)焦點三角形的常用結(jié)論

若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，其

中θ為.

知識點4雙曲線的離心率或其范圍的解題策略

1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法

(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.

知識點5雙曲線中的最值問題的解題策略

1．雙曲線中的最值問題

求解此類問題一般有以下兩種思路：

(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何

法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.

(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一

個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三

角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.

【方法技巧與總結(jié)】

1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.

2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，.

3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.

4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).

【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】

【例】（高二下河南階段練習(xí)）雙曲線：上的點到右焦點的距離為，則它到左焦

124-25··2219

??

點的距離為（）?25?144=1?

A．9B．7C．9或29D．7或19

【答案】C

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義來求解點到左焦點的距離.

【解答過程】對于雙曲線，?可得，則

22.

??2

設(shè)雙曲線的左右焦點分別?為:25?144，=已1知點到?右=焦2點5的?距=離5為19，即.

根據(jù)雙曲線的定義?1,?2?，則有?2.|??2|=19

||??1|?|??2||=2?=10|??1?19|=10

可得或.

當(dāng)??1?19=1時0，??1?19=?10；

當(dāng)??1?19=10時，??1=10+19=29.

所以??點1?到1左9焦=點?1的0距離為??1或=?1.0+19=9

故選：C?.929

【變式】（北京模擬預(yù)測）雙曲線：，焦距為，左右焦點分別為，，

1-12025··2210M

??

2

?1612

為E上一點滿足，則（?）?=1?>0??

A．13??1B=．71或1?3?2=C．10D．4或10

【答案】A

【解題思路】根據(jù)雙曲線焦距可求出a的值，結(jié)合題意判斷M點位置，利用雙曲線定義即可求得答案.

【解答過程】由題意知雙曲線：，焦距為，

2210

??

2

故，則???16=1?>0，

222

由2?=10,?=5?=?，??=25?，1得8=9,∴?=或3，

結(jié)合??1???2=2?=6，則?M?1在=雙7曲線左?支?上2，=1??2=13

由于??1=7<?，+故?=8，

故選：1A<.?+?=8??2=13

【變式】（高二上云南曲靖期末）雙曲線上一點到它的一個焦點的距離為，那么點

1-224-25··24

2?

到另一個焦點的距離為（）??16=1?

?A．2B．6C．2或6D．4

【答案】B

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義求出點到另一個焦點的距離，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)舍去不符合條件的值.

【解答過程】雙曲線，?

2.

2?

設(shè)雙曲線的兩個焦點?為?16，=1，已?知=1，由雙曲線定義，即

.?1?2|??1|=4||??1|?|??2||=2?=2×1=2|4?

|當(dāng)??2||=2時，可得；

當(dāng)4?|??2|=2時，可得|??2|=4?2=2.所以或.

在雙4曲?線|??中2|，=雙?曲2線上的點到|?焦?2點|=的4距+離2存=在6最小值|?，?2這|=個6最小2值為.

???

對于雙曲線，可得

22.

??

2222

14

那么?=1，因為?=1，+4=1+，1所6以=17.

這就說??明?雙=曲線17上?的1點到焦點1的6距=離4不可17能>為16，所以要1舍7去?1>4?1=這3個>2值.

因此，即點到另一個焦點的距離等于2.|??2|=2

故選：|??B2.|=6?6

【變式】（河北邢臺二模）若點是雙曲線：上一點，，分別為的左、右焦點，

1-32024··PC22C

??

16912

則“”是“”的（）?=1??

?A?．1既=不8充分也??不2必=要1條6件B．必要不充分條件

C．充要條件D．充分不必要條件

【答案】D

【解題思路】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.

【解答過程】，

22

當(dāng)點在左支?時=，4,?=的3,最?=小值4為+3=5，

當(dāng)點?在右支時，??1的最小值為???=1，

因為?，則?點?1在雙曲線的左?+支?上=，9

由雙曲??線1的=定8義?，解得；

當(dāng)，點??在2左?支?時?1，=??2?；8=在2右?支=時8，??2=；1推6不出；

故為??充2分=不1必6要條?件，??1=8??1=24??1=8

故選：D.

【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【例】（北京海淀一模）若雙曲線上的一點到焦點的距離比到焦點

22025··22

??

22

的距離大，則該雙曲線的方程為（??）?=1(?>0,?>0)(?5,0)

(5,0)．?．．．

A2B2C2D2

?2?22?2?

【答案】D4??=12??=1??2=1??4=1

【解題思路】根據(jù)題意及雙曲線的定義可知，，再結(jié)合，求出，即可求出結(jié)果.

222

【解答過程】由題知，根據(jù)題意，由雙2?曲=線?的定?=義知5，?又+?=?，?,?

222

所以，得到?=5，所以雙曲線的方程為2?=?，?+?=?

2

2222?

5?=5?=1,?=4??4=1

故選：D.

【變式】（江蘇淮安模擬預(yù)測）雙曲線與雙曲線：的漸近線相同，且過點，

2-12025··2

?2

12

則雙曲線的方程為（）??4??=12,2

1

．?．

A2B2

?22?

4??=1??4=1

．．

C22D

??232

【答案】B2?2=1??2?=1

【解題思路】利用待定系數(shù)法設(shè)的方程為，，代入即可得到答案

2.

?2

?14??=??≠02,2

【解答過程】設(shè)雙曲線的方程為，，

2

?2

?14??=??≠0

代入點，則，

2

22

2,24?2=?=?1

則方程為，即

22.

?22?

故選：B.4??=?1??4=1

【變式】（寧夏石嘴山模擬預(yù)測）雙曲線與橢圓有公共的焦點，且的離心率是，則

2-22025··222

??

62

C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）?+=1?

．．．．

A2B2C22D22

2?2?????

【答案】A??3=1??3=14?12=14?12=1

【解題思路】根據(jù)橢圓的焦點坐標(biāo)求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率求出，根據(jù)關(guān)系求出

2

后即可得解.??,?,??

【解答過程】橢圓的焦點為，

22

??

所以雙曲線的焦點6+為2=1且焦點在±軸2,上0，即，

因為的離心?率是2，所±以2,0，即?，?=2

?

??=?=2?=1

所以，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2.

2222?

故選：?A=.???=3???3=1

【變式】（四川雅安一模）已知為雙曲線的左、右焦點，點在

2-32025··22

??

1222

上，若，?,?的面積為?:??，?則=1的(?方>程0為,?（>0)）??

?1?=2?2?∠??1?2=30°,△??1?263?

．．

A22B22

????

9?6=13?6=1

．．

C22D22

????

【答案】B6?9=16?3=1

【解題思路】先根據(jù)雙曲線的定義求出，在中，利用正弦定理求出，再根據(jù)三角

形的面積公式求出，利用勾股定理可?求2?得,?，1?進而可△求?出?1答?2案.??2?1

22

【解答過程】因為?，所以?，

又因為點在上，?所1?以=2?2??1?，>?2?

即??，?所1?以??2?=2?，

2221

在2???中?，?由正=弦2?定理得??=2?,??=，4?

??2??1

△??1?2sin∠??1?2=sin∠??2?1

所以，

??1sin30°

212

又sin∠???=??，所=以1，故，

212112

則0°<∠???<180°∠???=90°，∠所?以??=6，0°

122

△??1?212

則?=2????sin60°=23?=63?=3，所以，

22222222

所以?1?2=2?=，??1???2=16??4?=12?=36?=9

222

所以?的=方?程?為?=6

22.

??

故選：?B.3?6=1

【題型3曲線方程與雙曲線】

【例】（新疆模擬預(yù)測）是方程表示雙曲線的（）

32025··“”“22”

??

A．充分不必要條件?>4B．?必?要1?不?充?4分=條1件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】根據(jù)給定條件，求出方程表示雙曲線的充要條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【解答過程】表示雙曲線時，

22

??

等價于??1???4=1，解得或.

因為由??1可?推?出4>0或?，>但4是由?<1或，不能推出，

所以?>4是方程?>4?<1表示雙曲線?>的4充分?不<必1要條件?>4

“”“22”.

??

故選：?A>.4??1???4=1

【變式】（高二上河南許昌期末）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）

3-124-25··22

??

A．或B．?+4+??7=1?

C．?<?7或?>4D．?7<?<4

【答案】?D<?4?>7?4<?<7

【解題思路】對雙曲線的焦點位置進行分類討論，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值

范圍.??

【解答過程】若方程表示的曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得；

22

??

?+4>0

?+4+??7=1??4<?<7

若方程表示的曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，?無?解7<0

22.

??

?+4<0

?+4+??7=1?

綜上所述，.??7>0

故選：D.?4<?<7

【變式3-2】（24-25高二上·浙江·期中）對于方程，表示的曲線，下列說法正

22ππ

確的是（）?+?tan?=1,??∈?2,?2?

A．曲線只能表示圓、橢圓或雙曲線

B．若為?負(fù)角，則曲線為雙曲線

C．若?為正角，則曲線?為橢圓

D．若?為橢圓，則曲線?的焦點在軸上

【答案】B???

【解題思路】對于A，根據(jù)的取值，即可判斷；對于B若為負(fù)角，即，結(jié)合雙曲線標(biāo)準(zhǔn)

π

方程的形式，即可判斷；?=0??2<?<0

對于C，當(dāng)時，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷；對于D，變形后結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，

π

?=4

即可判斷選項.

【解答過程】對于A，當(dāng)，即時，曲線的方程為，即，

2

此時曲線為兩條平行的?直=線0，故Ata錯n?誤=；0??=1?=±1

對于B，若?為負(fù)角，即，則，

π

??2<?<0tan?<0

此時曲線為雙曲線，故B正確；

對于C，若?為正角，即，當(dāng)時，，

ππ

?0<?<2?=4tan?=1

則曲線的方程為1，是圓，故C錯誤；

22

對于，?若為橢圓?，+當(dāng)?=，，又可變形為，

D2

1?

2221

?0<tan?<1tan?>1?+?tan?=1?+tan?=1

則為焦點在軸上的橢圓，故D錯誤．

故選?：B.?

【變式】（安徽蚌埠模擬預(yù)測）已知曲線，則是曲線的焦點在

3-32025··22“”“C

??

4?

x軸上”的（）?:+=1(?≠0)?∈(0,4)

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】若，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓；當(dāng)曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線時.

【解答過程】若?∈(0,4)，則曲線表示焦點在軸上的橢圓，故充分性成立；?<0

22x

??

若曲線C的焦點?在∈x(0軸,4上)，也有可?能:4是+?=1，此時曲線C表示焦點在x軸上的雙曲線，故必要性不成立，

故選：A.?<0

【題型4求雙曲線的軌跡方程】

【例4】（2024·廣西柳州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別是，，直線，

相交于點，且它們的斜率之積是，則點的軌跡方程為?（,?）?5,05,0????

4

?9?

．．

A22B22

?9??3?

25?100=1?≠±525?100=1?≠±5

．．

C22D22

?3??9?

【答案】2A5?100=1?≠±525?100=1?≠±5

【解題思路】設(shè)點,由題意列出方程，化簡整理即得點的軌跡方程.

【解答過程】依題意?(，?,設(shè)?)點，由?，

2

???4

2

?(?,?)???????=?+5???5=??25=9,(?≠±5)

可得，即得點的軌跡方程為

22.

22?9?

故選：4?A.?9?=100,(?≠±5)?25?100=1?≠±5

【變式4-1】（2025·黑龍江遼寧·模擬預(yù)測）若圓上恰有三個點到直線

22

的距離為1，則動點的軌跡?:方?程+是?（?6）?=0??+??+1=0?≠

0,??≠05?+3,?5?

A．B．

222

??2532

4?5=14?+5?5?=1

．．

CD22

2522??

【答案】A4??5?=15?4=1

【解題思路】由圓上恰有三個點到直線的距離為，得到圓心到直線的距離恰好為，求

得?，設(shè)??+，?得?到+1=0，代1入方程，即可得到點2的軌跡

??3?

22?=5?+3

5??4?+6?+1=0?=5,?=55?+3,?5?

方程.?=5?

【解答過程】由圓，可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，

2222

所以圓心，?半:?徑+為??6，?=0(??3)+?=9

若圓上恰?有(3,三0)個點到直線?=3的距離為，

則滿足?圓心到直線的距離恰?好?+為??，+即1=0，即1，

3?+122

22

2?+?=25??4?+6?+1=0

設(shè)，則，

??3?

?=5?+3

?=5,?=5

代入?=5?，可得，

22??32?2??3

5??4?+6?+1=05?(5)?4?(5)+6?(5)+1=0

整理得，即點的軌跡方程為

2222.

????

故選：A4.?5=15?+3,?5?4?5=1

【變式】（重慶沙坪壩模擬預(yù)測）已知雙曲線與直線有唯一的公

4-22025··2

2?

共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于??4=1兩點．當(dāng)?:點?=運??動+時?，?點≠±2的軌跡方

程是（?）??????,0,?0,????,?

．．

A2B2

?2?2

4+?=1?≠04??=1?≠0

．．

C22D22

?4??4?

【答案】2D5+25=1?≠025?25=1?≠0

【解題思路】根據(jù)直線與雙曲線相切，推出，，再求出,消去可得結(jié)果.

22?4

??+4=??(??,??)?,??,?

【解答過程】因為雙曲線與直線有唯一的公共點，

2

2?

所以直線與雙曲線相切，??4=1?:?=??+??≠±2?

?

聯(lián)立，消去并整理得，

?=??2+?222

2??(4??)??2??????4=0

所以??4=1，即，

222222

將Δ=4??代+入4(4??)(?+4)=0?+4，=得?，

22222222

得?+4=?，因(4為??)??，2??????，4所=以0?，???2?????=0

222

所以(??+?)，=0?≠±2?+4=?，即?≠0，

22

?????4?4

由?=???可=知????，+?=?=???(??,??)

22

所以?過+點4=且?與垂直?≠的直0線為，

41?

???+?=??(?+?)

令，得，令，得，

5?5

?=0?=???=0?=??

則，，

5?5

?(??,0)?(0,??)

由5?，得，，

?=??5?

5?=???=?

?=??

代入，得，即，

222

25??4?

2222

?+4=??+4=?25?25=1(?≠0)

故選：D.

【變式】（浙江一模）雙曲線的另一種定義：動點與定點的距離和它與定直線：

4-32025··2

?

??,???,0??=?

的距離的比是常數(shù)，則點的軌跡是一個雙曲線.動點與定點的距離和它與定直線：

?

?0<?<????3,0?

的距離的比是，則點的軌跡方程為（）

3

?=33?

．．

A2B2

?22?

2??=1??2=1

．．

C2D2

?22?

【答案】B2??=1??2=1

【解題思路】根據(jù)給定條件，列出方程并化簡得答案.

【解答過程】設(shè)，依題意，22，化簡整理得，

(??3)+?2

2?

3

2

?(?,?)|??3|=3??=1

所以點的軌跡方程為

2.

2?

故選：B?.??2=1

【題型5雙曲線的焦點、焦距、長軸、虛軸】

【例