專題8.3圓的方程（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程】...................................................................................................................3

【題型2由圓的方程確定圓心和半徑】...................................................................................................................5

【題型3二元二次方程表示圓的條件】...................................................................................................................7

【題型4圓過定點問題】...........................................................................................................................................8

【題型5判斷點與圓的位置關(guān)系】.........................................................................................................................10

【題型6與圓有關(guān)的軌跡問題】.............................................................................................................................11

【題型7圓系方程】.................................................................................................................................................13

【題型8定點到圓上點的最值（范圍）】.............................................................................................................15

1、圓的方程

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年全國乙卷（文數(shù)）：第

11題，5分從近幾年的高考情況來看，高考對

(1)理解確定圓的幾何要素，在

2023年上海卷：第7題，5分圓的方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、

平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的

2024年北京卷：第3題，4分填空題的形式考查，難度不大；有時也

標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

2024年天津卷：第12題，5會與距離公式、圓錐曲線等結(jié)合考查，

(2)能根據(jù)圓的方程解決一些簡

分復(fù)習(xí)時應(yīng)熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般

單的數(shù)學(xué)問題與實際問題

2025年全國一卷：第7題，5方程的求法，學(xué)會靈活求解.

分

知識點1圓的定義和圓的方程

1．圓的定義

圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓(定點為圓心,定長為半徑).

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(r>0)叫作以點(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個字母(待定)，因此在一

般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3．圓的一般方程

(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的一般方程中含有三個字母(待定)，因此在

一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點，將三點坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；

②已知圓上兩點，圓心所在的直線，將兩個點代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線方程，

求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).

4．二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程，對比圓的一般方程

，我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件：

二元二次方程表示圓的條件是.

5．圓的參數(shù)方程

圓(r>0)的參數(shù)方程為，其中為參數(shù).

6．求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.

知識點2點與圓的位置關(guān)系

1．點與圓的位置關(guān)系

(1)如圖所示，點M與圓A有三種位置關(guān)系：點在圓上，點在圓內(nèi)，點在圓外.

(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為

.平面內(nèi)一點.

判斷方法

位置關(guān)系

幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)

222

點在圓上|MA|=r(x0-a)+(y0-b)=r

222

點在圓內(nèi)|MA|<r(x0-a)+(y0-b)<r

222

點在圓外|MA|>r(x0-a)+(y0-b)>r

知識點3軌跡方程

1．軌跡方程

求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量

x,y之間的方程.

(1)當(dāng)動點滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時，常采用直接法；當(dāng)動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如

圓)時，常采用定義法；當(dāng)動點隨著另一個在已知曲線上的動點運(yùn)動時，可采用代入法(或稱相關(guān)點法).

(2)求軌跡方程時，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等.

2．求軌跡方程的步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點M的坐標(biāo)；

(2)列出關(guān)于x,y的方程；

(3)把方程化為最簡形式；

(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；

(5)作答.

【方法技巧與總結(jié)】

1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為.

2．圓心在過切點且與切線垂直的直線上.

3．圓心在任一弦的垂直平分線上.

【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程】

【例1】（2025·海南·模擬預(yù)測）下列方程中表示圓心在直線上，半徑為，且過原點的圓的是（）

A．B．?=?2

2222

C．(??1)+(??1)=2D．(??1)+(?+1)=2

2222

【答案】(D??1)+(?+1)=2(??1)+(??1)=2

【解題思路】假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意列出方程求解圓心和半徑即可.

【解答過程】因為圓心在上，所以設(shè)圓心為,

因為圓的半徑為，?=?(?,?)

2

所以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,

22

因為該圓過原點，(???)+(???)=2

所以，

22

解得(??),+(??)=2

所以圓?=心±為1或,

當(dāng)圓心為(1,時1)，圓(?的1標(biāo),?準(zhǔn)1方)程為，D對;

22

當(dāng)圓心為(1,1)時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方(程??為1)+(??1)=2.

22

故選：D.(?1,?1)(?+1)+(?+1)=2

【變式1-1】（24-25高二上·河南洛陽·期中）已知，，，則的外接圓方程為（）

A．B．?0,0?4,3?1,?3△???

2222

C．?+??4??3?=0D．?+???+3?=0

2222

【答案】?D+??5??5?=0?+??7?+?=0

【解題思路】設(shè)的外接圓方程為，代入三點坐標(biāo)求出系數(shù)即可.

22

【解答過程】設(shè)△???的外接圓方程為?+?+??+??+?=0，

22

因為，△??，?，?+?+??+??+?=0

?0,0?4,3?1,?3

所以，解得，

22?=0

42+3+24?+3?+?=0?=?7,?=1,?=0

所以1+?的3外接+圓?方?程3?為+?=0.

22

故選：△D?.???+??7?+?=0

【變式1-2】（2025·吉林長春·三模）經(jīng)過，，三個點的圓的方程為（）

A．?1,1B．??1,1?0,2

2222

C．?+1+??1=2D．??1+??1=2

2222

【答案】?C+??1=1?+?+1=1

【解題思路】設(shè)經(jīng)過，，三個點的圓的方程為，代入三點

2222

坐標(biāo)可得答案.????+?+??+??+?=0?+??4?>0

【解答過程】設(shè)經(jīng)過，，三個點的圓的方程為

???，

2222

?+?+??+??+?=0?+??4?>0

由題意可得，解得，

1+1+?+?+?=0?=0

1+1??+?+?=0?=?2

0+4+2?+?=0?=0

且滿足，

22

所以經(jīng)過?+，?，?4三?個=點4>的圓0的方程為，

22

即為???.?+??2?=0

22

故選：?C+.??1=1

【變式1-3】（2025·海南·模擬預(yù)測）如圖是一個中國古典園林建筑中常見的圓形過徑門，已知該門的最高點

到地面的距離為米，門在地面處的寬度為米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標(biāo)系中，以地面所在的直

線為軸，過圓心4的豎直直線為軸，則門的輪4廓所在圓的方程為（）???

??

A．B．

22

23252325

?+??2=4?+?+2=4

C．D．

22

259259

【答案】?A+??2=4?+?+2=4

【解題思路】利用勾股定理可構(gòu)造方程求得半徑，進(jìn)而得到圓心坐標(biāo)，由此可得圓的方程.

【解答過程】設(shè)該圓的半徑為，如圖，?

?

由題意知：，，，

由勾股定理得??：=4????=??，?即=2，解得：，

222225

??=??+???=4??+4?=2

，即圓的圓心為，則圓的方程為.

2

332325

故∴選??：A=.4??=20,2?+??2=4

【題型2由圓的方程確定圓心和半徑】

【例2】（2025·浙江·一模）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）

22

A．?:?+??2?+B．4?=0??

?1,?2,?=5?1,?2,?=5

C．D．

【答案】?A?1,2,?=5??1,2,?=5

【解題思路】將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【解答過程】圓，即，

2222

它的圓心坐標(biāo)?和:?半徑+?分?別2為?+4?=0?:.??1+?+2=5

故選：A.???1,?2,?=5

【變式2-1】（2025·浙江臺州·二模）已知圓M：，則圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）

22

A．，4B．，4C．??1，+2?+2=D．4，2

【答案】D1,?2?1,2?1,21,?2

【解題思路】利用給定圓的方程直接求出圓心坐標(biāo)及半徑即得.

【解答過程】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.

22

故選：D.??1+?+2=41,?22

【變式2-2】（2025·山西晉中·三模）已知圓C的一般方程為，則圓C的圓心坐

22

標(biāo)為（）?+??6?+4?+12=0

A．B．C．D．

【答案】C3,2?3,23,?2?3,?2

【解題思路】由一般方程得到標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【解答過程】由，

22

得?+??6，?+4?+12=0

22

可知?圓?3C的+圓?心+坐2標(biāo)為=1．

故選：C.3,?2

【變式2-3】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圓的方程為，則圓的圓心和半徑分

22

別是（）??+??2??4=0?

A．，B．，

C．?1,0，?=5D．?1,0，?=5

【答案】?B2,0?=5?2,0?=5

【解題思路】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而求出其圓心和半徑.

【解答過程】圓：?的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

2222

所以圓的圓心?和半徑?分+別?是?2??4，=0.(??1)+?=5

??1,0?=5

故選：B.

【題型3二元二次方程表示圓的條件】

【例3】（2025·貴州黔南·三模）“關(guān)于，的方程：表示圓”是“”的（）

22

A．充分不必要條件??B．必?要不+充?分+條??件+2?+2=0?>2

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解題思路】根據(jù)方程表示圓求出參數(shù)的取值范圍，再由充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【解答過程】若關(guān)于，的方程：表示圓，則，解得或

2222

，???+?+??+2?+2=0?+2?4×2>0?>2?<?

2因為真包含于，

所以“2關(guān),+于∞，的方程：?∞,?2∪2,+∞表示圓”是“”的必要不充分條件.

22

故選：B.???+?+??+2?+2=0?>2

【變式3-1】（2025·吉林·三模）已知曲線C：表示圓，則m的取值范圍是（）

22

A．B．?C．+?+2???2?+2D=．0

【答案】D?∞,?11,+∞?1,1?∞,?1∪1,+∞

【解題思路】將一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程后可求參數(shù)的取值范圍.

【解答過程】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，

222

故即或，?+?+??1=??1

2

故選?：>D1.?<?1?>1

【變式3-2】（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）“”是“方程表示圓”的（）

222

A．充分不必要條件?≠B0．必要不充?分+條?件?2????=0

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題意，化為圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合圓的方程，以及充分條件、

2222

必要條件的判定方法，即可求解.(???)+?=?+?

【解答過程】由方程，可得，

2222222

若時，可得?+??，2?此?時?方?程=0(???)+?=表?示+圓?，即充分性成立；

222222

反之?≠：0方程?+?>0表示圓(?時?，?)+?=?+?

2222

例如：當(dāng)(???)+時?，=方?程+可?化為也可以表示圓，所以必要性不成立，

222

?=0,?≠0?+?=?

所以“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.

222

故選：?A≠.0?+??2????=0

【變式3-3】（24-25高一下·重慶·期末）若方程表示圓，且圓心位于第

222

四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）?:?+??2??+2?+2??1=0

A．?B．C．D．

【答案】C?2,22,+∞0,20,2

【解題思路】將方程化成，再利用條件列不等式求解即可.

222

【解答過程】因為方程???+?+1=2??可變形為，

222222

由題知，解?:得?+??2??，+實2?數(shù)+的2?取?值1范=圍0是.???+?+1=2??

2

2??>00<?<2?0,2

故選：C.?>0

【題型4圓過定點問題】

【例4】（24-25高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點為（）

A．?:?B2．+?2+???2???5=0

C．?2,1,(2,?1)D．?1,?2,(2,1)

【答案】D?1,?2,(1,2)?2,?1,(2,1)

【解題思路】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.

【解答過程】圓的方程化為，

2222

由?:?得+?+?或??2???5，=0???2?+?+??5=0

2??2?=0?=2?=?2

故圓?+恒?過定?點5=0?=1．?=?1

故選：?D．?2,?1,2,1

【變式4-1】（24-25高二上·浙江溫州·期中）點是直線上任意一點，是坐標(biāo)原點，則

以為直徑的圓經(jīng)過定點（）??,?2?+??5=0?

??A．和B．和C．和D．和

【答案】D0,01,10,02,20,01,20,02,1

【解題思路】設(shè)點，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標(biāo).

【解答過程】設(shè)點??,5?2?，則線段??的中點為，

?5?2?

??,5?2????2,2

圓的半徑為，

222

?+5?2?5??20?+25

???=4=2

所以，以為直徑為圓的方程為，

2

?25?2?25??20?+25

即??，即??2+??2=4，

2222

由?+????+2?，?解5得?=0或?+?，?5?+?2???=0

22??2?=0?=0?=2

因此?，+以??為5?直=徑0的圓經(jīng)過定?=點0坐標(biāo)為?=1、.

故選：D.??0,02,1

【變式4-2】（24-25高二下·上海徐匯·期中）對任意實數(shù)，圓恒過定

22

點，則定點坐標(biāo)為．??+??3???6??+9??2=0

【答案】或

17

1,15,5

【解題思路】由已知得，從而，由此能求出定點的坐標(biāo)．

22

22?+??2=0

?+??2?(3?+6??9)?=0

【解答過程】解：，即3?+6??9=0，

2222

令?，+解?得?3???，6??+，9或??2=，0，?+??2?(3?+6??9)?=0

2217

?+??2=0

?=1?=1?=5?=5

所以3?定+點6的?坐?9標(biāo)=是0或．

17

1,15,5

故答案為：或.

17

1,15,5

【變式4-3】（24-25高三下·上海閔行·期中）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點、、

2

，則的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為?.=?+??+???

【?答案】△???

【解題思路0,】1設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，根據(jù)題意設(shè)圓心為

2

?=?+??+???0,????1,0??2,0

，求出，寫出圓的方程，可得出關(guān)于、的方程組，即可得出圓所過定點的坐標(biāo).

??+1

【?解?答2過,?程】設(shè)拋?物=線2?交軸于點?，交?軸于點、?，

2

由題意可知?=?，+由?韋?+達(dá)?定理?可得?0,?，???，1,0??2,0

2

1212

所以，線段Δ=的?中?點4為?>0，設(shè)圓心為?+?，=????=?

??

???2,0??2,?

由可得，解得，

2222

22?2?2?1+??1??

??=???1+2+?=4+????=?2?

，則，則，

2

2?????+11??

∵?1+??1+?=0?=?2?=2???=2

所以，圓的方程為，

22

?2?+12?+1??

整理可得??+2+??2=，4

22

?+???+??+?1??=0

方程組22的解為.

?+???=0

?=0

?=0?=1

因此，1?的?外=接0圓恒過的定點坐標(biāo)為.

故答案為△：???.0,1

0,1

【題型5判斷點與圓的位置關(guān)系】

【例5】（24-25高二上·安徽·期中）若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是

22

（）?2,1?+?+???+?=0?

A．B．

?2,+∞?∞,?2

C．D．

11

?2,2?∞,?2∪2,+∞

【答案】C

【解題思路】根據(jù)點在圓外以及圓的一般式滿足的系數(shù)關(guān)系即可列不等式求解.

【解答過程】由于點在圓的外部，故

22

?2,1，?解得+?+???+，?=0

22

1

?2+1?22?1+?>0

故選：?2<?<2

1+C.?1?4?>0

【變式5-1】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）“或”是“定點在圓

222

的外部”的（）?>2?<?3?1,2?+?+??+2?+??15=0

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解題思路】由定點在圓的外部得，求得k的取值范圍，結(jié)合充分,必要

22

?+4?4??15>0

?1,22

條件的意義可得結(jié)論.1+4+?+4+??15>0

【解答過程】定點在圓的外部，

222

∵?1,2?+?+??+2?+??15=0

，化簡得，

648383

222或

?+4?4??15>0?<3?3<?<3

∴22∴

1+4+?+4+??15>0?+??6>0?>2?<?3

k的取值范圍：或，

8383

所∴以或?3”是<“定?<點?32在<圓?<3的外部”的必要不充分條件.

222

故選：?>B.2?<?3?1,2?+?+??+2?+??15=0

【變式5-2】（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知點關(guān)于直線對稱的點在圓

2

上，則（）?0,?1???+1=0??:?+

2

?+A?．?4+5=0B?．=5C．-4D．-5

【答案】B

【解題思路】先求出點的對稱點，代入圓的方程求解即可.

?

【解答過程】設(shè)，則?+1

?=?1?=?2

??,????1?

所以2?2+1=0?=1

由題可?知?2，,1

22

故選：B.?2+1?2?+5=0??=5

【變式5-3】（2025·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點在圓的內(nèi)部，則實

22

數(shù)的取值范圍是（）?=?+2??=???+?=4

?A．B．C．D．

【答案】D?1<?<1?2<?<2?3<?<3?2<?<2

【解題思路】聯(lián)立直線可得其交點坐標(biāo)，由該點在圓的內(nèi)部計算即可得.

【解答過程】聯(lián)立，解得，即點在圓的內(nèi)部，

?=?+2??=?22

??,??+?=4

即有，?=解?得??=?.?

22

故選：?D?.+?<4?2<?<2

【題型6與圓有關(guān)的軌跡問題】

【例6】（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知線段的端點的坐標(biāo)是，端點在圓上運(yùn)動，

22

則線段的中點的軌跡方程為（）???5,3??+?=4

???

A．B．

32321232

??2+??2=1??2+??2=1

C．D．

52325232

【答案】D??2+?+2=1??2+??2=1

【解題思路】由中點坐標(biāo)公式以及圓的方程，可得答案.

【解答過程】設(shè)，，由為的中點，則5+?，即，

?=2?=2??5

??,???,????3+?

?=2??3

由點在圓上，則，即?=2，

222222

??+?=4?+?=42??5+2??3=4

化簡可得.

5232

故選：D.??2+??2=1

【變式6-1】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在平面內(nèi)，兩定點、之間的距離為，動點滿足，

則點軌跡的長度為（）??4???=3??

A?．B．C．D．

【答案】A3π6π9π12π

【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，根據(jù)求出點的軌跡方程，結(jié)合圓的周長公

式可求得結(jié)果.??,???=3???

【解答過程】以線段的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則點、??，????

??2,0?2,0

設(shè)點，由可得，

2222

??,???=3???+2+?=3??2+?

整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，如下圖所示：

2

22529

?+??5?+4=0??2+?=4

所以，點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，

53

??2,02

因此，點軌跡的長度為.

3

?2π×2=3π

故選：A.

【變式6-2】（25-26高二上·重慶·開學(xué)考試）點在圓上運(yùn)動，它與點所連線段中點為，

22

則點軌跡方程為（）??+?=36?(4,0)?

A?．B．

2222

C．(??2)+?=9D．(?+2)+?=9

2222

【答案】?A+(??2)=9?+(?+2)=9

【解題思路】設(shè)點，結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而代入即可求解.

22

【解答過程】設(shè)點??,?，，?2??4,2??+?=36

??,???0,?0

因為為的中點，

???

所以?0+4，則，即，

?=2?0=2??4

?0?2??4,2?

?0=2?

又因為?動=點2在圓上，所以，

22

則?，即2??4+2?=，36

2222

則點??軌4?跡+方?程?為5=0(??2).+?=9

22

故選：?A.(??2)+?=9

【變式6-3】（24-25高一下·浙江·期中）已知點、，點滿足，記的軌跡為，下

列說法正確的是（）?1,0?4,0???=2????

A．曲線的方程為B．曲線的方程為

2222

C．點的?軌跡所圍成?的+面?積=為1D．點的?軌跡所圍?成的+面?積=為4

【答案】B?2π?8π

【解題思路】設(shè)點，由結(jié)合平面內(nèi)兩點間的距離公式化簡可得曲線的方程，確定曲線

的形狀，結(jié)合圓的?相?關(guān),?知識求?解?即=可2.????

【解答過程】設(shè)點，由可得，

2222

整理可得??，,?故曲線??的方=程2?為???，4+?=2??1+?

2222

所以，曲線?+是?圓=心4為原點，半?徑為的?圓，+故?點=4的軌跡所圍成的面積為，

2

B對，ACD?錯.2