專題6.3等比數(shù)列及其前n項和（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1等比數(shù)列的基本量計算】...........................................................................................................................4

【題型2等比數(shù)列的性質及應用】...........................................................................................................................5

【題型3等比數(shù)列的判定與證明】...........................................................................................................................5

【題型4等比數(shù)列的通項公式】...............................................................................................................................6

【題型5等比數(shù)列中的單調性與最值問題】...........................................................................................................6

【題型6等比數(shù)列前n項和的性質】.......................................................................................................................7

【題型7等比數(shù)列的簡單應用】...............................................................................................................................7

【題型8等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用】...........................................................................................................8

【題型9等比數(shù)列中的不等式恒成立問題】.........................................................................................................10

【題型10與等比數(shù)列有關的新定義、新情景問題】...........................................................................................10

1、等比數(shù)列及其前n項和

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考Ⅱ卷：第8題，5分等比數(shù)列是高考的重點、熱點內

(1)通過生活中的實例，理解等

2023年全國乙卷（理數(shù)）：第15容，屬于高考的?？純热葜?從近幾

比數(shù)列的概念和通項公式的

題，5分年的高考情況來看，等比數(shù)列的基本量

意義

2023年全國甲卷（理數(shù)）：第5計算和基本性質、等比數(shù)列的中項性

(2)掌握等比數(shù)列前n項和公

題，5分質、判定是高考考查的熱點，主要以選

式，理解等比數(shù)列的通項公式

2024年新高考Ⅱ卷：第19題，17擇題、填空題的形式考查，難度較易；

與前n項和公式的關系

分等比數(shù)列的證明、求和及綜合應用是高

(3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)

2024年北京卷：第15題，5分考考查的重點，一般出現(xiàn)在解答題中，

數(shù)列的等比關系，并解決相應

2025年全國一卷：第13題，5分難度中等.

的問題

2025年全國二卷：第9題，6分近年高考壓軸題中也會出現(xiàn)數(shù)列

(4)體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)

2025年北京卷：第5題，4分的新定義、新情景題，難度較大，需要

的關系

2025年天津卷：第19題，15分靈活求解.

知識點1等比數(shù)列及其前n項和

1．等比數(shù)列的概念

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常

文字

數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用

語言

字母q表示(q≠0)

符號在數(shù)列{an}中，如果（或）(q≠0)成

語言

立，則稱數(shù)列{an}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比

遞推

或

關系

2．等比中項

如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.

若G是a與b的等比中項，則，所以G2=ab，即G=.

3．等比數(shù)列的通項公式

若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項公式是(a1,q≠0).

4．等比數(shù)列的單調性

已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則

(1)當或時，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；

(2)當或時，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；

(3)當q=1時，等比數(shù)列{an}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；

(4)當q<0時，等比數(shù)列{an}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號，所有的偶數(shù)項也同號，但是奇數(shù)項與偶數(shù)項

異號).

5．等比數(shù)列的性質

設{an}為等比數(shù)列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，則.

(2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列{λan}(λ為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

若數(shù)列{bn}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列{an}中，每隔k(k∈N*)項取出一項，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為.

k

(5)在數(shù)列{an}中，連續(xù)相鄰k項的和(或積)構成公比為q(或)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.

6．等比數(shù)列的前n項和公式

若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項和公式為

=.

7．等比數(shù)列前n項和的性質

已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，則有如下性質：

(1).

(2)若(k∈N*)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為qk.

(3)若{an}共有2n(n∈N*)項，則=q；

若{an}共有(2n+1)(n∈N*)項，則=q.

知識點2等比數(shù)列的基本運算的解題策略

1．等比數(shù)列基本量的運算的求解思路：

等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知

三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.

知識點3等比數(shù)列的判定方法

1．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：

(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；

(2)中項法：為等比數(shù)列；

(3)通項公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；

證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某

數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.

2．在利用遞推關系判定等比數(shù)列時，要注意對n=1的情形進行驗證.

知識點4等比數(shù)列及其前n項和的性質及應用

1．等比數(shù)列的性質：

等比數(shù)列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形；二是等比中項的變形；三是前n項和公式的變形.根

據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.

2．等比數(shù)列的單調性與最值問題

涉及等比數(shù)列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.

知識點5等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征

1．Sn與q的關系

(1)當公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設

，則上式可以寫成的形式，

由此可見，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點；

(2)當公比q=1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，則數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤

立的點.

2．Sn與an的關系

當公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設

，則上式可以寫成的形式，則Sn是an的一次函數(shù).

【方法技巧與總結】

1．等比數(shù)列{an}的通項公式可以寫成，這里c≠0，q≠0.

2．等比數(shù)列{an}的前n項和Sn可以寫成(A≠0，q≠1,0).

3．設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和.

(1).

(2)若，則成等比數(shù)列.

(3)若數(shù)列{an}的項數(shù)為2n，則；若項數(shù)為2n+1，則.

【題型1等比數(shù)列的基本量計算】

【例1】（2025·安徽蕪湖·模擬預測）若等比數(shù)列的第3項和第5項分別為48和12，則的首項

（）?????1=

A．－192B．192C．D．－193

【變式1-1】（2025·浙江杭州·二模）若等比數(shù)列±1滿92足，，則數(shù)列的公比等于

（）???1+?2=2?1??3=3??

A．或B．或C．D．

111111

?232?2?23

【變式1-2】（2025·湖南邵陽·模擬預測）記等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）

19

??????2=1?6=27?3?1=

A．3B．2C．D．

23

?3?2

【變式1-3】（2025·河南·二模）已知首項為的等比數(shù)列的前項和為，若也為等比數(shù)列，

則的公比為（）1??????????+1

?A?．1B．2C．3D．4

【題型2等比數(shù)列的性質及應用】

【例2】（2025·福建泉州·模擬預測）已知為等比數(shù)列，，，則（）

A．B．3??C．?2?7=?3D．?92?5=?1?3?6?6=

【變式2-?1】3（2025·云南保山·一模）若、、、?成9等比數(shù)列，則（）

A．B．?3C?．1?D?．=

【變式2-42】（2025·江蘇南通6·三模）在等比數(shù)列9中，，12，則（）

A．36B．C．???5??6??7=D8．6?2+?6=20?4=

【變式2-3】（2025·河南·一±模6）若成等比數(shù)?6列，則（）

A．4B．6?,3,?,1C．9???=D．12

【題型3等比數(shù)列的判定與證明】

【例3】（2025·上海黃浦·三模）已知數(shù)列各項為正，滿足，m、n是正整數(shù)，

???+????

是等比數(shù)列，則P是Q的（）??:??=???:?

A．充分必要條件B．充分非必要條件

C．必要非充分條件D．既非充分也非必要條件．

【變式3-1】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列滿足，，，則下列是等比

數(shù)列的是（）{??}?1=1?2=43?n+2+??=4??+1

A．B．C．D．

【變式3-{2?】?（+230}24·全國·模{擬??預?測3}）已知數(shù)列的?n前+1+項?和?為，滿足?n+1???．

2

(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；???????=2????+2

?

(2)設?的+前2?項+3和為，求．

??

?

??=2,???????

【變式3-3】（2025·吉林延邊·一模）已知數(shù)列的首項，且滿足.

(1)求，；???1=1??+1=3??+2??1

(2)證明?2：數(shù)?3列為等比數(shù)列；

(3)求數(shù)列的?通?+項?公式.

??

【題型4等比數(shù)列的通項公式】

【例4】（2025·全國·一模）等比數(shù)列中，，，，則（）

A．B．??C?．1=1?5=?8?2?D5．<?2??=

??1??1??

【變式4-(1】?（2)2024·海南·模擬?預(?測2）)已知等比數(shù)列(?2的)公比不為1，若?(?，2且)成等差數(shù)列，

則（）???1=23?1,?2,??3

??A=．B．C．D．

??1???1?

【變式4-2】×（32025高三·全3國·專題練習）已知遞增2等×比(?數(shù)3列)中，(?3)，設

?1234?

．??+?=6,?+?=24?=

??

???1??+1?1

(1)求的通項公式；

(2)求??的前項和．

?????

【變式4-3】（2024·吉林·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列為單調遞

*

增等比數(shù)列，，且成等差數(shù)?列?.?1=1,??+1=??+2?∈???

(1)求數(shù)列?2=的2通項?公1,式?2；,?3?1

(2)設??,??，求數(shù)列的前項和.

??=??+log2???????

【題型5等比數(shù)列中的單調性與最值問題】

【例5】（24-25高三上·云南昆明·期中）設等比數(shù)列公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）

????>1??

A．充要條件B．充分不必要條件

C．必要不充分條件D．即不充分也不必要條件

【變式5-1】（2025·北京順義·一模）設為等比數(shù)列，則“存在，使得”是“為遞減

?????

數(shù)列”的（）??>?>??<?<??

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【變式5-2】（2025·上海閔行·二模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述

不正確的是（）???1>0?∈?1,0

A．數(shù)列的最大項為B．數(shù)列的最小項為

C．數(shù)列??為嚴格遞?1增數(shù)列D．數(shù)列??為嚴?2格遞增數(shù)列

【變式5-3】（2?4?-?2?5+高1三上·貴州黔西·階段練習）設等比數(shù)?2列??1+?的2?公比為，其前項和為，前項積為，

且滿足條件，，??，則下列選?項錯誤?的是（??）???

A．?1>1?2020?2021>1?2020?B1．?2021?1<0

C．0<?是<數(shù)1列中的最大項D．?2020+1>?2021

?2020???4041>1

【題型6等比數(shù)列前n項和的性質】

【例6】（2025·江西贛州·二模）設等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）

A．B．7?C?．63???D2．0=7或2163?30=49?10=

【變式6-?1】7（2025·江西·二模）記為等比數(shù)列的前項和，若，則

（）??????4+?5+?6=?3,?7+?8+?9=9

?15=A．81B．71C．61D．51

【變式6-2】（24-25高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列有項，，所有奇數(shù)項的和為85，所

?1

有偶數(shù)項的和為42，則（）?2?+1?=1

A．2B?．=3C．4D．5

【變式6-3】（2024·湖南邵陽·模擬預測）記為公比小于1的等比數(shù)列的前項和，，，

?125

??3?6?914

則（）????=2=

6

?A=．6B．3C．1D．

1

3

【題型7等比數(shù)列的簡單應用】

【例7】（2025·貴州遵義·模擬預測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，

從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的

玉米總量為（）

．斗．斗

A5B6

10×810×8

5555

8+78+7

．斗．斗

C5D6

10×810×8

5555

【變式7-81】?7（2025·四川內江·一模）年月8?7日是第個植樹節(jié)，為加快建設美麗內江、筑牢長江

上游生態(tài)屏障貢獻力量，我市積極組2織02全4民義3務植1樹2活動．現(xiàn)46有一學校申領到若干包樹苗（每包樹苗數(shù)相

同），該校個志愿小組依次領取這批樹苗開展植樹活動．已知第組領取所有樹苗的一半又加半包，第

組領取所剩8樹苗的一半又加半包，第組也領取所剩樹苗的一半又1加半包．以此類推，第組也領取所剩2

樹苗的一半又加半包，此時剛好領完所3有樹苗．請問該校共申領了樹苗多少包？（）8

A．B．C．D．

【變式7-122】7（2025·四川宜賓25·5一模）《九章算術》3中16的“兩鼠穿墻題”是我5國11數(shù)學的古典名題：“今有垣厚若

干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊

打洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第

天后大老鼠打洞的總進度是小老鼠的4倍，則的值為（）

?A．5B．4C．?3D．2

【變式7-3】（2024·云南昆明·一模）第七屆國際數(shù)學大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖

所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至

最后一個三Rt角△形??的??斜邊??=與1∠第?一??次=重3疊0°為止.則所作的所有三角△形的???面?積和△為???（?△）????

????

A．B．

11

3233411

23?123?1

C．D．

12

3233412

23?123?1

【題型8等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用】

【例8】（2025·河南·二模）記等差數(shù)列的前n項和為，公差，，數(shù)列為等比數(shù)列，且

?????≠0?1=1??

，，，則（）

?8

?1=?3?2=?7?3=?15?4=

A．2B．C．D．3

511

28

為奇數(shù)

【變式8-1】（2025·陜西寶雞·三模）已知數(shù)列滿足給出下列三個命題

為偶數(shù)

log2???

???1>0,??+1=??+2

①數(shù)列為等比數(shù)列；2?

②數(shù)列?2??為1等差數(shù)列；

③當?2?時，.

其中真?1命=題1的個數(shù)?2為0=（18）個

A．0B．1C．2D．3

【變式8-2】（2025·湖北·三模）記為等比數(shù)列的前項和，已知，，數(shù)列

是公差為1的等差數(shù)列，且=??，數(shù)列?滿?足?.?6=63?2??8=?126??

(1)求數(shù)列和的通項公?1式?4；?3?1????=?????

(2)求數(shù)列??的最?小?值及取得最小值時的值．

???

【變式8-3】（2025·湖南長沙·三模）已知等差數(shù)列的第2項為3，其前5項和為25．數(shù)列是公比大

于0的等比數(shù)列，，．????

(1)求和的通?1項=公4式；?3+?2=80

??

(2)記??，，

1*

??=?2?+???∈?

（?。┳C明是等比數(shù)列；

2

????2?

（ⅱ）證明?，．

????+1

2*

????2?<22?∈?

?=1

【題型9等比數(shù)列中的不等式恒成立問題】

【例9】（2025·甘肅定西·模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若對于任意

??134

，不等式恒成立，則的取值?范圍為?（）?,?+?=5,?=15

2

*??+642

?∈???>?+6??

A．B．C．D．

【變式9-1?】（8,22024·江蘇蘇州·?二2模,8）已知數(shù)列的前?10項,6和為，?6,10，若對任意的

??

恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）?????2??+1=3?????<2?∈N

A．?B．C．D．

【變式9-(2】?（42,022)5·黑龍江哈爾?濱3,2·二模）已知數(shù)列?滿6,2足，?3,2（），記．

?*?

(1)求證：是等比數(shù)列；???1=5??+1?2??=3?∈???=???3

?

(2)設?，數(shù)列的前n項和為．若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取

2?+1?

???1*

?????

值范圍?．=???(?1)?<?+2?∈??

【變式9-3】（2025·天津·二模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：，，，

*

?????1=?1=1??∈??2+?8=18

4

(?12)?求數(shù)=列81和的通項公式；

??

求數(shù)列?的?前項和；

(2)2

?

????+1???

(3)已知，數(shù)列的前項和，若對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范

???

?

?????

圍．?=3?????1??<2?

【題型10與等比數(shù)列有關的新定義、新情景問題】

【例10】（24-25高三下·重慶·階段練習）定義：滿足為常數(shù)，）的數(shù)列稱為二

??+2??+1*

??+1:??=???∈N??

階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立

的最小正整數(shù)?為（）∣??2,?1=1,?2=2??>2024

A．7?B．8C．9D．10

【變式10-1】（24-25高二上·北京·期末）如果數(shù)列滿足（k為常數(shù)），那么數(shù)列叫做

??+2??+1

????+1???=???

等比差數(shù)列，k叫做公比差．下列四個結論中所有正確結論的序號是（）

①若數(shù)列滿足，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；

??+1

???

②數(shù)列?是等比差=數(shù)2列?；

?

③所有的?等?2比數(shù)列都是等比差數(shù)列；

④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

【變式10-2】（2025高三下·全國·專題練習）若數(shù)列中存在三項，按一定次序排列構成等比數(shù)列，則稱

為“等比源數(shù)列”．{??}{??}

(1)已知數(shù)列為4，3，1，2，數(shù)列為1，2，6，24，分別判斷,是否為“等比源數(shù)列”，并說明

理由；{??}{??}{??}{??}

(2)已知數(shù)列的通項公式為，判斷是否為“等比源數(shù)列”，并說明理由；

??1

{??}??=2+1{??}

【變式10-3】（2025·山西晉城·二模）設是項數(shù)為且各項均不相等的正項數(shù)列，滿足下

*

????≥3,?∈N

列條件的數(shù)列稱為的“等比關聯(lián)數(shù)列”：①數(shù)列的項數(shù)為；②中任

???1*

???2?

意兩項乘積都是?中的?項；③??是公比大于1的等比數(shù)列?．?≥3,?∈N?

(1)已知數(shù)列是??的“等比?關?聯(lián)數(shù)列”，且，，，求數(shù)列的通項公式；

(2)已知數(shù)列??是??的“3?等比關聯(lián)數(shù)列”，且?1=的1前?32項=成2等?比3數(shù)=列4的概率為?，?求的值；

(3)證明：?不?存在??“等4比?關聯(lián)數(shù)列”．????

??5???

一、單選題

1．（2025·北京·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則

（）???1=?2?3,?4,?6?10=

A．B．C．16D．18

2．（20?2250·四川成都·一模）?記18為等比數(shù)列的前項和，若，則的公比為（）

??963?

A．2B．??C．??+7D?．=8??

11

2?2?2

3．（2025·江蘇連云港·模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（）

A．B．C．?????D．??+1=2??+2??=

??1??1??

4．（20225·×云3南麗江·模擬預測3×）已2知等比數(shù)列的3各項均為正數(shù)，且2，則

675

（）???1??6=3log3?1+log3?2+?+

log3A?．6=2014B．2024C．2025D．2026

5．（2025·全國·二模）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，則“”是“數(shù)列

??192120?

是遞增數(shù)列”的（）????+?>2??

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

6．（2025·海南·模擬預測）數(shù)列滿足，對于任意的

51?

?1?+1???

恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（?）?=2,??=2??2?∈N,??2??1<2??2

A．?B．C．D．

33

?∞,?4?∞,?14,?+∞1,?+∞

7．（2025·北京東城·模擬預測）月相是指天文學中對于地球上看到的月球被太陽照亮部分的稱呼．1854年，

愛爾蘭學者在大英博物館所藏的一塊巴比倫泥板上發(fā)現(xiàn)了一個記錄連續(xù)15天月相變化的數(shù)列，記為，

其將滿月等分成240份，（且）表示第天月球被太陽照亮部分所占滿月的份數(shù)．例??如，

*

??1≤?≤15?∈N?

第1天月球被太陽照亮部分占滿月的，即；第15天為滿月，即．已知的第1項到第

5

240?1=5?15=240??

5項是公比為的等比數(shù)列，第5項到第15項是公差為的等差數(shù)列，且，均為正整數(shù)，則（）

A．80?B．96C．100?D．?112??6=

8．（2025·海南·模擬預測）在等比數(shù)列中，已知，則對于任意的，下

*

???1+?2=?1,?1??3=?3?∈?

列不等式成立的是（）

A．B．

C．?2?>0D．?2??1<0

二、多選?2題??1<?2?+1?2?<?2?+2

9．（2025·全國二卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，為的公比，，若，

則（）????????>0?3=7,?3=1

A．B．

11

?=2?5=9

C．D．

10．（20?255=·陜8西寶雞·三模）已知數(shù)列是公比為??的+等S比?=數(shù)8列，其前項和為

，則（）??????,?1+?2+?3=1,?2+?3+

?4=A2．

?=2

B．

1

?1=7

．

C??1

2

?

D．?=7

11．（20?215+·遼?2寧+錦?州3+·模?2擬+預?測3+）?設4+首?項3為+?14的+數(shù)?5列+?+的?前10+項?和11為+?1，2已=知1023，則下列

結論正確的是（）???????+1=2??+??1

A．

B．數(shù)?2列=2為等比數(shù)列

C．數(shù)列??+?為等比數(shù)列

D．數(shù)列??+1