專(zhuān)題6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

【題型1等差數(shù)列的基本量計(jì)算】.........................................................................................................................3

【題型2等差數(shù)列的判定與證明】.........................................................................................................................4

【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】.........................................................................................................................5

【題型4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】.............................................................................................................................5

【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】.....................................................................................................................6

【題型6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值】.................................................................................................................6

【題型7等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】.............................................................................................................................7

【題型8等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問(wèn)題】.................................................................................................................7

【題型9含絕對(duì)值的等差數(shù)列問(wèn)題】.....................................................................................................................9

【題型10等差數(shù)列中的恒成立問(wèn)題】...................................................................................................................9

【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問(wèn)題】.........................................................................................10

1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

等差數(shù)列是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)

(1)理解等差數(shù)列的概念和

容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾

通項(xiàng)公式的意義2023年新高考I卷：第7題，5分

年的高考情況來(lái)看，等差數(shù)列的基本

(2)探索并掌握等差數(shù)列的2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分

量計(jì)算和基本性質(zhì)、等差數(shù)列的中項(xiàng)

前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)2024年新高考I卷：第19題，17分

性質(zhì)、判定是高考考查的熱點(diǎn)，主要

列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分

以選擇題、填空題的形式考查，難度

公式的關(guān)系2025年全國(guó)一卷：第16題，15分

較易；等差數(shù)列的證明、求和及綜合

(3)能在具體問(wèn)題情境中，發(fā)2025年全國(guó)二卷：第7題，5分

應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，一般出現(xiàn)在

現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決2025年北京卷：第5題，4分

解答題中，難度中等.

相應(yīng)的問(wèn)題2025年天津卷：第19題，15分

近年高考?jí)狠S題中也會(huì)出現(xiàn)數(shù)列

(4)體會(huì)等差數(shù)列與一元函2025年上海卷：第3題，4分

的新定義、新情景題，難度較大，需

數(shù)的關(guān)系

要靈活求解.

知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的概念

1．等差數(shù)列的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等

差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.

2．等差中項(xiàng)

由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，則有2A=a+b.

反之，若2A=a+b，則a,A,b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.

3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，其中a1為首項(xiàng)，d為公差.

4．等差數(shù)列的單調(diào)性

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.

①當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；

②當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；

③當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.

因此，無(wú)論公差為何值，等差數(shù)列都不會(huì)是擺動(dòng)數(shù)列.

5．等差數(shù)列的性質(zhì)

設(shè){an}為等差數(shù)列，公差為d，則

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.

(2)數(shù)列{λan+b}(λ,b是常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列.

(3)若{bn}是公差為d'的等差數(shù)列，{an}與{bn}的項(xiàng)數(shù)一致，則數(shù)列(為常數(shù))是公差為λ1d+λ2d'

的等差數(shù)列.

(4)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)(k,m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，則有am+n=0.

知識(shí)點(diǎn)2等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略

1．等差數(shù)列的基本運(yùn)算的兩大求解思路：

(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)

了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.

(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它

們表示已知和未知是常用方法.

知識(shí)點(diǎn)3等差數(shù)列的判定的方法與結(jié)論

1．證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：

(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an-1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an-1的an代入an-an-1，在化

簡(jiǎn)得到定值.

(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.

2．判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：

(1)通項(xiàng)公式：an=pn+q（p,q為常數(shù)）是等差數(shù)列.

2

(2)前n項(xiàng)和公式：Sn=An+Bn（A,B為常數(shù)）是等差數(shù)列.

問(wèn)題的最終判定還是利用定義.

知識(shí)點(diǎn)4等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用

1．項(xiàng)的性質(zhì)：

在等差數(shù)列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.

2．和的性質(zhì)：

在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則

(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；

(2)S2n-1=(2n-1)an；

(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列.

3．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的常用方法：

(1)鄰項(xiàng)變號(hào)法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和

的最值；

2

(2)二次函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An+Bn（A,B為常數(shù)，A≠0）為二次函數(shù)，通過(guò)

二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

(3)不等式組法：借助當(dāng)Sn最大時(shí)，有，解此不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確

定n的值和對(duì)應(yīng)Sn的值(即Sn最大值)，類(lèi)似可求Sn的最小值.

【方法技巧與總結(jié)】

1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.

2．在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.

3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，{an}是常

數(shù)列.

4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列(A,B為常數(shù)).

【題型1等差數(shù)列的基本量計(jì)算】

【例1】（2025·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列的公差，則（）

2

A．4B．3C?．?2?>0,?1=D1,．?21??3=9?=

【變式1-1】（2025·全國(guó)二卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若則（）

A．B．??C．??D．?3=6,?5=?5,?6=

【變式1-?2】20（2025·山東·一?模1）5已知數(shù)列是公差?1不0為0的等差數(shù)列，若?5，，則（）

2

???1?2=?3?5=2?1=

A．B．C．D．1

11

?1?22

【變式1-3】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則

公差為（）??????5=2?3,?1+?8=10

A?．B．C．D．1

112

423

【題型2等差數(shù)列的判定與證明】

【例2】（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，則“”是“數(shù)列是等

*

???2?+2??

差數(shù)列”的（）??+?=2??≥3,?∈??

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【變式2-1】（24-25高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知數(shù)列和數(shù)列滿足，，

1

????+1?????

則下列數(shù)列為等差數(shù)列的是（）???=?????=?2?

A．B．C．D．

112

??+???????????

【變式2-2】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．

1??*

???1=2??+1=2??+1(?∈?)

(1)求證：是等差數(shù)列；

1

??

(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

*

??=????+1(?∈?)?????

【變式2-3】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．

1

???????+1+3?????+1=0?1=3

(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

1

??

(2)求的通項(xiàng)；

?

(3)求?的最大值．

1

??

【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】

【例3】（2025·遼寧·二模）已知等差數(shù)列滿足，，則（）

?24635718

A．1B．?C．4?+?+?=3D?．+8?+?=9?+?=

3

2

【變式3-1】（2025·重慶·二模）已知等差數(shù)列的前4項(xiàng)為，，2，，則（）

A．5B．6C?．?7?3?D．85??9=

【變式3-2】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，若，則的值為（）

A．18B．15C．?1?2?5+?7+D?．9=9272?8??9

【變式3-3】（2025·山東日照·一模）已知等差數(shù)列中，，則（）

?5

A．15B．9C．??2+?4=D6．?1+?3+?=

3656

【題型4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】

【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差數(shù)列滿足：，且，則（）

A．2026B．2025C?．?2024?5?2?3=1D．20?223=0?2025=

【變式4-1】（2025·遼寧·二模）已知數(shù)列滿足，，則（）

A．B．??C．?1=3??+1=??D+．4??+1+4??=

2

【變式4-?2】?=（22?4-+251高二下?·四?=川2廣?安·期中）等差數(shù)??列=4?中?，1，??=4?，+1．

?

(1)求的通項(xiàng)公式；???7=4?19=2?9?∈?

?

(2)設(shè)?，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

1

??=?+3???????

【變式4-3】（24-25高二下·安徽蕪湖·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．

(1)求的通項(xiàng)公式；???2=4?4=10

?

(2)設(shè)數(shù)?列的前n項(xiàng)和為，證明：．

11

????+1????<3

【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】

【例5】（2025·四川樂(lè)山·一模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）

A．18B．27?C?．45????3=D．963?6=36?7+?8+?9=

【變式5-1】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，

則（）???????=?3,??+1=0,??+2=4

?A=．8B．7C．6D．5

【變式5-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，若，則

??3?+1?2+?8

??????5??7?1+?2+?6

（）?????==

A．B．C．28D．

281428

9927

【變式5-3】（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則

（）??????3=4,?6=10?16+?17+

?18=A．12B．14C．16D．18

【題型6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值】

【例6】（2025·廣西南寧·三模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則的最

小值為（）?????5=2?3+?8=12??7??

A．B．C．D．

49

?14?4?12?10

【變式6-1】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則的

最大值為（）??????5=1?11=?11??

A．16B．18C．23D．25

【變式6-2】（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取最

小值時(shí)的值為（）??????1<0?9=?19??

A．?12B．13C．14D．25

【變式6-3】（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，前項(xiàng)積是，若，，則

（）?????????6=3?3=6

A．無(wú)最大值，無(wú)最小值B．有最大值，無(wú)最小值

????????

C．無(wú)最大值，有最小值D．有最大值，有最小值

????????

【題型7等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用】

【例7】（2025·山東青島·三模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有“分錢(qián)問(wèn)題”：現(xiàn)有5個(gè)人分5

錢(qián)，5人分得錢(qián)數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢(qián)數(shù)之和等于后三人分得錢(qián)數(shù)之和，則分得錢(qián)數(shù)最少的一人

錢(qián)數(shù)為（）

A．B．C．D．

1125

3236

【變式7-1】（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、

立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，

若小寒、雨水、清明日影長(zhǎng)之和為36尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為92尺，則谷雨日影長(zhǎng)為（）

A．15B．16C．17D．18

【變式7-2】（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）鬼工球，又稱(chēng)同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕

成每層均同球心的數(shù)層可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的空心球，空心球的球面厚度不計(jì).為保證鬼工球的每一層均可以自由轉(zhuǎn)

動(dòng)，要求其從最內(nèi)層起，每層與其外一層球面的間距構(gòu)成首項(xiàng)為?公差為的等差數(shù)列，若一個(gè)鬼

工球最外層與最內(nèi)層的半徑之差為，則該鬼工球的層數(shù)為1（mm）4mm

190mm

A．9B．10C．11D．12

【變式7-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）元代數(shù)學(xué)家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關(guān)數(shù)列的計(jì)算問(wèn)

題：“今有竹七節(jié)，下兩節(jié)容米四升，上兩節(jié)容米二升，各節(jié)欲均容，問(wèn)逐節(jié)各容幾升？”其大意為：現(xiàn)有一

根七節(jié)的竹子，最下面兩節(jié)可裝米四升，最上面兩節(jié)可裝米二升，如果竹子裝米量逐節(jié)等量減少，問(wèn)竹子

各節(jié)各裝米多少升？以此計(jì)算，這根竹子的裝米量為（）

A．升B．升C．升D．升

910.51213.5

【題型8等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問(wèn)題】

【例8】（2025·山東威?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，且.

2

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；??????2??=??+??

??

(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

?

??=?1????+1????

【變式8-1】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)

2

??????

為奇數(shù)????>0,4?=?+2?+1

列滿足

為偶數(shù)

??+1+??,?,

????=

?+1?

(1)求數(shù)列的通?項(xiàng)公?式?；,?,

(2)記數(shù)列??的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

*

??????∈?,??≥10?+??

【變式8-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列中，，，且，

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；???1=1?2=9??+2+??=2??+1+8

(2)數(shù)列?的?前項(xiàng)和為，且滿足，，求．

2

???????=??????+1<0??

【變式8-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．

??

?????,??≠0,??=???2

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)令??，求數(shù)??列的前項(xiàng)和．

??1

??=?1??+1??+1?1?????

【題型9含絕對(duì)值的等差數(shù)列問(wèn)題】

【例9】（2025·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前

?47?

20項(xiàng)之和為（）??=3??

A．80B．208C．680D．780

【變式9-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知等差數(shù)列中，，，設(shè)，

則（）???1=9?4=3??=|?1|+|?2|+???+|??|

?2A1．=245B．263C．281D．290

【變式9-2】（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，．

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．???5=9,?3+?6+?9=33

(2)若??，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

??+??=19????

【變式9-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；??????6=0?12=6

(2)求數(shù)列??的前項(xiàng)和.

?????

【題型10等差數(shù)列中的恒成立問(wèn)題】

【例10】（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若對(duì)于任意的，

2*

???

不等式?恒成立，則實(shí)數(shù)x?可能?為（=?）+??∈N?∈[0,1]

??22

?<??1+???2???+2

A．B．0C．1D．2

【變式10?-12】（2024·陜西西安·二模）已知數(shù)列滿足，，，

?+111

???1=3??+1???=2??=?1??+??+1

若數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式恒成立，則的取值范圍為（）

4?

???????<3?3?5??∈??

A．B．C．D．

111112

10,+∞5,+∞10,25,5

【變式10-2】（2024·貴州六盤(pán)水·三模）已知為等差數(shù)列，且＝，＝．

(1)求的通項(xiàng)公式；???53?1?1+?5+?14?10+24

(2)若??恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

?

2??≥?1+?2+?+??

【變式10-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.

2?

??????1

(1)證明：為等差數(shù)列；???2??2??+?=0?≥2,?∈N?=1

1

??

(2)對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

*??

?∈?2??+1+2??1<0?

【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問(wèn)題】

【例11】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過(guò)高階等差數(shù)列，高階

等差數(shù)列是指逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等的數(shù)列，例如數(shù)列1，3，6，10，15，…的逐項(xiàng)差，，

，，，…構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10，15，…是?一2?個(gè)?高1=階2等

324354

差?數(shù)?列?（=二3階?等差?數(shù)?列=）4，?現(xiàn)有?一?個(gè)=高5階等差數(shù)列，其前5項(xiàng)為2，3，6，11，18，則其第8項(xiàng)是（）

A．38B．51C．66D．83

【變式11-1】（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測(cè)）已知是一個(gè)公差不為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若存在正

整數(shù)(其中)使得，則稱(chēng)具??有性質(zhì)，稱(chēng)有序數(shù)0對(duì)是的一組?“數(shù)對(duì)?”?，記由

的全體?,?“數(shù)對(duì)?”所<組?成的集??合+為??=0.關(guān)于命?題?①“若具Γ有性質(zhì)且?,???，則?！迸c命?題?

???

②存在Γ具有性質(zhì)的及互不Ω相?同的正整數(shù)??(其中Γ且1,4∈Ω，?使得Ω?=1,4且

?12121??

?，下Γ列說(shuō)?法正確的是（）.?,?,??<??<??,?∈Ω

?

?2,?A．∈①Ω是?真命題，②是真命題B．①是真命題，②是假命題

C．①是假命題，②是真命題D．①是假命題，②是假命題

【變式11-2】（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）我們把公差不為0的等差數(shù)列稱(chēng)為“一階等差數(shù)列”，若數(shù)

*

列是“一階等差數(shù)列”，則稱(chēng)數(shù)列是“二階等差數(shù)列”.例?如?：?1，∈N3，7，13，21，31…，后項(xiàng)與

前項(xiàng)??的+1差?值?：?2，4，6，8，10，…，這些差值??構(gòu)成的數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列1，3，7，13，

21，31….為“二階等差數(shù)列”.

(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“二階等差數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

2

(2)若數(shù)列??為“二階等差數(shù)?列?=”，?且，對(duì)應(yīng)?的?“一階等差數(shù)列”首項(xiàng)為1，公差為3，求；

???1=1??

【變式11-3】（2025·山東臨沂·三模）定義：若數(shù)列滿足，則

*

稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”.??????>???1???1?≥2,?∈?

(1)若??，，判斷數(shù)列，是否為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”？

?

(2)若等??差=數(shù)1列?3?為?“?數(shù)=項(xiàng)2增?數(shù)3列”，且??，求??的公差的取值范圍；

(3)若數(shù)列為?共?4項(xiàng)的“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”?，1滿=足2???，求所有滿足條件的數(shù)列

的個(gè)數(shù).????∈1,2,3,4,5,6,7,8,9(?=1,2,3,4)??

一、單選題

1．（2025·四川成都·一模）在等差數(shù)列中，，，則（）

A．B．??C．?13=3?4+?6=2D．2?7=

2．（20?225·廣西柳州·模擬預(yù)?測(cè)1）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的公差

為（）??????4??1=9,?1+?4=5??

A．1B．2C．3D．4

3．（2025·北京·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則

（）???1=?2?3,?4,?6?10=

A．B．C．16D．18

4．（202?52·0江蘇南通·模擬預(yù)?測(cè)1）8設(shè)為等差數(shù)列，且，則（）

A．16B．18??C．20?1+?2+?3=D3,．?22+?3+?4=9?6+?7=

5．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是數(shù)列的前n項(xiàng)和.若

??

???

，，則等于（）????

?4=A．1249?8=40?B1．250C．51D．52

6．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都

?1?

插入3個(gè)數(shù)，組成一個(gè)新的等差數(shù)列，則?（）?=2?=12?

A．???B?．=

C．4??2D．3??1

7．（2032?5·江西·模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的2前?+n項(xiàng)1和，且，則滿足的n的最大

值為（）?????2=2?1=2??<888

A．40B．41C．42D．43

8．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，

??2?+1?

??????????=4??2?∈?

則（）

?3?8

?4+?7+?5+?6=

A．B．C．D．

7112117

二、多選10題183830

9．（2025·海南三亞·一模）數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，已知，則（）

A．??B．????3=?6,?11=2

C．?7=?2D．?當(dāng)=1或時(shí)，最大

5?

10．（2?02=5·安30徽·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)?=為8，?公=差9為，?前項(xiàng)和為，且

2??

???1?????5=4?4?1,??

是以1為公差的等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．C．D．

???1

5??2

11．（20?2=5·四1川成都·一模?）如=圖15的形狀出現(xiàn)在南?宋數(shù)=學(xué)?家楊輝所著的《?詳解=九章算法·商功》中，后人稱(chēng)

為“三角垛”.“三角垛”的最上層有