專題8.6雙曲線（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】 4【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】 5【題型3曲線方程與雙曲線】 5【題型4求雙曲線的軌跡方程】 6【題型5雙曲線的焦點、焦距、長軸、虛軸】 7【題型6雙曲線中的焦點三角形問題】 7【題型7雙曲線的漸近線方程】 8【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】 9【題型9與雙曲線有關(guān)的最值問題】 9【題型10雙曲線的實際應(yīng)用】 101、雙曲線考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程(2)掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率)(3)了解雙曲線的簡單應(yīng)用2023年新高考I卷：第16題，5分2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8題，5分2023年北京卷：第12題，5分2023年天津卷：第9題，5分2024年新高考I卷：第12題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分2025年全國一卷：第3題，5分2025年全國二卷：第11題，6分2025年北京卷：第3題，4分2025年天津卷：第9題，5分雙曲線的方程及其性質(zhì)是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，主要考查雙曲線的定義、方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，主要以單選題、多選題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大，復(fù)習(xí)時要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.與向量等知識結(jié)合綜合考查也是高考命題的一個趨勢，需要學(xué)會靈活求解.知識點1雙曲線的方程及其性質(zhì)1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：雙曲線在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長實半軸長為a,虛半軸長為b離心率漸近線方程4．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.知識點2雙曲線方程的求解方法1．雙曲線方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.(3)與雙曲線有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為.知識點3雙曲線的焦點三角形1．雙曲線的焦點三角形(1)焦點三角形的概念

設(shè)P是雙曲線上一點，F(xiàn)1,F2為雙曲線的焦點，當(dāng)點P,F1,F2不在同一條直線上時，它們構(gòu)成一個焦點三角形，如圖所示.(2)求雙曲線中的焦點三角形△PF1F2面積的方法方法一：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|-|PF2||=2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③通過配方，利用整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式，求得面積.方法二：利用公式，求得面積.(3)焦點三角形的常用結(jié)論

若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，其中θ為.知識點4雙曲線的離心率或其范圍的解題策略1．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.知識點5雙曲線中的最值問題的解題策略1．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【方法技巧與總結(jié)】1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點，則，.3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為.4．與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可表示為(t≠0).【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】【例1】（24-25高二下·河南·階段練習(xí)）雙曲線C：x225?y2144=1A．9 B．7 C．9或29 D．7或19【變式1-1】（2025·北京·模擬預(yù)測）雙曲線E：x2a2?y216=1a>0，焦距為10，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．13 B．1或13 C．10 D．4或10【變式1-2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）雙曲線x2?y216=1上一點A．2 B．6 C．2或6 D．4【變式1-3】（2024·河北邢臺·二模）若點P是雙曲線C：x216?y29=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例2】（2025·北京海淀·一模）若雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)A．x24?y2=1 B．x【變式2-1】（2025·江蘇淮安·模擬預(yù)測）雙曲線C1與雙曲線C2：x24?y2A．y24?C．x22?【變式2-2】（2025·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）雙曲線C與橢圓x26+y22=1A．x2?y23=1 B．y【變式2-3】（2025·四川雅安·一模）已知F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，點A．x29?C．x26?【題型3曲線方程與雙曲線】【例3】（2025·新疆·模擬預(yù)測）“m>4”是“方程x2m?1?A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-1】（24-25高二上·河南許昌·期末）若方程x2m+4+y2A．m<?7或m>4 B．?7<m<4C．m<?4或m>7 D．?4<m<7【變式3-2】（24-25高二上·浙江·期中）對于方程x2+y2tanA．曲線C只能表示圓、橢圓或雙曲線B．若α為負(fù)角，則曲線C為雙曲線C．若α為正角，則曲線C為橢圓D．若C為橢圓，則曲線C的焦點在x軸上【變式3-3】（2025·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知曲線C:x24+y2m=1(m≠0)，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型4求雙曲線的軌跡方程】【例4】（2024·廣西柳州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別是?5,0，5,0，直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是49，則點M的軌跡方程為（

A．x225?C．y225?【變式4-1】（2025·黑龍江遼寧·模擬預(yù)測）若圓C:x2+y2?6x=0上恰有三個點到直線A．x24?C．254x2【變式4-2】（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知雙曲線x2?y24=1與直線l:y=kx+mk≠±2有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于AA．x24+C．x225+【變式4-3】（2025·浙江·一模）雙曲線的另一種定義：動點Mx,y與定點Fc,0的距離和它與定直線l：x=a2c的距離的比是常數(shù)ca0<a<c，則點M的軌跡是一個雙曲線.動點M與定點F3,0的距離和它與定直線lA．y22?C．x22?【題型5雙曲線的焦點、焦距、長軸、虛軸】【例5】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線x25?y2m=1A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-1】（2025·江西新余·一模）雙曲線x26?A．6 B．4 C．26 【變式5-2】（2025·廣東廣州·三模）已知雙曲線C：x29?y2b2=1(b>0)的左右焦點分別為F1、F2，過F2作C其中一條漸近線的垂線，垂足為AA．32 B．C．6 D．12【變式5-3】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2A．C的實軸長為2 B．C的漸近線方程為y=±C．C的離心率為5 D．C的右焦點的坐標(biāo)為(【題型6雙曲線中的焦點三角形問題】【例6】（2025·江西·二模）過雙曲線C:x22?y2=1的中心作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，設(shè)雙曲線C的右焦點為FA．33 B．1 C．2 D．【變式6-1】（2025·河南安陽·一模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與A．1 B．2 C．4 D．6【變式6-2】（2025·青海海南·一模）已知雙曲線C：x2?y23=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在A．7?1 B．6 C．3 D．【變式6-3】（2025·廣東·一模）如圖，F(xiàn)1、F2是雙曲線x29?y2b2=1(b>0)的左、右焦點，過F1的直線lA．83 B．C．183 D．【題型7雙曲線的漸近線方程】【例7】（2025·河北·一模）雙曲線E:y2a2?x2A．y=±3x C．y=±2x D．y=±【變式7-1】（2025·四川成都·一模）雙曲線x22?A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0【變式7-2】（2025·安徽六安·模擬預(yù)測）已知雙曲線y2a2?xA．y=±22x B．y=±32x【變式7-3】（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1的左、右焦點，直線l過A．y=±233x B．y=±43【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】【例8】（2025·全國一卷·高考真題）已知雙曲線C的虛軸長是實軸長的7倍，則C的離心率為（

）A．2 B．2 C．7 D．2【變式8-1】（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）若雙曲線x2a2?yA．12 B．55 C．2 【變式8-2】（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1的左、右焦點，直線l過F1與CA．83 B．53 C．213【變式8-3】（2025·湖南湘潭·一模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F2(2,0)，若圓A．[2,+∞) B．[3,+∞) C．【題型9與雙曲線有關(guān)的最值問題】【例9】（2025·浙江紹興·二模）已知雙曲線Γ:x2?y23=1的左焦點為F，點A,B在A．4 B．6 C．10 D．14【變式9-1】（2025·河北石家莊·一模）設(shè)點P為雙曲線x25?y211=1右支上的動點，F(xiàn)A．25 B．35 C．45【變式9-2】（2025·山東濟(jì)南·三模）雙曲線C:x24?y25=1的左焦點為F，點A(0,4)，若P為【變式9-3】（2025·貴州安順·模擬預(yù)測）已知F是雙曲線C:x22?y24=1的右焦點，P是C左支上一點，M是圓【題型10雙曲線的實際應(yīng)用】【例10】（24-25高二上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線y29?x2m=1的圖象的一部分，當(dāng)拱頂M到水面的距離為3米時，水面寬AB為4A．3米 B．62?3米 C．26?3米【變式10-1】（24-25高二上·江蘇泰州·期中）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為5的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為62cm，下底直徑為92

A．272cm B．18cm C．272【變式10-2】（2025·湖北荊州·一模）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離是1020m.則該巨響發(fā)生在接報中心的（

）處.（假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340A．西偏北45°方向，距離68010m B．東偏南45°C．西偏北45°方向，距離6805m D．東偏南45°【變式10-3】（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的AA．52 B．173 C．102一、單選題1．（2025·北京·高考真題）雙曲線x2?4yA．32 B．52 C．542．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2?y2m=1A．4 B．2 C．12 D．3．（2025·北京·三模）“k=12”是“直線y=kx?4與雙曲線xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2025·北京海淀·二模）已知A?2,0,B2,0．若動點P滿足PA?PBA．x2?yC．y23?5．（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知雙曲線C關(guān)于原點對稱，其中一個焦點的坐標(biāo)為5,0，一條漸近線方程為y=43xA．3 B．6 C．4 D．86．（2025·寧夏銀川·三模）已知雙曲線C:x23?y2=1的左?右焦點分別為F1,A．8+25 B．8 C．4+25 7．（2025·天津和平·三模）已知雙曲線C的上，下焦點分別為點F1，F(xiàn)2，若C的實軸長為1，且C上點P滿足PF1⊥PF2A．y2?x24=1 B．y8．（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1,A．3+1 B．2 C．3+12二、多選題9．（25-26高二上·全國·課后作業(yè)）已知點P在雙曲線x216?y29=1A．點P到x軸的距離為203 B．C．△PF1F210．（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知F2,0是雙曲線C:x2?yA．雙曲線C的虛軸長為2B．OP≥PF（C．雙曲線C的漸近線方程為y=±D．M為圓E:x+22+11．（2025·全國二卷·高考真題）雙曲線C:x2a2?y2b2=1