專題8.5橢圓（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1橢圓的定義及其應(yīng)用】 4【題型2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 5【題型3曲線方程與橢圓】 8【題型4軌跡問題——橢圓】 9【題型5橢圓的焦距與長軸、短軸】 11【題型6橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題】 13【題型7求橢圓的離心率或其取值范圍】 15【題型8與橢圓有關(guān)的最值問題】 18【題型9橢圓的實(shí)際應(yīng)用】 211、橢圓考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解橢圓的定義、幾何

圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程(2)掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率)(3)掌握橢圓的簡單應(yīng)用2023年新高考I卷：第5題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第12題，5分2023年北京卷：第19題，15分2024年新高考I卷：第16題，15分2024年新高考Ⅱ卷：第5題，5分2025年全國一卷：第18題，17分2025年全國二卷：第16題，15分2025年北京卷：第19題，15分橢圓的方程及其性質(zhì)是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；對于解答題中橢圓的考查，橢圓方程的求解往往在解答題的第一小問中考查，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.與向量等知識(shí)結(jié)合綜合考查也是高考命題的一個(gè)趨勢，需要學(xué)會(huì)靈活求解.知識(shí)點(diǎn)1橢圓的方程及其性質(zhì)1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.(2)橢圓定義的集合表示P={}.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：橢圓在坐標(biāo)

系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．橢圓的頂點(diǎn)與長軸、短軸以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)為例.

(1)頂點(diǎn)

令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a.

這說明A1(-a,0)，A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B1(0,-b)，B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閤軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫作橢圓的頂點(diǎn).(2)長軸、短軸線段，分別叫作橢圓的長軸和短軸.長軸長=2a，短軸長=2b，a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.4．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.知識(shí)點(diǎn)2橢圓方程的求解方法1．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.知識(shí)點(diǎn)3橢圓的焦點(diǎn)三角形1．橢圓的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,F1,F2不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式

①焦點(diǎn)三角形的周長L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③設(shè)，，則.知識(shí)點(diǎn)4橢圓離心率或其范圍的解題策略1．求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用離心率公式求解.(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解.(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.知識(shí)點(diǎn)5橢圓中的最值問題的解題策略1．橢圓中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【題型1橢圓的定義及其應(yīng)用】【例1】（2025·廣西南寧·二模）已知F1,F2分別是橢圓M:x216+y25=1的左、右焦點(diǎn)，A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解題思路】根據(jù)橢圓的定義可得|PF【解答過程】由橢圓M:x216+y因?yàn)镕1,F2分別是橢圓M:x所以|PF1|+|PF2故選：C.【變式1-1】（2025·山西晉城·二模）已知F1,F2分別為橢圓C:x29+yA．PF2=2F1C．PF2=F【答案】D【解題思路】根據(jù)橢圓的定義可得PF1+PF2=6，結(jié)合P【解答過程】由題意可知，F(xiàn)1?2,0，F(xiàn)2由橢圓的定義可知，PF1+PF2=6所以PF故選：D.【變式1-2】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知F1,F2是橢圓C:x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)，過FA．23 B．3 C．22【答案】B【解題思路】利用橢圓的定義可得AB+【解答過程】由橢圓的定義，知AF所以AF1+又AF2+故選：B.【變式1-3】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x24+y2m=10<m<4的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為M，點(diǎn)NA．1 B．2 C．3 D．3【答案】D【解題思路】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【解答過程】依題意，MF2=a?c，故N在△NF1F2中，F(xiàn)1故2a?2c=2c，得a=2c，則m=a故選：D.【題型2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例2】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2A．x29+y2=1 B．x【答案】C【解題思路】根據(jù)橢圓的定義可得MF1=2a?2，C【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，MF2延長線交橢圓于另一點(diǎn)C，且所以MF1=2a?2，CF1所以MF12+CM所以MF1=2a?2=4則c=5，b所以橢圓方程為x2故選：C.【變式2-1】（2025·廣西南寧·二模）已知A,B分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，直線x=a2c（c為橢圓E的半焦距）上存在點(diǎn)CA．x23+C．x24+【答案】B【解題思路】根據(jù)銳角三角函數(shù)，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求解CB=AB得【解答過程】如圖：∠ABC=120°,故BM=a2故CB=AB?2由于S△ABC故a=2,c=1，故b=a2?故選：B.

【變式2-2】（2024·山西太原·三模）已知點(diǎn)F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P(4,3)是C上一點(diǎn)，△PF1FA．x224+y227=1 B．【答案】B【解題思路】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式，結(jié)合橢圓的定義求解即得.【解答過程】依題意，設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b顯然△PF1F2的內(nèi)切圓與直線又S△PF1F2=12?2c?3=3c所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2故選：B.【變式2-3】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為23，過點(diǎn)FA．x23+y2=1 B．y【答案】D【解題思路】利用橢圓的定義表示出焦點(diǎn)三角形的周長，求出a的值，結(jié)合離心率求出b的值，即得橢圓方程.【解答過程】如圖依題意，△MNF2的周長為解得a=3．設(shè)橢圓C的半焦距為c，因?yàn)闄E圓C的離心率為23，所以e=ca所以b=a故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故選：D.【題型3曲線方程與橢圓】【例3】（2025·甘肅慶陽·二模）已知方程x2k?2?y2A．2,3 B．3,4 C．2,4 D．2,3【答案】D【解題思路】根據(jù)方程表示橢圓列出不等式組得解.【解答過程】因?yàn)榉匠蘹2所以k?2>0k?4<0k?2≠4?k，解得2<k<3或所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是2,3∪故選：D.【變式3-1】（2025·湖北黃岡·二模）設(shè)abc≠0，“曲線ax2+by2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷充分性是否成立，再根據(jù)ac>0判斷必要性是否成立，進(jìn)而確定“曲線ax2+b【解答過程】若曲線ax2+by2因?yàn)闄E圓中分母須大于0，所以ca>0且cb>0，又因?yàn)閍bc≠0，那么ac>0且bc當(dāng)ac>0時(shí)，比如a=b=1，c=1，此時(shí)曲線方程為x2+y所以“曲線ax2+b故選：A.【變式3-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）若方程m+1x2+1?myA．?1<m<1 B．0<m<1C．?1<m<0 D．?1<m<0或0<m<1【答案】C【解題思路】利用已知條件，分析橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式，求解即可.【解答過程】方程m+1x2+因?yàn)榉匠蘹21?m+所以1?m>m+1m+1>0，解得?1<m<0故選：C.【變式3-3】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）曲線C:x2m?1+y23?mA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，曲線C表示橢圓求解m的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件進(jìn)行判斷即可.【解答過程】若曲線C:x2m?1+y23?m則“1<m<3”是“曲線C表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.【題型4軌跡問題——橢圓】【例4】（2025·四川成都·三模）已知?jiǎng)訄AC與圓(x+1)2+y2=1外切，同時(shí)與圓(x?1)A．x29+y28=1 B．【答案】A【解題思路】分析出C1M+C2【解答過程】設(shè)圓(x+1)2+y2=1圓心C2且與圓C切于點(diǎn)P，圓(x?1)2由題意得：C1C=5?CQ，所以C1由橢圓定義可知：動(dòng)圓圓心C的軌跡為以C1,C則2a=6,c=1，解得：a=3,b故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為x2故選：A.【變式4-1】（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知曲線x2+y22=1，從曲線上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足為P′A．9x24+y22=1 【答案】A【解題思路】設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并表示出點(diǎn)P，再代入已知曲線方程即可.【解答過程】設(shè)點(diǎn)N(x,y)，由PP′⊥y軸于點(diǎn)P′，且PN=又點(diǎn)P是曲線x2+y所以點(diǎn)N的軌跡方程為9x故選：A.【變式4-2】（2025·江蘇南京·三模）已知曲線C:x2+y2=8y>0，從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′A．x28+C．y28+【答案】A【解題思路】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得P(x,2y)，代入圓的方程即可求解.【解答過程】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，則P(x,y因?yàn)镸為PP′的中點(diǎn)，所以y0又P在圓x2所以x2+4y即點(diǎn)M的軌跡方程為x2故選：A.【變式4-3】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?2,0),(2,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是?34，則點(diǎn)M的軌跡方程為（A．x216+C．x24+【答案】C【解題思路】設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出兩直線的斜率，直接由斜率之積列式化簡.【解答過程】設(shè)M(x,y)，則由已知得kAM化簡得x2故選：C．【題型5橢圓的焦距與長軸、短軸】【例5】（2025·福建泉州·二模）若橢圓x2a2+yA．3 B．6 C．26或3 D．23【答案】D【解題思路】分焦點(diǎn)在x軸或y軸兩種情況，求橢圓的離心率，求解參數(shù)a，再求橢圓的焦距.【解答過程】若橢圓的焦點(diǎn)在x軸，則離心率e=a2?3a=若橢圓的焦點(diǎn)在y軸，則離心率e=3?a23=所以該橢圓的焦距為23或6故選：D.【變式5-1】（2025·云南紅河·三模）已知橢圓C:x2m2+y2A．10 B．210 C．2 D．【答案】B【解題思路】由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c=2，由橢圓中的平方關(guān)系可求得m的值，進(jìn)而可求得長軸長.【解答過程】因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)為F2,0，所以c=2，且焦點(diǎn)在x所以m2?6=4，解得m=±10，所以橢圓C故選：B.【變式5-2】（2025·海南·三模）若邊長為整數(shù)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓C:x2m2+A．2 B．263 C．23【答案】B【解題思路】由題意根據(jù)對稱性得點(diǎn)12,12在C上，代入【解答過程】由對稱性可知，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)必在直線y=±x上，由于橢圓C在y軸上的兩頂點(diǎn)間的距離為2，所以正方形的邊長只能為1，因此點(diǎn)12,12在C上，代入C的方程得故C:x213+故選：B.【變式5-3】（2025·河北·模擬預(yù)測）已知橢圓C1:x2+y2b2=1(0<b<1)與橢圓C2:x2m2+y2A．5 B．25 C．26 【答案】B【解題思路】由離心率得到b2=n2m2，求出過C1左頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的直線方程，不妨設(shè)點(diǎn)N在x【解答過程】因?yàn)闄E圓C1:x所以1?b2=橢圓C1:x2+又過C1左頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的直線方程為y=bx+b不妨設(shè)點(diǎn)N在x軸上方，過點(diǎn)N作x軸的垂線，則B為AN的中點(diǎn)，則N1,2b所以12m2+2b所以C2的長軸長為2m=2故選：B.【題型6橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題】【例6】（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x216+y212=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，上頂點(diǎn)為A，過F1A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【解題思路】根據(jù)條件可得AB=【解答過程】由橢圓E:x216過F1且垂直于AF2的直線與橢圓C交于B所以BC為線段AF的垂直平分線，得AB=則△ABC的周長為AB+故選：B.

【變式6-1】（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C:x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A．315 B．12 C．415 【答案】C【解題思路】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得a=6，b=25，c=4，根據(jù)題意得MF1=F【解答過程】由橢圓C：x236+y220=1因M為C上一點(diǎn)且在第一象限，則M由△MF1F2為等腰三角形，則可得當(dāng)MF1=此時(shí)△MF1F當(dāng)MF2=綜上，可得△MF1F故選：C．

【變式6-2】（2025·湖南永州·三模）已知橢圓E：x24+y23=1，點(diǎn)F?1,0，若直線x+λy?1=0（λ∈R）與橢圓E交于A．23 B．4 C．43【答案】D【解題思路】求出直線所過的定點(diǎn)，再利用橢圓的定義求出三角形周長.【解答過程】橢圓E：x24+y2則點(diǎn)F(?1,0)為橢圓的左焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為(1,0)，而直線AB:x+λy?1=0恒過定點(diǎn)(1,0)，所以△ABF的周長為4a=8.故選：D.【變式6-3】（2025·湖南永州·模擬預(yù)測）設(shè)F1、F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2作x軸的垂線交C于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)AA．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【解題思路】先由題設(shè)求得a2=3t.b2=2tc2=t（【解答過程】由題AF2=b2∴b2a=2aP取上頂點(diǎn)時(shí)∠F1P∴∠F1PF2不會(huì)為直角，∴所以由對稱性可知滿足△PF1F故選：C.【題型7求橢圓的離心率或其取值范圍】【例7】（2025·四川巴中·模擬預(yù)測）已知直線y=kxk≠0與橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0交于A,?A．32 B．12 C．53【答案】C【解題思路】根據(jù)矩形的邊角關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義和性質(zhì)，可直接求其離心率.【解答過程】如圖：

設(shè)F2B=t，則F2A所以2a=3t，2c=5所以e=c故選：C.【變式7-1】（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，上頂點(diǎn)為A，直線AF1交A．34 B．14 C．13【答案】D【解題思路】本題主要是橢圓的定義及三角形的內(nèi)切圓，作圖利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)即得答案.【解答過程】由題意，如圖，P，D是內(nèi)切圓與BF因?yàn)樽?、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，上頂點(diǎn)為由BF令CF1=所以BF所以2c?n+2c+n=2a，可得2c=a，故e=c故選：D．【變式7-2】（2025·云南麗江·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，P是橢圓C上一點(diǎn)，若點(diǎn)A．13 B．23 C．12【答案】A【解題思路】根據(jù)給定條件，利用對稱特征及余弦定理、數(shù)量積定義列式求出離心率.【解答過程】由F2關(guān)于∠PF1F2的角平分線l由橢圓的定義得PF2=2a?

在△PF1F由F1P?F1整理得：c2+2ac?79a2=0故選：A.【變式7-3】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）已知P為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)，M、A．0,23 C．0,32 【答案】B【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的對稱性可得Na2,?t，則t=32b，設(shè)【解答過程】由題意知P(?a,0)，由OM=OP+ON知OPMN為平行四邊形，則M、設(shè)M?a2,?t，Na因?yàn)椤螾ON∈2π3,?5π所以tanα=ta∴e=c所以橢圓離心率的取值范圍為0,?

故選：B.【題型8與橢圓有關(guān)的最值問題】【例8】（2025·山東威?！ひ荒＃┮阎狥為橢圓C:y29+x25=1的上焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，A．1+25 B．3+25 C．5+25【答案】D【解題思路】由圓和橢圓方程可確定圓心、半徑、a,c的長；利用橢圓定義和圓的對稱性可將問題轉(zhuǎn)化為求解7+PM?P【解答過程】由圓M方程得：圓心M4,0，半徑r=由橢圓C方程得：a=3，c=2，設(shè)橢圓C下焦點(diǎn)為F′，則F由橢圓定義知：PF′+∵PQ≤PM∴PQ又PM?PF∴PQ+PF≤7+M故選：D.【變式8-1】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為FA．112 B．132 C．194【答案】D【解題思路】根據(jù)題目條件求橢圓C的方程，進(jìn)而由橢圓的定義及兩點(diǎn)間線段最短求兩線段長度之和的最大值【解答過程】設(shè)C半焦距為c，因?yàn)镕1,0，故c=1又C過點(diǎn)P?32由橢圓得a2=b2+c2=b所以C的方程為x2

設(shè)C的左焦點(diǎn)為F′?1,0，故根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，QF由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以PQ≤因此PQ+當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)′，Q故選：D.【變式8-2】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x24+y23=1的左?右焦點(diǎn)為F1,FA．2 B．2 C．22 【答案】B【解題思路】由直線l:y=kx?1+2經(jīng)過定點(diǎn)N1,2【解答過程】由橢圓C:x24因?yàn)辄c(diǎn)M為橢圓C:x24直線l:y=kx?1+2經(jīng)過定點(diǎn)則MF當(dāng)且僅當(dāng)M在線段NF所以MF故選：B.【變式8-3】（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知F為橢圓C:x24+y2=1的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，QA．5 B．5+23 C．3+23【答案】B【解題思路】由題意設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1(?3,0)，作出圖形，結(jié)合圖形和橢圓的定義可知當(dāng)【解答過程】由題意知，F(xiàn)(3,0)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為如圖，P為C上一點(diǎn)，Q為圓M:x2+PQ+當(dāng)且僅當(dāng)M,F所以PQ+PF的最大值為故選：B.【題型9橢圓的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2025·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段AB，且AB過橢圓的下焦點(diǎn)，AB=44米，橋塔最高點(diǎn)P距橋面110米，則此橢圓的離心率為（

）A．13 B．25 C．23【答案】D【解題思路】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為y2a2【解答過程】如圖按橢圓對稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為y2令y=?c，即?c2a2+x所以a+c=110a2?c2故選：D．【變式9-1】（2024·重慶·三模）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a

A．a(chǎn)1?cC．c2a1【答案】D【解題思路】根據(jù)圖象可知PF=a1?c1=【解答過程】如圖可知，∵a1?c1a1>a2，由a1>a2，a1+c2=即b12+2a1c2故選:D.【變式9-2】（2025·江西景德鎮(zhèn)·二模）古希臘數(shù)學(xué)家在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的P點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2，且在P點(diǎn)處的切線垂直于法線（即∠F1PF2的角平分線）．已知橢圓C:x2a2+yA．74 B．34 C．154【答案】C【解題思路】作出輔助線，根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，得到點(diǎn)P處切線l與直線PF1,PF2均為π2?θ，求出點(diǎn)F1,F2到l的距離，結(jié)合橢圓的定義得到原點(diǎn)O【解答過程】如圖，PM是∠F1PF2設(shè)∠F1P根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，點(diǎn)P處切線l與直線PF1,P故點(diǎn)F1,F2到BF∵O為F1∴由梯形中位線性質(zhì)得，原點(diǎn)O到點(diǎn)P處切線的距離為ON=1∴cosθ=12，故θ=又PF1=(∴4c2=4a2∴C的離心率為e=1?故選：C．【變式9-3】（2024·陜西西安·一模）已知農(nóng)歷每月的第t+1天（0≤t≤29，t∈N）的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為x2r2cosA．農(nóng)歷每月第d（1≤d≤30，d∈N*）天和第B．月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為2rC．月相外邊緣的離心率與t無關(guān)D．農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間32【答案】D【解題思路】利用已知條件求出第d天和第30?d天的方程即可判斷A，根據(jù)橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為a+c，求出a+c的范圍即可判斷B，求出離心率e的表達(dá)式判斷C，利用離心率e的表達(dá)式，求出農(nóng)歷初六至初八時(shí)的e的范圍即可判斷D.【解答過程】由方程x2r2cos2對于A：當(dāng)t=d?1時(shí)，橢圓方程為當(dāng)t=29?d時(shí)，橢圓方程為化簡為x2r2對于B：月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為：a+c=r=r=r=r=r因?yàn)?≤t≤29，t∈N所以sin2所以r1+對于C：月相外邊緣的離心率為：e=ca=所以月相外邊緣的離心率與t有關(guān)，所以C錯(cuò)誤；對于D：農(nóng)歷初六至初八，即6≤t+1≤8時(shí)，即5≤t≤7，此時(shí)月相外邊緣離心率：sin2π29因?yàn)?0π29>π3，14所以32故選：D.一、單選題1．（2025·湖南·三模）已知曲線C:x26?t+y2t?2=1，設(shè)p:2<t<3，q：曲線C是焦點(diǎn)在A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解題思路】首先得到曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的充要條件是2<t<4，再進(jìn)一步判斷即可.【解答過程】曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的充要條件是6?t>0t?2>06?t>t?2，即所以當(dāng)2<t<3時(shí)，2<t<4成立，所以p是q的充分條件，反之當(dāng)2<t<4時(shí)，2<t<3不一定成立．所以p是q的充分不必要條件．故選：A．2．（2025·湖南永州·三模）已知橢圓E：x24+y23=1，點(diǎn)F?1,0，若直線x+λy?1=0（λ∈R）與橢圓E交于A．23 B．4 C．43【答案】D【解題思路】求出直線所過的定點(diǎn)，再利用橢圓的定義求出三角形周長.【解答過程】橢圓E：x24+y2則點(diǎn)F(?1,0)為橢圓的左焦點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為(1,0)，而直線AB:x+λy?1=0恒過定點(diǎn)(1,0)，所以△ABF的周長為4a=8.故選：D.3．（2025·河北·模擬預(yù)測）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x29+y2b2=1，其右焦點(diǎn)FA．13 B．23 C．12【答案】A【解題思路】結(jié)合圖形表示出|AF|,|AB|，借助于三角形的面積公式列方程求出c=1，利用離心率公式計(jì)算即可.【解答過程】由x29+y2則△BAF的面積為12解得c=1，則橢圓的離心率為e=c故選：A.4．（2025·江蘇南京·三模）已知曲線C:x2+y2=8y>0，從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP′A．x28+C．y28+【答案】A【解題思路】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得P(x,2y)，代入圓的方程即可求解.【解答過程】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，則P(x,y因?yàn)镸為PP′的中點(diǎn)，所以y0又P在圓x2所以x2+4y即點(diǎn)M的軌跡方程為x2故選：A.5．（2025·河南·三模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為BC邊上一點(diǎn)，且AD=BD=1，CD=2，當(dāng)∠ADB在變化時(shí)，點(diǎn)(b,c)總在橢圓x2m+A．6 B．62 C．32【答案】A【解題思路】首先根據(jù)cos∠ADB+cos∠ADC=0【解答過程】由cos∠ADB+cos∠ADC=0整理得b2即b29+故選：A.6．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x24+y2m=10<m<4的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為M，點(diǎn)NA．1 B．2 C．3 D．3【答案】D【解題思路】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【解答過程】依題意，MF2=a?c，故N在△NF1F2中，F(xiàn)1故2a?2c=2c，得a=2c，則m=a故選：D.7．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為23，過點(diǎn)FA．x23+y2=1 B．y【答案】D【解題思路】利用橢圓的定義表示出焦點(diǎn)三角形的周長，求出a的值，結(jié)合離心率求出b的值，即得橢圓方程.【解答過程】如圖依題意，△MNF2的周長為解得a=3．設(shè)橢圓C的半焦距為c，因?yàn)闄E圓C的離心率為23，所以e=ca所以b=a故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故選：D.8．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為FA．112 B．132 C．194【答案】D【解題思路】根據(jù)題目條件求橢圓C的方程，進(jìn)而由橢圓的定義及兩點(diǎn)間線段最短求兩線段長度之和的最大值【解答過程】設(shè)C半焦距為c，因?yàn)镕1,0，故c=1又C過點(diǎn)P?32由橢圓得a2=b2+c2=b所以C的方程為x2

設(shè)C的左焦點(diǎn)為F′?1,0，故根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，QF由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以PQ≤因此PQ+當(dāng)且僅當(dāng)P，F(xiàn)′，Q故選：D.二、多選題9．（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測）已知P是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上位于第二象限的一點(diǎn)，F(xiàn)1(?2,0),F2(2,0)為C的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|OP|=2，∠A．點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上 C．橢圓C的方程為x27+【答案】AC【解題思路】由已知得出△POF2為等腰三角形，過點(diǎn)O作ON⊥PF2，垂足為N，由三線合一及中位線得出∠F1PF2=90°即可判斷A；結(jié)合又PF1=λOM(λ>0)，得出點(diǎn)M,O,N【解答過程】由題可知，OF1=OF又|OP|=2，所以O(shè)P=過點(diǎn)O作ON⊥PF2，垂足為N，則N為PF又O為F1F2中點(diǎn)，所以O(shè)N//P又PF1=λ所以點(diǎn)M,O,N在同一直線上，MN又PQ平分∠F1PF2所以PN=MN，即a?x=x+1，解得2x=a?1，即PF在Rt△F1PF2中，所以△PF1F所以b2=a2?因?yàn)镻F1=a?1=故選：AC．10．（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知橢圓E：x225+y29=1A．橢圓E的長軸長為5 B．橢圓E的離心率為4C．1≤PF1≤9 【答案】BC【解題思路】由橢圓的方程可得a=5,b=3,c=4，即可判斷AB；由a?c≤PF1【解答過程】對于橢圓E：x225+橢圓離心率為e=c點(diǎn)Px0,y0）是橢圓E由PF1?PF2=0則該圓方程為x2+y2=16則P574,94或P5故選：BC.11．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的左、右焦點(diǎn)，直線PF1和直線PF2分別交C于點(diǎn)A，B，若△PAFA．橢圓焦距為3B．離心率eC．△PFD．PF1和【答案】BC【解題思路】由焦點(diǎn)弦三角形的周長為20得a=5，由C左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)距離為41得b=4，從而c=3，判斷AB選項(xiàng)，由焦點(diǎn)弦三角形的面積判斷C選項(xiàng)，由直線斜率公式和橢圓上的點(diǎn)滿足橢圓的方程計(jì)算判斷D選項(xiàng).【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)P，A在橢圓上，所以PF1+故△PAF2的周長為解得a=5，因?yàn)樽箜旤c(diǎn)和上頂點(diǎn)的距離為a2解得b=4，則c=a2?e=cS△P當(dāng)點(diǎn)P位于y軸上時(shí)，△PF設(shè)Px,y，則x225因?yàn)镕1?3,0，F(xiàn)23,0，所以故kP故選：BC.三、填空題12．（2025·陜西渭南·三模）已知橢圓x22m+y2m=1【答案】4【解題思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的性質(zhì)即可求解.【解答過程】∵橢圓x22m+∴m>0，c=2，∴a2=2m，b2=m，故答案為：4.13．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）若直線y=2b3與橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0【答案】2【解題思路】根據(jù)橢圓的對稱性結(jié)合點(diǎn)在橢圓上計(jì)算求解.【解答過程】直線y=2b3與橢圓C:x2a2+則A?b,2b3,Bb,2b3所以C的離心率為e=c故答案為：2314．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2是橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)，過F1與y軸的平行線與橢圓【答案】x【解題思路】根據(jù)橢圓的特點(diǎn)及定義求解即可.【解答過程】由題意，CD⊥x軸，且|CD|=10，則|DF由橢圓的定義知，2a=|DF2|+|D在Rt△DF1則c=6，所以b2所以橢圓E的方程為x2故答案為：x2四、解答題15．（2025·廣西·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l:y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，點(diǎn)Q4,0，若直線MQ的斜率與直線NQ的斜率互為相反數(shù)，求實(shí)數(shù)m【答案】(1)x(2)m=?1【解題思路】（1）根據(jù)條件確定a,b,c的值，可求橢圓C的方程.（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2，x1x2，再表示出直線MQ【解答過程】（1）由題知a=2，且e=ca=又a2=b2+∴橢圓C的方程為x2（2）如圖：

聯(lián)立y=x+mx24由題意，Δ=64m2?80(m設(shè)Mx1,y1，N由kMQ+k即2x1即8(m2?1)?8m(m?4)?40m16．（2025·貴州·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線AB的斜率為定值，并求出該值．【答案】(1)x(2)證明見解析，1【解題思路】（1）設(shè)F1(?c,0),F2(c,0)，根據(jù)題設(shè)得到(?c?2)(c?2)+1=?1，從而得到c=（2）設(shè)直線MA的方程為y?1=k(x?2)，直線MB的方程為y?1=?k(x?2)，聯(lián)立直線MA與橢圓方程，消y得到(1+4k2)x2?8k(2k?1)x+16k2?16k?4=0【解答過程】（1）設(shè)F1(?c,0),F因?yàn)镸F1=(?c?2,?1),所以(?c?2)(c?2)+1=?1，解得c=6又點(diǎn)M(2,1)在C上，所以4a2+1b所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)直線MA的方程為y?1=k(x?2)，直線MB的方程為y?1=?k(x?2)，由x28+y2所以xA+2=8k(2k?1)1+4k同理可得xB=8所以kAB即直線AB的斜率為定值，定值為1217．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP=12PB，記點(diǎn)(1)求C的方程；(2)若C與y軸非負(fù)半軸交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作與以點(diǎn)D?3,0為圓心，r(0<r<1)為半徑的圓相切的直線l1，l2，且l1，l2分別交C【答案】(1)x(2)證明見詳解【解題思路】（1）設(shè)出A，B，P的坐標(biāo)，結(jié)合已知條件列式，求得關(guān)于x，y