專題8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】 6【題型2圓的弦長(zhǎng)問題】 6【題型3圓的切線方程、切線長(zhǎng)問題】 7【題型4圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問題】 7【題型5直線與圓位置關(guān)系中的最值問題】 8【題型6直線與圓的實(shí)際應(yīng)用】 8【題型7圓與圓的位置關(guān)系】 9【題型8兩圓的公共弦】 10【題型9兩圓的公切線】 101、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(2)能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題2023年新高考I卷：第6題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第15題，5分2023年全國(guó)乙卷（理數(shù)）：第12題，5分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第10題，5分2025年全國(guó)一卷：第7題，5分2025年天津卷：第12題，5分直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，直線與圓結(jié)合命題時(shí)，主要考察直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長(zhǎng)問題等，有時(shí)會(huì)與距離公式等內(nèi)容結(jié)合考查，多以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置，此時(shí)多與圓錐曲線相結(jié)合，難度較大，需要學(xué)會(huì)靈活求解.知識(shí)點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)圖形d與r的關(guān)系d<rd=rd>r方程組解的情況有兩組不

同的解僅有一組解無解(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即Δ>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即Δ=0，則直線與圓相切；若無實(shí)數(shù)解，即Δ<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.2．自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)

(1)若點(diǎn)在圓外，則過此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；

(2)若點(diǎn)在圓上，則過此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；

(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過此點(diǎn)不能作圓的切線.

3．求過圓上的一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程

(1)求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.(2)重要結(jié)論：①經(jīng)過圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

②經(jīng)過圓上一點(diǎn)P的切線方程為.

③經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點(diǎn)P的切線方程為.4．圓的弦長(zhǎng)問題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長(zhǎng)的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長(zhǎng)l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B.

①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.

②若交點(diǎn)坐標(biāo)無法簡(jiǎn)單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長(zhǎng)公式.知識(shí)點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1-r2|<d<r1+r2兩條內(nèi)切d=|r1-r2|一條內(nèi)含0≤d<|r1-r2|無②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)Δ>0時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)Δ=0時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)Δ<0時(shí)，兩圓無公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.2．兩圓的公共弦問題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時(shí)，有一條公共弦，如圖所示.設(shè)圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點(diǎn)，則點(diǎn)滿足且，所以.即點(diǎn)適合直線方程，故在③所對(duì)應(yīng)的直線上，③表示過兩圓與交點(diǎn)的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長(zhǎng).3．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時(shí)，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時(shí)，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時(shí)，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時(shí)，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時(shí)，無公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù)，實(shí)質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系.

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時(shí)，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.知識(shí)點(diǎn)3與圓有關(guān)的最值問題的解題策略1．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點(diǎn)到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線l與圓C相交時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=2r；③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線l與圓C相離時(shí)，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對(duì)于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡(jiǎn)化運(yùn)算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦就是經(jīng)過這點(diǎn)的直徑，過這點(diǎn)和最長(zhǎng)弦垂直的弦就是最短弦.【方法技巧與總結(jié)】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】【例1】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）直線l:x+ay?a=0與圓C:x2+y2A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定的【變式1-1】（2025·北京·模擬預(yù)測(cè)）“a>0”是“直線x?ay+2a?1=0(a∈R)與圓x2+yA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2025·遼寧·三模）已知直線l:y=x+m和圓O:x2+y2=2，則“m=2”是“直線A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-3】（2025·江蘇·二模）已知圓C：x2+y?22=103，將直線l1：A．直線l2過圓心C B．直線l2與圓C．直線l2與圓C相切 D．直線l2與圓【題型2圓的弦長(zhǎng)問題】【例2】（2025·重慶·三模）直線l:3x?2y+5=0截圓A．2 B．4 C．25 D．【變式2-1】（2025·北京·三模）已知直線y=kx?3+1與圓x?12+y?22=25交于AA．5 B．10 C．25 D．【變式2-2】（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知圓O:x2+y2=1，過點(diǎn)A2,0的直線與圓O交于B、CA．22 B．32 C．32【變式2-3】（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線kx?y?k+1=0與圓x2+y2=4相交于A,BA．2 B．3 C．22 D．【題型3圓的切線方程、切線長(zhǎng)問題】【例3】（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）過點(diǎn)P3,?1作圓C:x2+yA．16 B．4 C．21 D．21【變式3-1】（24-25高二上·河北石家莊·期末）過點(diǎn)P(1,?1)且與圓C:x2+A．x+y=0 B．x?y?2=0C．x?y=0 D．x?y+2=0【變式3-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知P為直線l:x?y+1=0上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C:x?12+y2=1的一條切線，切點(diǎn)為A．1 B．2 C．3 D．2【變式3-3】（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知圓C的圓心為C(0,2)，且經(jīng)過點(diǎn)(2,2)，過點(diǎn)P(?2,?1)作圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A．2x+3y?2=0 B．2x+3y+2=0C．2x?3y?2=0 D．2x?3y+2=0【題型4圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問題】【例4】（2025·廣東茂名·二模）已知圓C:x2+y2=1，直線x+y?m=0m∈R，若圓CA．2 B．22 C．±2 D．【變式4-1】（2025·四川·三模）已知圓C:x2+y2?2x+4y?20=0上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線A．32,72C．22,72【變式4-2】（2025·山東青島·三模）若圓x2+y2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)(a,1)的距離為3，則實(shí)數(shù)a【變式4-3】（2025·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）若圓C:x2+y2+2x+m=0上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l:x+【題型5直線與圓位置關(guān)系中的最值問題】【例5】（2025·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）P是圓x?a22+y?a2=1上的動(dòng)點(diǎn)，QA．2?1 B．2 C．728【變式5-1】（2025·北京·三模）經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，半徑為2的圓的圓心為A，則點(diǎn)A到直線x?y+2=0的距離最大值為（

）A．2 B．2+C．2?2 D．【變式5-2】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l：2+tx?1+ty?12?8t=0，Q是圓O：x2+y2=4上的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)A．0,42?2 B．0,42+2 C．【變式5-3】（2025·陜西西安·一模）已知圓O的方程為：x2+y2=1，點(diǎn)A2,0，B0,2，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的切線，切點(diǎn)分別為C，D，現(xiàn)有以下四種說法：①四邊形PCOD的面積的最小值為1；②四邊形PCOD的面積的最大值為3；③PC?PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【題型6直線與圓的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（24-25高二上·四川樂山·期末）某圓拱橋的水面跨度12米，拱高4米，現(xiàn)有一船寬8米，則這條船能從橋下通過的水面以上最大高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)21≈4.6，5A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米【變式6-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘輪船從位于海監(jiān)船正東30km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北40km的B處島嶼，速度為28A．1小時(shí) B．0.75小時(shí) C．0.5小時(shí) D．0.25小時(shí)【變式6-2】（24-25高二上·北京·期中）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為63m，行車道總寬度BC為211m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高M(jìn)N為5m．為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請(qǐng)計(jì)算車輛通過隧道的限制高度是【變式6-3】（25-26高三上·山東青島·開學(xué)考試）在氣象臺(tái)A正西方向1003km處有一臺(tái)風(fēng)中心，它正向北偏東60°方向移動(dòng)，移動(dòng)速度的大小為20km/h，距臺(tái)風(fēng)中心【題型7圓與圓的位置關(guān)系】【例7】（2025·安徽·一模）圓O:x2+y2A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．內(nèi)含【變式7-1】（2025·浙江溫州·三模）已知圓x2+y2=1和圓x?3A．2,+∞ B．2,4 C．3,4 D．【變式7-2】（2025·山東臨沂·一模）圓C1:x2+A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【變式7-3】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）圓x2+y2?2x?2y+1=0A．相切 B．外離 C．內(nèi)含 D．相交【題型8兩圓的公共弦】【例8】（24-25高三下·黑龍江·階段練習(xí)）圓x2+y2?4=0A．22 B．23 C．14【變式8-1】（2024·河北石家莊·二模）已知圓O1:x2+y2=5與圓O2A．52 B．5 C．15 D．【變式8-2】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C1:x2+A．x+y+2=0 B．x+y?2=0 C．x+y+1=0 D．x+y?1=0【變式8-3】（2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）圓C1:x2+A．27 B．7 C．6 D．【題型9兩圓的公切線】【例9】（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C1:x2+y2A．21 B．29 C．±29 D．【變式9-1】（24-25高三下·山東·開學(xué)考試）圓C1:x2+A．y=?x+1 B．y=?x+1或y=x+5C．y=?x+5 D．y=x+1或y=2x+5【變式9-2】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）圓C1:x2+y2【變式9-3】（24-25高二上·重慶·期中）已知圓C1:x2+y2=1與圓C2一、單選題1．（2025·北京海淀·三模）已知直線y=kx?2與圓C:x?12+y?12A．23 B．34 C．432．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知不重合的圓C1,C2都過點(diǎn)?1,2，且均與兩坐標(biāo)軸相切，則圓A．1 B．2 C．22 D．3．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線3x+4y+4=0與圓M:x2+y2?2ax=0a>0A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切4．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:x?y+4=0與圓x2+y2=9交于A,B兩點(diǎn)，過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,DA．2 B．2 C．22 5．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)P(m,3)作圓C:(x+2)2+(y+2)2=1的切線，切點(diǎn)為A．26 B．5 C．26 D．6．（2025·山東泰安·二模）已知直線l與圓(x?2)2+(y?3)2=1和圓(x+1)A．x+2y?23=0 B．x+2y+23=0C．3x+4y?23=0 D．3x+4y+23=07．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）已知圓x2+(y+2)2=r2(r>0)A．(0,1) B．(1,3) C．(3,+∞) 8．（2025·山西呂梁·三模）已知點(diǎn)M為圓O:x2+y2=4與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，直線l:y=kx+32與圓O交于A．3 B．143 C．4 D．二、多選題9．（2025·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的半徑為1，點(diǎn)P2,1在圓C上，則（

A．y軸與圓C可能相切B．直線x+y=0與圓C可能相交C．x軸被圓C所截得的弦長(zhǎng)的最大值是2D．原點(diǎn)O與圓C上的點(diǎn)的距離的最大值為510．（2025·寧夏銀川·二模）已知圓C:(x+2)2+y2A．直線l與圓C可能相切B．當(dāng)m=0時(shí)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1C．直線l與直線2x?(m+1)y=0垂直D．若圓C與圓x2+11．