專題6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差數(shù)列的基本量計(jì)算】 3【題型2等差數(shù)列的判定與證明】 4【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 5【題型4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】 5【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】 6【題型6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值】 6【題型7等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】 7【題型8等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問題】 7【題型9含絕對值的等差數(shù)列問題】 9【題型10等差數(shù)列中的恒成立問題】 9【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】 101、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義(2)探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系(3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題(4)體會等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系2023年新高考I卷：第7題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2024年新高考I卷：第19題，17分2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分2025年全國一卷：第16題，15分2025年全國二卷：第7題，5分2025年北京卷：第5題，4分2025年天津卷：第19題，15分2025年上海卷：第3題，4分等差數(shù)列是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，等差數(shù)列的基本量計(jì)算和基本性質(zhì)、等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)、判定是高考考查的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等差數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等.近年高考壓軸題中也會出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，難度較大，需要靈活求解.知識點(diǎn)1等差數(shù)列的概念1．等差數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.2．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，則有2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，其中a1為首項(xiàng)，d為公差.4．等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.

①當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；

②當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；

③當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.

因此，無論公差為何值，等差數(shù)列都不會是擺動數(shù)列. 5．等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差為d，則

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.

(2)數(shù)列{λan+b}(λ,b是常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列.

(3)若{bn}是公差為d'的等差數(shù)列，{an}與{bn}的項(xiàng)數(shù)一致，則數(shù)列(為常數(shù))是公差為λ1d+λ2d'的等差數(shù)列.

(4)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)(k,m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，則有am+n=0.知識點(diǎn)2等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略1．等差數(shù)列的基本運(yùn)算的兩大求解思路：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.知識點(diǎn)3等差數(shù)列的判定的方法與結(jié)論1．證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an-1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an-1的an代入an-an-1，在化簡得到定值.(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2．判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：(1)通項(xiàng)公式：an=pn+q（p,q為常數(shù)）是等差數(shù)列.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義.知識點(diǎn)4等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用1．項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.2．和的性質(zhì)：在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項(xiàng)和，則(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n-1=(2n-1)an；(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列.3．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的常用方法：(1)鄰項(xiàng)變號法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)二次函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)，A≠0）為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(3)不等式組法：借助當(dāng)Sn最大時(shí)，有，解此不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確定n的值和對應(yīng)Sn的值(即Sn最大值)，類似可求Sn的最小值.【方法技巧與總結(jié)】1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2．在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，{an}是常數(shù)列.4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列(A,B為常數(shù)).【題型1等差數(shù)列的基本量計(jì)算】【例1】（2025·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列an的公差d>0,a1=1,a22A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-1】（2025·全國二卷·高考真題）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S3=6,SA．?20 B．?15 C．?10 D．?5【變式1-2】（2025·山東·一模）已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，若a1a2=a3A．?1 B．?12 C．1【變式1-3】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=2SA．14 B．12 C．2【題型2等差數(shù)列的判定與證明】【例2】（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an，則“an?2+an+2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-1】（24-25高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知數(shù)列an和數(shù)列bn滿足an=bA．a(chǎn)n+1an B．a(chǎn)n【變式2-2】（2025·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=(1)求證：1a(2)若bn=anan+1(n∈【變式2-3】（2025·江西新余·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，an+1(1)證明：數(shù)列1S(2)求an(3)求1a【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】【例3】（2025·遼寧·二模）已知等差數(shù)列an滿足a2+a4+aA．1 B．32 C．4 【變式3-1】（2025·重慶·二模）已知等差數(shù)列an的前4項(xiàng)為a，3b，2，5b，則a9=A．5 B．6 C．7 D．8【變式3-2】（2025·廣東·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列an中，若a5+a7A．18 B．15 C．12 D．9【變式3-3】（2025·山東日照·一模）已知等差數(shù)列an中，a2+a4A．15 B．9 C．36 D．【題型4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差數(shù)列an滿足：a5?2a3=1，且A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【變式4-1】（2025·遼寧·二模）已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1=A．a(chǎn)n=2n+1 B．a(chǎn)n=2n C．【變式4-2】（24-25高二下·四川廣安·期中）等差數(shù)列an中，a7=4，a(1)求an(2)設(shè)bn=1n+3an，求數(shù)列【變式4-3】（24-25高二下·安徽蕪湖·期末）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2=4(1)求an(2)設(shè)數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【例5】（2025·四川樂山·一模）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，若S3=9，S6A．18 B．27 C．45 D．63【變式5-1】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm=?3,SA．8 B．7 C．6 D．5【變式5-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若A．289 B．149 C．28 【變式5-3】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S3=4,SA．12 B．14 C．16 D．18【題型6等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值】【例6】（2025·廣西南寧·三模）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a5=2，a3A．?14 B．?494 C．?12 【變式6-1】（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a5=1，S11A．16 B．18 C．23 D．25【變式6-2】（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1<0，S9=SA．12 B．13 C．14 D．25【變式6-3】（2025·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn，前n項(xiàng)積是Tn，若S6=3A．Sn無最大值，Tn無最小值 B．SnC．Sn無最大值，Tn有最小值 D．Sn【題型7等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】【例7】（2025·山東青島·三模）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問題”：現(xiàn)有5個(gè)人分5錢，5人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的一人錢數(shù)為（

）A．13 B．12 C．23【變式7-1】（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若小寒、雨水、清明日影長之和為36尺，前八個(gè)節(jié)氣日影長之和為92尺，則谷雨日影長為（）A．15 B．16 C．17 D．18【變式7-2】（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測）鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕成每層均同球心的數(shù)層可自由轉(zhuǎn)動的空心球，空心球的球面厚度不計(jì).為保證鬼工球的每一層均可以自由轉(zhuǎn)動，要求其從最內(nèi)層起，每層與其外一層球面的間距構(gòu)成首項(xiàng)為1mm?公差為4mm的等差數(shù)列，若一個(gè)鬼工球最外層與最內(nèi)層的半徑之差為190mmA．9 B．10 C．11 D．12【變式7-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）元代數(shù)學(xué)家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關(guān)數(shù)列的計(jì)算問題：“今有竹七節(jié)，下兩節(jié)容米四升，上兩節(jié)容米二升，各節(jié)欲均容，問逐節(jié)各容幾升？”其大意為：現(xiàn)有一根七節(jié)的竹子，最下面兩節(jié)可裝米四升，最上面兩節(jié)可裝米二升，如果竹子裝米量逐節(jié)等量減少，問竹子各節(jié)各裝米多少升？以此計(jì)算，這根竹子的裝米量為（

）A．9升 B．10.5升 C．12升 D．13.5升【題型8等差數(shù)列的奇偶項(xiàng)討論問題】【例8】（2025·山東威?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n(1)求數(shù)列an(2)記cn=?1nana【變式8-1】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an>0,4(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若對于任意n∈N【變式8-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）數(shù)列an中，a1=1，a(1)求數(shù)列an(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足bn2=【變式8-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為T(1)求證：數(shù)列Tn是等差數(shù)列，并求數(shù)列a(2)令bn=?1n?1an+1【題型9含絕對值的等差數(shù)列問題】【例9】（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，且a4=3a7A．80 B．208 C．680 D．780【變式9-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知等差數(shù)列an中，a1=9，a4=3，設(shè)TA．245 B．263 C．281 D．290【變式9-2】（2025·福建漳州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a(1)求數(shù)列an(2)若bn+an=19，求數(shù)列b【變式9-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a6(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和T【題型10等差數(shù)列中的恒成立問題】【例10】（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．?2 B．0 C．1 D．2【變式10-1】（2024·陜西西安·二模）已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1?an=2，bn=?1n+11A．110,+∞ B．15,+∞【變式10-2】（2024·貴州六盤水·三模）已知an為等差數(shù)列，且a5＝(1)求an(2)若2n?λ≥a【變式10-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，2S(1)證明：1S(2)對于任意n∈N*，不等式2n【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】【例11】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過高階等差數(shù)列，高階等差數(shù)列是指逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等的數(shù)列，例如數(shù)列1，3，6，10，15，…的逐項(xiàng)差，a2?a1=2，a3?A．38 B．51 C．66 D．83【變式11-1】（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測）已知an是一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.若存在正整數(shù)p,q(其中p<q)使得Sp+Sq=0，則稱an具有性質(zhì)Γ，稱有序數(shù)對p,q是an的一組“Γ數(shù)對”，記由an的全體“Γ數(shù)對”所組成的集合為Ωan.關(guān)于命題①“若an具有性質(zhì)Γ且1,4∈Ωan，則ΩanA．①是真命題，②是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①是假命題，②是假命題【變式11-2】（2025·廣西·模擬預(yù)測）我們把公差不為0的等差數(shù)列ann∈N*稱為“一階等差數(shù)列”，若數(shù)列(1)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(2)若數(shù)列an為“二階等差數(shù)列”，且a1=1【變式11-3】（2025·山東臨沂·三模）定義：若數(shù)列an滿足an?n(1)若an=1?3n，bn=2(2)若等差數(shù)列cn為“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”，且c1=2，求c(3)若數(shù)列dn為共4項(xiàng)的“數(shù)項(xiàng)增數(shù)列”，滿足di∈一、單選題1．（2025·四川成都·一模）在等差數(shù)列an中，a3=3，a4+A．?2 B．?1 C．1 D．22．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S4?SA．1 B．2 C．3 D．43．（2025·北京·高考真題）已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a1=?2，若a3,A．?20 B．?18 C．16 D．184．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)an為等差數(shù)列，且a1+a2A．16 B．18 C．20 D．225．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Tn是數(shù)列Snn的前n項(xiàng)和.若SA．49 B．50 C．51 D．526．（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2，公差d=12，在an中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，組成一個(gè)新的等差數(shù)列bnA．4n?2 B．3n?1C．3n D．2n+17．（2025·江西·模擬預(yù)測）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a2=2a1=2A．40 B．41 C．42 D．438．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知Sn，Tn分別是等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和，且SnA．710 B．1118 C．2138二、多選題9．