2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）題型一：數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想一．選擇題（共1小題）1．（2020秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b二．解答題（共2小題）2．（2020?新華區(qū)校級(jí)模擬）已知，如圖，數(shù)軸上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣1，且AB＝a+b，BC＝2a﹣b，BD＝3a+2b．（1）求點(diǎn)B，C，D所對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含a和b的代數(shù)式表示）；（2）若a＝3，C為AD的中點(diǎn)，求b的值，并確定點(diǎn)B，C，D對(duì)應(yīng)的數(shù)．3．（2020?豐潤(rùn)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D表示四個(gè)連續(xù)的整數(shù)，分別用a，b，c，d來表示，回答下面問題：（1）若點(diǎn)D表示原點(diǎn)，則a＝，3b＝；（2）若a和c互為相反數(shù)，則a+b+c+d＝；（3）若a＝2019，計(jì)算（b+1）（b﹣1）﹣（b﹣1）2．題型二：平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思想一．解答題（共4小題）1．（2021?杭州模擬）如圖所示，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時(shí)，寬為20m，若水位上升3m，水面就會(huì)達(dá)到警戒線CD，這時(shí)水面寬為10m．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線的解析式；（2）若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時(shí)就能到達(dá)拱橋的拱頂？2．（2020?翁牛特旗模擬）閱讀下面材料：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)與面積的值相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．例如：如圖所示，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形OAPB的周長(zhǎng)與面積的值相等，則P是“和諧點(diǎn)”．根據(jù)以上材料，解決下列問題：（1）判斷C（2，3）、D（﹣4，﹣4）是否為“和諧點(diǎn)”，并說明理由；（2）若“和諧點(diǎn)”E（﹣3，n）在雙曲線y＝（k≠0，k為常數(shù)）上，求k的值．3．（2020?順德區(qū)三模）如圖，隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成．長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為16m，寬為6m，拋物線的最高點(diǎn)C離路面AA1的距離為8m．（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出表示拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一大型貨車裝載設(shè)備后高為7m，寬為4m．如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行駛車道，那么這輛貨車能否安全通過？4．（2020?南岸區(qū)模擬）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走，可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知點(diǎn)A（﹣2，1），則d（O，A）＝．（2）函數(shù)y＝x2﹣5x+7（x≥0）的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，求d（O，B）的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)．（3）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖②，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡(jiǎn)要說明理由）題型三：函數(shù)圖像中的數(shù)形結(jié)合思想一．選擇題（共1小題）1．一次函數(shù)y＝ax+b的圖象如圖所示，那么下列說法中不正確的是（）A．當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0 B．當(dāng)x＜1時(shí)，y＜0 C．當(dāng)x＜0時(shí)，y＜﹣2 D．當(dāng)x≥1時(shí)，y≥0二．填空題（共1小題）2．（2021春?徐匯區(qū)期末）已知一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)）的圖象如圖所示，那么關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是．三．解答題（共2小題）3．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點(diǎn)A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC．（1）求m、n的值和拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D在拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸上，當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）將△AOC平移，平移后點(diǎn)A仍在拋物線上，記作點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）直線x＝t與該拋物線交于點(diǎn)C，與線段AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），與x軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC、BC．①當(dāng)＝時(shí)，求t的值；②當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，求△ABC的面積．題型四：幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想一．選擇題（共1小題）1．（2007?崇安區(qū)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，由此可以驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b）二．填空題（共2小題）2．（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，直線AB與CD的夾角的度數(shù)是度．3．（2021秋?徐匯區(qū)期中）如圖所示，在直角三角形中有三個(gè)連續(xù)排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的邊長(zhǎng)分別為9和6，則正方形丙的邊長(zhǎng)等于．【真題訓(xùn)練】1（2021上海中考真題6）.如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4,AD=3，圓B半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)C、D與圓A的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi)B.點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外C.點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi)D.點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外2．（2020·上海中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=﹣x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B(如圖)．拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求線段AB的長(zhǎng)；（2）如果拋物線y=ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點(diǎn)C，且BC=，求這條拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．3.（2019上海中考真題24）．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點(diǎn)為A．（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．①試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；②平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．4.（2018·上海中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖）．已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）求線段CD的長(zhǎng)；（3）將拋物線平移，使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)O的位置，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，如果點(diǎn)M在y軸上，且以O(shè)、D、E、M為頂點(diǎn)的四邊形面積為8，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．2022年中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）題型一：數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想一．選擇題（共1小題）1．（2020秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b【分析】根據(jù)差的絕對(duì)值是大數(shù)減小數(shù)，二次根式的性質(zhì)，可化簡(jiǎn)代數(shù)式，根據(jù)整式的加減，可得答案．【解答】解：原式＝a﹣b﹣a＝﹣b．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用差的絕對(duì)值是大數(shù)減小數(shù)、二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)整式是解題關(guān)鍵．二．解答題（共2小題）2．（2020?新華區(qū)校級(jí)模擬）已知，如圖，數(shù)軸上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣1，且AB＝a+b，BC＝2a﹣b，BD＝3a+2b．（1）求點(diǎn)B，C，D所對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含a和b的代數(shù)式表示）；（2）若a＝3，C為AD的中點(diǎn)，求b的值，并確定點(diǎn)B，C，D對(duì)應(yīng)的數(shù)．【分析】（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可以用大的數(shù)減去小的數(shù)得到，所以小的數(shù)加上距離即可得到大的數(shù)；（2）根據(jù)中點(diǎn)可得到線段相等，推出a與b的關(guān)系，即可求出b，然后將b代入（1）中的代數(shù)式即可求解．【解答】解：（1）∵A對(duì)應(yīng)數(shù)﹣1，且AB＝a+b，∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)數(shù)軸上點(diǎn)的數(shù)值是﹣1+（a+b）＝a+b﹣1，又∵BC＝2a﹣b，AC＝a+b+（2a﹣b）＝3a，∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)值是﹣1+3a，∵BD＝3a+2b，AD＝a+b+（3a+2b）＝4a+3b，∴點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)值是﹣1+4a+3b．（2）∵點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，∴AC＝CD，即3a＝a+3b，∴，∵a＝3，∴b＝2，∴a+b﹣1＝4，﹣1+3a＝8，﹣1+4a+3b＝17，∴B對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)值是4，C對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)的數(shù)值是8，D對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)值是17．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，在明確數(shù)位置的情況下，可以不加絕對(duì)值，直接用大的數(shù)減去小的數(shù)即可得到，所以小的數(shù)加上兩者之間的距離也可得到大的數(shù)．3．（2020?豐潤(rùn)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D表示四個(gè)連續(xù)的整數(shù)，分別用a，b，c，d來表示，回答下面問題：（1）若點(diǎn)D表示原點(diǎn)，則a＝﹣3，3b＝；（2）若a和c互為相反數(shù)，則a+b+c+d＝2；（3）若a＝2019，計(jì)算（b+1）（b﹣1）﹣（b﹣1）2．【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)D表示原點(diǎn)時(shí)，可得a＝﹣3，b＝﹣2，可求得此題結(jié)果；（2）根據(jù)a和c互為相反數(shù)，可得a，b，c，d的值，可求得此題結(jié)果；（3）由題意求得b的值，就可以求得此題的結(jié)果．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)D表示原點(diǎn)時(shí)，可得a＝﹣3，b＝﹣2，∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴3b＝3﹣2＝，故答案為：﹣3，；（2）若a和c互為相反數(shù)，可得a＝﹣1，b＝0，c＝1，d＝2，∴a+b+c+d＝﹣1+0+1+2＝2，故答案為：2；（3）若a＝2019，則b＝2020，∴（b+1）（b﹣1）﹣（b﹣1）2＝（2020+1）（2020﹣1）﹣（2020﹣1）2＝20202﹣1﹣（20202﹣2×2020+1）＝20202﹣1﹣20202+2×2020﹣1＝4040﹣2＝4038．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)軸方面數(shù)形結(jié)合問題的解決能力，關(guān)鍵是能根據(jù)題意和數(shù)軸，準(zhǔn)確確定數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)．題型二：平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思想一．解答題（共4小題）1．（2021?杭州模擬）如圖所示，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時(shí)，寬為20m，若水位上升3m，水面就會(huì)達(dá)到警戒線CD，這時(shí)水面寬為10m．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線的解析式；（2）若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時(shí)就能到達(dá)拱橋的拱頂？【分析】（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意可得點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，然后可進(jìn)行求解；（2）由（1）可得CD距拱頂?shù)木嚯x，然后根據(jù)題意可直接進(jìn)行列式求解．【解答】解：（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（5，m），則B（10，m﹣3），由拋物線經(jīng)過點(diǎn)D和點(diǎn)B，可得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2；（2）由（1）可得CD距拱頂?shù)木嚯x為1m，水位以每小時(shí)0.2m的速度上升，從警戒線開始，到達(dá)拱頂?shù)臅r(shí)間為＝5（小時(shí)）．∴從警戒線開始，再持續(xù)5小時(shí)就能到達(dá)拱橋的拱頂．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，明確題意、熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．2．（2020?翁牛特旗模擬）閱讀下面材料：在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)與面積的值相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．例如：如圖所示，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形OAPB的周長(zhǎng)與面積的值相等，則P是“和諧點(diǎn)”．根據(jù)以上材料，解決下列問題：（1）判斷C（2，3）、D（﹣4，﹣4）是否為“和諧點(diǎn)”，并說明理由；（2）若“和諧點(diǎn)”E（﹣3，n）在雙曲線y＝（k≠0，k為常數(shù)）上，求k的值．【分析】①根據(jù)給出的“和諧點(diǎn)”定義判斷C，D兩點(diǎn)；②求E點(diǎn)中n，再代入雙曲線求解析式．【解答】解：（1）∵?C＝（2+3）×2＝10，SC＝3×3＝6，∴?C≠SC，∴C（2，3）不是“和諧點(diǎn)”，∵?D＝（4+4）×2＝16，SD＝4×4＝16，∴?D＝SD，∴D（﹣4，4）是“和諧點(diǎn)”．（2）∵E是和諧點(diǎn)，∴?E＝SE，∴（3+|n|）×2＝3×|n|，∴n＝±6，∴k＝xy＝﹣3n＝±18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查定義新運(yùn)算，以滿足特殊條件的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行判斷，結(jié)合反比例函數(shù)待定系數(shù)法解題．3．（2020?順德區(qū)三模）如圖，隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成．長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為16m，寬為6m，拋物線的最高點(diǎn)C離路面AA1的距離為8m．（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出表示拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一大型貨車裝載設(shè)備后高為7m，寬為4m．如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行駛車道，那么這輛貨車能否安全通過？【分析】（1）根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系中的特殊位置，可以設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+8，再把B（﹣8，6）代入，求出a的值即可；（2）隧道內(nèi)設(shè)雙行道后，求出縱坐標(biāo)與7m作比較即可．【解答】解：（1）如圖，以AA1所在直線為x軸，以線段AA1的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：64a+8＝6，解得：a＝﹣．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+8．（2）根據(jù)題意，把x＝±4代入解析式y(tǒng)＝﹣x2+8，得y＝7.5m．∵7.5m＞7m，∴貨運(yùn)卡車能通過．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系、利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2020?南岸區(qū)模擬）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走，可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）已知點(diǎn)A（﹣2，1），則d（O，A）＝3．（2）函數(shù)y＝x2﹣5x+7（x≥0）的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，求d（O，B）的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)．（3）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖②，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡(jiǎn)要說明理由）【分析】（1）①根據(jù)定義可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；（2）設(shè)B（x，y），根據(jù)條件可得d（O，B）＝|x|+|x2﹣5x+7|，去絕對(duì)值后由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值，再將此時(shí)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y＝x2﹣5x+7，即可得出其縱坐標(biāo)，從而問題得解；（3）以M為原點(diǎn)，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，將函數(shù)y＝﹣x的圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止，設(shè)交點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作EH⊥MN，垂足為H，修建方案是：先沿MN方向修建到H處，再沿HE方向修建到E處，可證得d（O，E）最?。窘獯稹拷猓海?）由題意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3，故答案為：3．（2）設(shè)B（x，y），根據(jù)題意得：d（O，B）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|；∵x2﹣5x+7＝+＞0，又x≥0，∴d（O，B）＝x+x2﹣5x+7＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3．∴當(dāng)x＝2時(shí)，d（O，B）有最小值3，22﹣5×2+7＝1，∴d（O，B）的最小值為3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1）．（3）如圖，以M為原點(diǎn)，MN所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy．將函數(shù)y＝﹣x的圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止．設(shè)交點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作EH⊥MN，垂足為H．修建方案是：先沿MN方向修建到H處，再沿HE方向修建到E處．理由：設(shè)過點(diǎn)E的直線l與x軸相交于點(diǎn)F．在景觀湖邊界所在曲線上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l'∥l，l'與x軸相交于點(diǎn)G．因?yàn)椤螮FH＝45°，所以EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF．同理d（O，P）＝OG．因?yàn)镺G≥OF，所以d（O，P）≥d（O，E）．因此，上述方案修建的道路最短．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及按照新定義求值，數(shù)形結(jié)合并明確函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型三：函數(shù)圖像中的數(shù)形結(jié)合思想一．選擇題（共1小題）1．一次函數(shù)y＝ax+b的圖象如圖所示，那么下列說法中不正確的是（）A．當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0 B．當(dāng)x＜1時(shí)，y＜0 C．當(dāng)x＜0時(shí)，y＜﹣2 D．當(dāng)x≥1時(shí)，y≥0【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象直接進(jìn)行解答即可．【解答】解：由一次函數(shù)y＝ax+b的圖象可知，當(dāng)x＞0時(shí)，y＞﹣2，故A說法不正確；當(dāng)x＜1時(shí)，y＜0，故B說法正確；當(dāng)x＜0時(shí)，y＜﹣2，故C說法正確；當(dāng)x≥1時(shí)，y≥0，故D說法正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共1小題）2．（2021春?徐匯區(qū)期末）已知一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)）的圖象如圖所示，那么關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜4．【分析】從圖象上得到函數(shù)的增減性及與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即能求得不等式kx+b＞0的解集．【解答】解：函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，0），并且函數(shù)值y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x＜4時(shí)，函數(shù)值大于0，即關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜4．故答案為：x＜4【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．三．解答題（共2小題）3．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點(diǎn)A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AC．（1）求m、n的值和拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D在拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸上，當(dāng)∠ACD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）將△AOC平移，平移后點(diǎn)A仍在拋物線上，記作點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．（2）過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，由直角三角形的性質(zhì)得出tan∠ACO＝tan∠CDH，則，可列出方程求出CH的長(zhǎng)，則可得出答案；（3）設(shè)P（t，），得出N（t﹣3，），由點(diǎn)N在直線AB上可得出t的值，則可得出答案．【解答】解：（1）將A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），將B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．（2）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，∵拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如圖2，若平移后的三角形為△PMN，則MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，設(shè)P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵點(diǎn)N在直線y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，平移的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程確定點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）直線x＝t與該拋物線交于點(diǎn)C，與線段AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），與x軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC、BC．①當(dāng)＝時(shí)，求t的值；②當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，求△ABC的面積．【分析】（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）證明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性質(zhì)得出∠DAE＝∠DBC，證出AE∥BC，得出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則可求出答案；（3）設(shè)C（t，﹣t+2），過點(diǎn)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，則，解方程求出t的值，則可求出答案．【解答】解：（1）由y＝﹣x+2可得：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，∴A（3，0），B（0，2），把A、B的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+2；（2）①如圖1，∵DE∥OB，∴，∵，∴，又∵∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE＝∠DBC，∴AE∥BC，∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∴2＝﹣x2+x+2，∴x＝0或x＝2，∴C（2，2），∴t＝2；②如圖2，設(shè)C（t，﹣t+2），過點(diǎn)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，∵∠BCH＝∠ACE，∴tan∠BCH＝tan∠ACE，∴，∴，∴t＝，∴C（，），∴S△ACB＝S△ACE+S梯形BOCE﹣S△ABO＝﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．題型四：幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想一．選擇題（共1小題）1．（2007?崇安區(qū)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，由此可以驗(yàn)證的等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b）【分析】根據(jù)正方形和梯形的面積公式，觀察圖形發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖形陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方差公式．即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，這個(gè)公式就叫做平方差公式．二．填空題（共2小題）2．（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，直線AB與CD的夾角的度數(shù)是60或120度．【分析】根據(jù)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的知識(shí)可求得此題的結(jié)果．【解答】解：∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°．故答案為：60或120．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角的計(jì)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解應(yīng)用以上知識(shí)，并能嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)計(jì)算．3．（2021秋?徐匯區(qū)期中）如圖所示，在直角三角形中有三個(gè)連續(xù)排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的邊長(zhǎng)分別為9和6，則正方形丙的邊長(zhǎng)等于4．【分析】如圖，甲、乙、丙均為正方形，正方形甲、乙的邊長(zhǎng)分別為9和6，設(shè)正方形丙的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)正方形性質(zhì)可推出△ABC∽△BDE，通過相似三角形性質(zhì)建立方程求解即可．【解答】解：如圖，∵甲、乙、丙均為正方形，正方形甲、乙的邊長(zhǎng)分別為9和6，設(shè)正方形丙的邊長(zhǎng)為x，∴∠BCF＝∠CBG＝∠DEG＝90°，AF＝9，BC＝CF＝BG＝6，DE＝EG＝x，∴∠ACB＝180°﹣∠BCF＝90°，∠BED＝180°﹣∠DEG＝90°，∴∠ACB＝∠BED，∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DBE，∴△ABC∽△BDE，∴＝，∵AC＝AF﹣CF＝9﹣6＝3，BE＝BG﹣EG＝6﹣x，∴＝，解得：x＝4，∴正方形丙的邊長(zhǎng)為4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．【真題訓(xùn)練】1（2021上海中考真題6）.如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4,AD=3，圓B半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)C、D與圓A的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi)B.點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外C.點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi)D.點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，勾股定理．【解答】解：兩圓外切，圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值，設(shè)圓A的半徑為R，則：AB=R-1,解出R=5，即圓A的半徑等于5，∵AB=4,BC=AD=3，由勾股定理可知AC=5∴AC=5=R，AD=3＜R，∴點(diǎn)C在圓上，點(diǎn)D在圓內(nèi)故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系勾股定理，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵，還利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形確定圓的位置．2．（2020·上海中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=﹣x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B(如圖)．拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求線段AB的長(zhǎng)；（2）如果拋物線y=ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點(diǎn)C，且BC=，求這條拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0．【分析】（1）先求出A，B坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)C（m，-m+5），則BC=|m，進(jìn)而求出點(diǎn)C（2，4），最后將點(diǎn)A，C代入拋物線解析式中，即可得出結(jié)論；

（3）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式中得出b=-10a，代入拋物線解析式中得出頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，-25a），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）針對(duì)于直線y=﹣x+5，令x=0，y=5，∴B(0，5)，令y=0，則﹣x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)，∴AB==5；（2）設(shè)點(diǎn)C(m，﹣m+5)．∵B(0，5)，∴BC==|m|．∵BC=，∴|m|=，∴m=±2．∵點(diǎn)C在線段AB上，∴m=2，∴C(2，4)，將點(diǎn)A(10，0)，C(2，4)代入拋物線y=ax2+bx(a≠0)中，得，∴，∴拋物線y=﹣x2+x；（3）∵點(diǎn)A(10，0)在拋物線y=ax2+bx中，得100a+10b=0，∴b=﹣10a，∴拋物線的解析式為y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，∴拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(5，﹣25a)，將x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=，∵頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間的距離公式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．3.（2019上海中考真題24）．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2﹣2x，其頂點(diǎn)為A．（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，并說明它的變化情況；（2）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”．①試求拋物線y＝x2﹣2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)；②平移拋物線y＝x2﹣2x，使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達(dá)式．【解答】解：（1）∵a＝1＞0，故該拋物線開口向上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣1）；（2）①設(shè)拋物線“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為（t，t），則t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為（0，0）或（3，3）；②∵新拋物線頂點(diǎn)B為“不動(dòng)點(diǎn)”，則設(shè)點(diǎn)B