人教中學(xué)七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末解答題復(fù)習(xí)題及答案一、解答題1．如圖，用兩個(gè)面積為的小正方形拼成一個(gè)大的正方形．（1）則大正方形的邊長(zhǎng)是；（2）若沿著大正方形邊的方向裁出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使裁出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為，且面積為？2．觀察下圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，（1）圖中陰影部分的面積是多少？邊長(zhǎng)是多少？（2）估計(jì)邊長(zhǎng)的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間．3．小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片,沿著邊的方向裁處一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片.(1)請(qǐng)幫小麗設(shè)計(jì)一種可行的裁剪方案；(2)若使長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比為3:2,小麗能用這塊紙片裁處符合要求的紙片嗎？若能,請(qǐng)幫小麗設(shè)計(jì)一種裁剪方案,若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.4．如圖用兩個(gè)邊長(zhǎng)為cm的小正方形紙片拼成一個(gè)大的正方形紙片，沿著大正方形紙片的邊的方向截出一個(gè)長(zhǎng)方形紙片，能否使截得的長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)寬之比為，且面積為cm2？請(qǐng)說(shuō)明理由．5．有一塊正方形鋼板，面積為16平方米．（1）求正方形鋼板的邊長(zhǎng)．（2）李師傅準(zhǔn)備用它裁剪出一塊面積為12平方米的長(zhǎng)方形工件，且要求長(zhǎng)寬之比為，問(wèn)李師傅能辦到嗎？若能，求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）．二、解答題6．如圖，直線HDGE，點(diǎn)A在直線HD上，點(diǎn)C在直線GE上，點(diǎn)B在直線HD、GE之間，∠DAB＝120°．（1）如圖1，若∠BCG＝40°，求∠ABC的度數(shù)；（2）如圖2，AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，比較∠B，∠F的大小；（3）如圖3，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，PN平分∠APC，CN平分∠PCE，探究∠HAP和∠N的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．7．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請(qǐng)你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）8．如圖1，已AB∥CD，∠C＝∠A．（1）求證：AD∥BC；（2）如圖2，若點(diǎn)E是在平行線AB，CD內(nèi)，AD右側(cè)的任意一點(diǎn)，探究∠BAE，∠CDE，∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，若∠C＝90°，且點(diǎn)E在線段BC上，DF平分∠EDC，射線DF在∠EDC的內(nèi)部，且交BC于點(diǎn)M，交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠AED+∠AEC＝180°，①直接寫(xiě)出∠AED與∠FDC的數(shù)量關(guān)系：．②點(diǎn)P在射線DA上，且滿(mǎn)足∠DEP＝2∠F，∠DEA﹣∠PEA＝∠DEB，補(bǔ)全圖形后，求∠EPD的度數(shù)9．綜合與探究（問(wèn)題情境）王老師組織同學(xué)們開(kāi)展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)（1）如圖1，，點(diǎn)、分別為直線、上的一點(diǎn)，點(diǎn)為平行線間一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出、和之間的數(shù)量關(guān)系；（問(wèn)題遷移）（2）如圖2，射線與射線交于點(diǎn)，直線，直線分別交、于點(diǎn)、，直線分別交、于點(diǎn)、，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，①當(dāng)點(diǎn)在、（不與、重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，．則，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②若點(diǎn)不在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)與點(diǎn)、、三點(diǎn)都不重合），請(qǐng)你畫(huà)出滿(mǎn)足條件的所有圖形并直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系．10．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上．（1）根據(jù)圖1填空：∠1＝°，∠2＝°；（2）現(xiàn)把三角板繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°．①如圖2，當(dāng)n＝25°，且點(diǎn)C恰好落在DG邊上時(shí)，求∠1、∠2的度數(shù)；②當(dāng)0°＜n＜180°時(shí)，是否會(huì)存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有n的值和對(duì)應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．三、解答題11．閱讀下面材料：小穎遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：已知：如圖甲，為之間一點(diǎn)，連接，求的度數(shù)．她是這樣做的：過(guò)點(diǎn)作則有因?yàn)樗寓偎运约確；1．小穎求得的度數(shù)為_(kāi)_；2．上述思路中的①的理由是__；3．請(qǐng)你參考她的思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：已知：直線點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，連接平分平分且所在的直線交于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，若，則的度數(shù)為；(用含有的式子表示)．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，設(shè)，直接寫(xiě)出的度數(shù)(用含有的式子表示)．12．已知射線射線CD，P為一動(dòng)點(diǎn)，AE平分，CE平分，且AE與CE相交于點(diǎn)E．（注意：此題不允許使用三角形，四邊形內(nèi)角和進(jìn)行解答）（1）在圖1中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC上時(shí)，．直接寫(xiě)出的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圖2的位置時(shí)，猜想與之間的關(guān)系，并加以說(shuō)明；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圖3的位置時(shí)，（2）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出與之間的關(guān)系，并加以證明．13．已知AB∥CD，點(diǎn)M在直線AB上，點(diǎn)N、Q在直線CD上，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．（1）如圖①，求∠MPQ的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥PN交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)E作EF平分∠PEQ交PQ于點(diǎn)F．請(qǐng)你判斷EF與PQ的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EN，若NE平分∠PNQ，請(qǐng)你判斷∠NEF與∠AMP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．14．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒3°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．（1）幾秒后與重合？（2）如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，，求此時(shí)的值．（3）若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間與重合？請(qǐng)畫(huà)圖并說(shuō)明理由．（4）在（3）的條件下，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間平分？請(qǐng)畫(huà)圖并說(shuō)明理由．15．已知，交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，①補(bǔ)全圖形；②求證：．（2）點(diǎn)G是線段AC上的一點(diǎn)，連接FG，DG．①若點(diǎn)G是線段AE的中點(diǎn)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②若點(diǎn)G是線段EC上的一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系．四、解答題16．小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)教材中的一個(gè)有趣問(wèn)題做如下探究：（習(xí)題回顧）已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn).求證：；（變式思考）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，其反向延長(zhǎng)線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則與還相等嗎？說(shuō)明理由；（探究延伸）如圖3，在中，上存在一點(diǎn)，使得，的平分線交于點(diǎn).的外角的平分線所在直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系.17．Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn).令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=50°，則∠1+∠2=°；（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由.（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為：.18．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng),A、B不與點(diǎn)O重合，如圖1，已知AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，（1）點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的大小.（2）如圖2，將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，則∠ABO＝________,如圖3，將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，則∠ABO＝________（3）如圖4，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于E、F，則∠EAF＝；在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，求∠ABO的度數(shù).19．如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿(mǎn)足，那么我們稱(chēng)這樣的三角形是“準(zhǔn)互余三角形”．（1）如圖1，在中，，是的角平分線，求證：是“準(zhǔn)互余三角形”；（2）關(guān)于“準(zhǔn)互余三角形”，有下列說(shuō)法：①在中，若，，，則是“準(zhǔn)互余三角形”；②若是“準(zhǔn)互余三角形”，，，則；③“準(zhǔn)互余三角形”一定是鈍角三角形．其中正確的結(jié)論是___________（填寫(xiě)所有正確說(shuō)法的序號(hào)）；（3）如圖2，，為直線上兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線外，且．若是直線上一點(diǎn)，且是“準(zhǔn)互余三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．20．已知，，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)．（1）如圖1，寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：；（3）如圖3，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且：，，，求的度數(shù)．【參考答案】一、解答題1．（1）；（2）無(wú)法裁出這樣的長(zhǎng)方形．【分析】（1）先計(jì)算兩個(gè)小正方形的面積之和，在根據(jù)算術(shù)平方根的定義，即可求解；（2）設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為cm，寬為cm，根據(jù)題意列出方程，解方程比較4x與20的大小解析：（1）；（2）無(wú)法裁出這樣的長(zhǎng)方形．【分析】（1）先計(jì)算兩個(gè)小正方形的面積之和，在根據(jù)算術(shù)平方根的定義，即可求解；（2）設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為cm，寬為cm，根據(jù)題意列出方程，解方程比較4x與20的大小即可．【詳解】解：（1）由題意得，大正方形的面積為200+200=400cm2，∴邊長(zhǎng)為：；根據(jù)題意設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為cm，寬為cm，由題:則長(zhǎng)為無(wú)法裁出這樣的長(zhǎng)方形.【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，根據(jù)題意列出算式（方程）是解決此題的關(guān)鍵.2．（1）圖中陰影部分的面積17，邊長(zhǎng)是；（2）邊長(zhǎng)的值在4與5之間【分析】（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來(lái)大正方形的面積減去周?chē)膫€(gè)直角三角形的面積，由正方形的面積等于邊長(zhǎng)乘以邊長(zhǎng)，可解析：（1）圖中陰影部分的面積17，邊長(zhǎng)是；（2）邊長(zhǎng)的值在4與5之間【分析】（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來(lái)大正方形的面積減去周?chē)膫€(gè)直角三角形的面積，由正方形的面積等于邊長(zhǎng)乘以邊長(zhǎng)，可以得到陰影正方形的邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)，可以估算出邊長(zhǎng)的值在哪兩個(gè)整數(shù)之間．【詳解】（1）由圖可知，圖中陰影正方形的面積是：5×5?=17則陰影正方形的邊長(zhǎng)為：答：圖中陰影部分的面積17，邊長(zhǎng)是（2）∵所以4＜＜5∴邊長(zhǎng)的值在4與5之間；【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算及算術(shù)平方根的定義，解題主要利用了勾股定理和正方形的面積求解，有一定的綜合性，解題關(guān)鍵是無(wú)理數(shù)的估算．3．（1）可以以正方形一邊為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，在其鄰邊上截取長(zhǎng)為15cm的線段作為寬即可裁出符合要求的長(zhǎng)方形；（2）不能，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）解：設(shè)面積為400cm2的正方形紙片的邊長(zhǎng)為acm∴解析：（1）可以以正方形一邊為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，在其鄰邊上截取長(zhǎng)為15cm的線段作為寬即可裁出符合要求的長(zhǎng)方形；（2）不能，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）解：設(shè)面積為400cm2的正方形紙片的邊長(zhǎng)為acm∴a2=400又∵a＞0∴a=20又∵要裁出的長(zhǎng)方形面積為300cm2∴若以原正方形紙片的邊長(zhǎng)為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，則長(zhǎng)方形的寬為：300÷20=15（cm）∴可以以正方形一邊為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，在其鄰邊上截取長(zhǎng)為15cm的線段作為寬即可裁出符合要求的長(zhǎng)方形（2）∵長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為3：2∴設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3xcm，則寬為2xcm∴6x2=300∴x2=50又∵x＞0∴x=∴長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為又∵＞202即：＞20∴小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片4．不能截得長(zhǎng)寬之比為，且面積為cm2的長(zhǎng)方形紙片，見(jiàn)解析【分析】根據(jù)拼圖求出大正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之比為3：2，計(jì)算長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：不能，因?yàn)榇笳叫渭埥馕觯翰荒芙氐瞄L(zhǎng)寬之比為，且面積為cm2的長(zhǎng)方形紙片，見(jiàn)解析【分析】根據(jù)拼圖求出大正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之比為3：2，計(jì)算長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：不能，因?yàn)榇笳叫渭埰拿娣e為（）2+（）2=36（cm2），所以大正方形的邊長(zhǎng)為6cm，設(shè)截出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3bcm，寬為2bcm，則6b2=30，所以b=（取正值），所以3b=3=＞，所以不能截得長(zhǎng)寬之比為3：2，且面積為30cm2的長(zhǎng)方形紙片．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根的意義是正確解答的關(guān)鍵．5．（1）4米（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正方形邊長(zhǎng)與面積間的關(guān)系求解即可；（2）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為米、米，由其面積可得x值，比較長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與正方形邊長(zhǎng)的大小可得結(jié)論.【詳解】解解析：（1）4米（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正方形邊長(zhǎng)與面積間的關(guān)系求解即可；（2）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為米、米，由其面積可得x值，比較長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與正方形邊長(zhǎng)的大小可得結(jié)論.【詳解】解：（1）正方形的面積是16平方米，正方形鋼板的邊長(zhǎng)是米；（2）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為米、米，則，，，，，長(zhǎng)方形長(zhǎng)是米，而正方形的邊長(zhǎng)為4米，所以李師傅不能辦到.【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用，靈活的利用算術(shù)平方根表示正方形和長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.二、解答題6．（1）∠ABC＝100°；（2）∠ABC＞∠AFC；（3）∠N＝90°﹣∠HAP；理由見(jiàn)解析．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BMHD，則HDGEBM，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABM與∠CBM，便可求得最后解析：（1）∠ABC＝100°；（2）∠ABC＞∠AFC；（3）∠N＝90°﹣∠HAP；理由見(jiàn)解析．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BMHD，則HDGEBM，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABM與∠CBM，便可求得最后結(jié)果；（2）過(guò)B作BPHDGE，過(guò)F作FQHDGE，由平行線的性質(zhì)得，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，由角平分線的性質(zhì)和已知角的度數(shù)分別求得∠HAF，∠FCG，最后便可求得結(jié)果；（3）過(guò)P作PKHDGE，先由平行線的性質(zhì)證明∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，再根據(jù)角平分線求得∠NPC與∠PCN，由后由三角形內(nèi)角和定理便可求得結(jié)果．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BMHD，則HDGEBM，如圖1，∴∠ABM＝180°﹣∠DAB，∠CBM＝∠BCG，∵∠DAB＝120°，∠BCG＝40°，∴∠ABM＝60°，∠CBM＝40°，∴∠ABC＝∠ABM+∠CBM＝100°；（2）過(guò)B作BPHDGE，過(guò)F作FQHDGE，如圖2，∴∠ABP＝∠HAB，∠CBP＝∠BCG，∠AFQ＝∠HAF，∠CFQ＝∠FCG，∴∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∠AFC＝∠HAF+∠FCG，∵∠DAB＝120°，∴∠HAB＝180°﹣∠DAB＝60°，∵AF平分∠HAB，BC平分∠FCG，∠BCG＝20°，∴∠HAF＝30°，∠FCG＝40°，∴∠ABC＝60°+20°＝80°，∠AFC＝30°+40°＝70°，∴∠ABC＞∠AFC；（3）過(guò)P作PKHDGE，如圖3，∴∠APK＝∠HAP，∠CPK＝∠PCG，∴∠APC＝∠HAP+∠PCG，∵PN平分∠APC，∴∠NPC＝∠HAP+∠PCG，∵∠PCE＝180°﹣∠PCG，CN平分∠PCE，∴∠PCN＝90°﹣∠PCG，∵∠N+∠NPC+∠PCN＝180°，∴∠N＝180°﹣∠HAP﹣∠PCG﹣90°+∠PCG＝90°﹣∠HAP，即：∠N＝90°﹣∠HAP．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線性質(zhì)和判定：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，理清各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．7．（1）見(jiàn)解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖解析：（1）見(jiàn)解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，則有，，，，；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過(guò)點(diǎn)作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．8．（1）見(jiàn)解析；（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，證明見(jiàn)解析；（3）①∠AED-∠FDC=45°，理由見(jiàn)解析；②50°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根解析：（1）見(jiàn)解析；（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，證明見(jiàn)解析；（3）①∠AED-∠FDC=45°，理由見(jiàn)解析；②50°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得AB∥CD∥EF，然后由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得結(jié)論；（3）①根據(jù)∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，DF平分∠EDC，可得出2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，即可導(dǎo)出角的關(guān)系；②先根據(jù)∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°得出∠DEP=2∠F=90°，再根據(jù)∠DEA-∠PEA=∠DEB，求出∠AED=50°，即可得出∠EPD的度數(shù)．【詳解】解：（1）證明：AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∵∠C=∠A，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC；（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠BAE=∠AEF，∠CDE=∠DEF即∠FEA+∠FED=∠CDE+∠BAE∴∠BAE+∠CDE=∠AED；（3）①∠AED-∠FDC=45°；∵∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，∴∠AEC=∠DEC+∠AEB，∴∠AED=∠AEB，∵DF平分∠EDC∠DEC=2∠FDC∴∠DEC=90°-2∠FDC，∴2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，∴∠AED-∠FDC=45°，故答案為：∠AED-∠FDC=45°；②如圖3，∵∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°，∴∠F=45°，∴∠DEP=2∠F=90°，∵∠DEA-∠PEA=∠DEB=∠DEA，∴∠PEA=∠AED，∴∠DEP=∠PEA+∠AED=∠AED=90°，∴∠AED=70°，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠DEC+2∠AED=180°，∴∠DEC=40°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC=40°，在△PDE中，∠EPD=180°-∠DEP-∠AED=50°，即∠EPD=50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（1）；（2）①，理由見(jiàn)解析；②圖見(jiàn)解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線的性質(zhì)，即可得到答案；（2）①過(guò)作交于，由平行線的性質(zhì)，得到，，即可得到答案；②根據(jù)題意，可對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行分類(lèi)討論解析：（1）；（2）①，理由見(jiàn)解析；②圖見(jiàn)解析，或【分析】（1）作PQ∥EF，由平行線的性質(zhì)，即可得到答案；（2）①過(guò)作交于，由平行線的性質(zhì)，得到，，即可得到答案；②根據(jù)題意，可對(duì)點(diǎn)P進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線時(shí)；當(dāng)在之間時(shí)；與①同理，利用平行線的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】解：（1）作PQ∥EF，如圖：∵，∴，∴，，∵∴；（2）①；理由如下：如圖，過(guò)作交于，∵，∴，∴，，∴；②當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線時(shí)，如備用圖1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=，∠EPD=，∴；當(dāng)在之間時(shí)，如備用圖2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=，∠CPE=，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，從而得到角的關(guān)系．10．（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；（2）①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相解析：（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；（2）①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠ABE，根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)求出∠BCG，然后根據(jù)周角等于360°計(jì)算即可得到∠2；②結(jié)合圖形，分AB、BC、AC三條邊與直尺垂直討論求解．【詳解】解：（1）∠1=180°-60°=120°，∠2=90°；故答案為：120，90；（2）①如圖2，∵∠ABC=60°，∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，∵DG∥EF，∴∠1=∠ABE=120°-n°，∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG=360°-90°-（180°-n°）=90°+n°；②當(dāng)n=30°時(shí)，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=30°+60°=90°，AB⊥DG（EF）；當(dāng)n=90°時(shí)，∠C=∠CBF=90°，∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；當(dāng)n=120°時(shí)，∴AB⊥DE（GF）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線角的計(jì)算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．；2．平行于同一條直線的兩條直線平行；3．（1）；（2）．【分析】1、根據(jù)角度和計(jì)算得到答案；2、根據(jù)平行線的推論解答；3、（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及1的結(jié)論證明即可得到答案；（2）根據(jù)B解析：；2．平行于同一條直線的兩條直線平行；3．（1）；（2）．【分析】1、根據(jù)角度和計(jì)算得到答案；2、根據(jù)平行線的推論解答；3、（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及1的結(jié)論證明即可得到答案；（2）根據(jù)BE平分平分求出，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BEF=，，再利用周角求出答案．【詳解】1、過(guò)點(diǎn)作則有因?yàn)樗寓偎运约?；故答案為：?、過(guò)點(diǎn)作則有因?yàn)樗訣F∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；3、（1）∵BE平分平分∴，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，由1可得∠BED=，∴∠BED=，故答案為：；（2）∵BE平分平分∴，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠ABE=∠BEF=，∵∴EF∥CD，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，平行線的推論，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3），證明見(jiàn)解析．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行公理推論可得，從而可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)角的和差即可得；解析：（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3），證明見(jiàn)解析．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行公理推論可得，從而可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)角的和差即可得；（2）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)（1）可得，再根據(jù)（1）同樣的方法可得，由此即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，先根據(jù)（1）可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行公理推論可得，然后根據(jù)角的和差、等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，又，且點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上，，平分，平分，，；（2）猜想，證明如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，由（1）已得：，同理可得：，；（3），證明如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，由（1）已得：，即，，，即，，，，即，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理推論、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（1）2α；（2）EF⊥PQ，見(jiàn)解析；（3）∠NEF＝∠AMP，見(jiàn)解析【分析】1）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF＝解析：（1）2α；（2）EF⊥PQ，見(jiàn)解析；（3）∠NEF＝∠AMP，見(jiàn)解析【分析】1）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，進(jìn)而可得EF與PQ的位置關(guān)系；（3）結(jié)合（2）和已知條件可得∠QNE＝∠QEN，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PR，∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；（2）如圖②，EF⊥PQ，理由如下：∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；（3）如圖③，∠NEF＝∠AMP，理由如下：由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣2α，∵∠PQN＝α，∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，∵NE平分∠PNQ，∴∠PNE＝∠QNE，∵QE∥PN，∴∠QEN＝∠PNE，∴∠QNE＝∠QEN，∵∠NQE＝3α，∴∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣（180°﹣3α）＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α＝α＝∠AMP．∴∠NEF＝∠AMP．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，畫(huà)圖見(jiàn)解析；（4）秒，畫(huà)圖見(jiàn)解析【分析】（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動(dòng)速度即可得；（2）求出∠AON=60°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時(shí)間t；（3）設(shè)∠AON=3解析：（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，畫(huà)圖見(jiàn)解析；（4）秒，畫(huà)圖見(jiàn)解析【分析】（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動(dòng)速度即可得；（2）求出∠AON=60°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時(shí)間t；（3）設(shè)∠AON=3t，則∠AOC=30°+6t，由題意列出方程，解方程即可；（4）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和OC平分∠MOB，由題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵30÷3=10，∴10秒后ON與OC重合；（2）∵M(jìn)N∥AB∴∠BOM=∠M=30°，∵∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=60°，∴t=60÷3=20∴經(jīng)過(guò)t秒后，MN∥AB，t=20秒．（3）如圖3所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠BOM，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON=3t，則∠AOC=30°+6t，∵OC與OM重合，∵∠AOC+∠BOC=180°，可得：（30°+6t）+（90°-3t）=180°，解得：t=20秒；即經(jīng)過(guò)20秒時(shí)間OC與OM重合；（4）如圖4所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON=3t，∠AOC=30°+6t，∵∠BOM+∠AON=90°，∴∠BOC=∠COM=∠BOM=（90°-3t），由題意得：180°-（30°+6t）=（90°-3t），解得：t=秒，即經(jīng)過(guò)秒OC平分∠MOB．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角的計(jì)算以及方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．（1）①見(jiàn)解析；②；見(jiàn)解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF【分析】（1）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形；②依據(jù)DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDF+∠AFD=180°，∠解析：（1）①見(jiàn)解析；②；見(jiàn)解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF【分析】（1）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形；②依據(jù)DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDF+∠AFD=180°，∠A+∠AFD=180°，進(jìn)而得出∠EDF=∠A；（2）①過(guò)G作GH∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF；②過(guò)G作GH∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF．【詳解】解：（1）①如圖，②∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDF+∠AFD=180°，∠A+∠AFD=180°，∴∠EDF=∠A；（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF．如圖2所示，過(guò)G作GH∥AB，∵AB∥DE，∴GH∥DE，∴∠AFG=∠FGH，∠EDG=∠DGH，∴∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF．如圖所示，過(guò)G作GH∥AB，∵AB∥DE，∴GH∥DE，∴∠AFG=∠FGH，∠EDG=∠DGH，∴∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．四、解答題16．[習(xí)題回顧]證明見(jiàn)解析；[變式思考]相等，證明見(jiàn)解析；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明見(jiàn)解析．【分析】[習(xí)題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解析：[習(xí)題回顧]證明見(jiàn)解析；[變式思考]相等，證明見(jiàn)解析；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明見(jiàn)解析．【分析】[習(xí)題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明；[變式思考]根據(jù)角平分線的定義和對(duì)頂角相等可得∠CAE=∠DAF、再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等角的余角相等即可得出=；[探究延伸]根據(jù)角平分線的定義可得∠EAN=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CEF=∠CFE，由此可證∠M+∠CFE=90°．【詳解】[習(xí)題回顧]證明：∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD，∵AE是角平分線，∴∠CAF=∠DAF，∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE；[變式思考]相等，理由如下：證明：∵AF為∠BAG的角平分線，∴∠GAF=∠DAF，∵∠CAE=∠GAF，∴∠CAE=∠DAF，∵CD為AB邊上的高，∠ACB=90°,∴∠ADC=90°，∴∠ADF=∠ACE=90°，∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，∴∠CEF=∠CFE；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明：∵C、A、G三點(diǎn)共線

AE、AN為角平分線，∴∠EAN=90°，又∵∠GAN=∠CAM，∴∠M+∠CEF=90°，∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線的有關(guān)證明，等角或同角的余角相等．在本題中用的比較多的是利用等角或同角的余角相等證明角相等和三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，理解并掌握是解決此題的關(guān)鍵．17．（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由見(jiàn)解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義，得出∠1+∠2解析：（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由見(jiàn)解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義，得出∠1+∠2=∠C+∠α，進(jìn)而得出即可；（2）利用（1）中所求的結(jié)論得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系即可；（3）利用三角外角的性質(zhì)，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系．試題分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案為140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案為∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如圖③，設(shè)DP與BE的交點(diǎn)為M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如圖④，設(shè)PE與AC的交點(diǎn)為F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案為∠2＝90°＋∠1－∠α點(diǎn)睛：本題考查了三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)、對(duì)頂角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.18．（1）∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．【分析】（1）由直線MN與直線PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠解析：（1）∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．【分析】（1）由直線MN與直線PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠PAB+∠ABM＝270°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC＝∠PAB，∠ABC＝∠ABM，于是得到結(jié)論；（2）由于將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，得到∠CAB＝∠BAQ，由角平分線的定義得到∠PAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；根據(jù)將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，得到∠ABC＝∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC＝∠MBC，于是得到結(jié)論；（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可得出∠E與∠ABO的關(guān)系，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一個(gè)角是另一個(gè)角的倍分情況進(jìn)行分類(lèi)討論即可．【詳解】解：（1）∠ACB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠ABM＝270°，∵AC、BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，∴∠BAC＝∠PAB，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAC+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，∴∠ACB＝45°；（2）∵將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線PQ上，∴∠CAB＝∠BAQ，∵AC平分∠PAB，∴∠PAC＝∠CAB，∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∵將△ABC沿直線AB折疊，若點(diǎn)C落在直線MN上，∴∠ABC＝∠ABN，∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝∠MBC，∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN，∴∠ABO＝60°，故答案為：30°，60°；（3）∵AE、AF分別是∠BAO與∠GAO的平分線，∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠GAO，∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，∴∠EAF＝∠EAO+∠FAO＝（∠BAO+∠GAO）＝90°．在△AEF中，∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E,∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，∵有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，故有：①∠EAF＝∠F，∠E＝30°，∠ABO＝60°；②∠F＝∠E，∠E＝36°，∠ABO＝72°；③∠EAF＝∠E，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；④∠E＝∠F，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）；∴∠ABO為60°或72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是要能根據(jù)角平分線的性質(zhì)將外角的度數(shù)與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來(lái)，然后再根據(jù)內(nèi)角和定理進(jìn)行求解.另外需要分類(lèi)討論的時(shí)候一定要注意分類(lèi)討論的思想．19．（1）見(jiàn)解析；（2）①③；（3）∠APB的度數(shù)是10°或20°或40°或110°【分析】（1）由和是的角平分線，證明即可；（2）根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”的定義逐個(gè)判斷即可；（3）根據(jù)“準(zhǔn)互余三角解析：（1）見(jiàn)解析；（2）①③；（3）∠APB的度數(shù)是10°