試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第8題函數(shù)與向量綜合運用問題（一題多解）已知，、、是平面內(nèi)三個不同的單位向量．若，則可的取值范圍是______．利用分段函數(shù)值分類討論，可得，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得．若，則，又三個向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量兩兩垂直，顯然不成立；故．不妨設(shè)，則，，，不妨設(shè)，，，，則，則，，由，，則，，故．1．在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，即可表達出，進而用輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】分別以所在直線為軸，軸，方向為正方向建立直角坐標(biāo)系，知,設(shè)，由得：，即,則，由可得：，則，故.則的取值范圍是

.故選：C2．記，已知向量，，滿足，，，且，則當(dāng)取最小值時，A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出得，，再翻譯建立函數(shù)，然后再求其最小值，最后求向量及模．【詳解】，，由題設(shè)可得：，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的最小值為，此時，則，故故選：A．分析可知，根據(jù)基底法可設(shè)，，結(jié)合題意可得，，轉(zhuǎn)化為兩點間距離，結(jié)合圖象分析求解.若，則，又三個向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量兩兩垂直，顯然不成立；故．不妨設(shè)，則，，，可知不共線，設(shè)，，則，，且，因為，則，因為為圓位于第二象限的部分上的點，設(shè)，則，由圖可知：，且，所以.3．已知直角梯形ABCD中，，，且，，點P是△BCD內(nèi)（含邊界）任意一點，設(shè)（，），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作BD的平行線，并分別交AB，AD的延長線于，過點作BD的平行線，并分別交AB，AD的延長線于E，F(xiàn)，設(shè)，根據(jù)共線結(jié)論可得，再結(jié)合平行關(guān)系可得.【詳解】過點作BD的平行線，并分別交AB，AD的延長線于，過點作BD的平行線，并分別交AB，AD的延長線于E，F(xiàn)，因三點共線，則，設(shè)，，則，而，因此，，則得到，由題意知，則四邊形BECD為平行四邊形，所以，從而，則的取值范圍是．故選：C4．已知正三角形的邊長為，點，都在邊上，且，，為線段上一點，為線段的中點，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．【答案】D【分析】依題意可得，從而轉(zhuǎn)化為求的最小值，當(dāng)時取得最小值，利用等面積法求出，即可得解,【詳解】因為，即為的中點，又，所以為的中點，又正三角形的邊長為，所以，依題意，，所以，所以當(dāng)時取得最小值，如圖，此時點在的位置，連接，則，又，，所以，所以，所以.故選：D

5．已知，，是非零向量，與的夾角為，，，則，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先設(shè)出幾何圖形，確定給定向量的位置，結(jié)合給定條件得到，再對的取值進行討論，求解最值即可.【詳解】設(shè)，，，所以，因為，所以，即，因為與的夾角為，所以，因為，，，所以，故，如圖，取中點，作，作，連接，因為，所以，故，，由向量中線定理得，所以，故，，，因為，所以，因為，所以，得到，故，由可得，故，即，解得，故，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上，由題意得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時，由三角形邊長性質(zhì)得，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等，在直角三角形中，所以，故，代入數(shù)據(jù)得，解得，此時，即的最小值是，當(dāng)時，，此時的終點不在，通過平移，使其終點到達，同時設(shè)起點為，此時三點共線，所以，所以，由三角形邊長性質(zhì)得，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等，在直角三角形中，所以，故，代入數(shù)據(jù)得，解得，此時，即的最小值是，綜上，的最小值是，故D正確.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是作出圖形，利用給定條件得到，然后對參數(shù)進行分類討論，得到所要求的最值即可．6．已知，是單位向量，且，若向量滿足，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】設(shè)，，，利用得到，轉(zhuǎn)化為圓心到原點的距離加上圓的半徑可得答案.【詳解】因為，是單位向量，且，所以，又因為，所以，設(shè)，，，則，所以，因為，所以，可得，化簡得，配方得，表示以為圓心，為半徑的圓，圓心到原點的距為，則的最大值為圓心到原點的距離加上圓的半徑，即為.故選：B.7．已知為圓上的三個點，且為正三角形，則的最小值為（

）A． B． C．11 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用向量數(shù)量積運算可證，，由向量三角不等式可得，求出得解.【詳解】由題，，，所以，同理，，由向量三角不等式，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)與共線反向時，取等號，所以的最小值為.故選：A.8．已知平面向量、、滿足：與的夾角為銳角，，，，且，，的最小值是（

）A．0 B． C．6 D．【答案】D【分析】先根據(jù)數(shù)量積和模長的計算得到，時，再設(shè)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算和輔助角公式以及正弦函數(shù)的值域可解.【詳解】平面向量,的夾角為由題，因為，，所以，由二次函數(shù)分析可知，當(dāng)時，取得最小值，所以，又，因為，，所以，解得，因為夾角為銳角，所以，所以，因為，設(shè)，，則，則所以，因為，令，則，所以最小值是.故選：D.9．如圖，中，.在所在的平面內(nèi)，有一個邊長為1的正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先在，根據(jù)余弦定理求，再把轉(zhuǎn)化成，分別求的值和的范圍，即可求解.【詳解】在中，由余弦定理可得：.所以.又四邊形是邊長為1的正方形，所以，.因為.又，，因為，所以，所以.所以.故選：B10．若向量滿足，且向量與向量的夾角為，則的最大值是（

）A． B．40 C．64 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，再由三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到最值.【詳解】因為，且向量與向量的夾角為，設(shè)，其中，則，其中，因為，當(dāng)時，有最大值.故選：D11．已知平面向量、、滿足，且對任意實數(shù)恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對于不等式，我們兩邊平方得到關(guān)于實數(shù)的不等式，進而得到，再結(jié)合向量的運算性質(zhì)得到，最后利用絕對值三角不等式求解最值即可.【詳解】由，兩邊平方得又，且對任意實數(shù)恒成立，即恒成立，故，即，解得，即，且，而，故，則由絕對值三角不等式得，故B正確.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵先利用對任意實數(shù)恒成立，求得，再利用絕對值三角不等式求解最值即可.12．已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，應(yīng)用向量數(shù)量積運算律得，結(jié)合最小值可得，進而建立合適的坐標(biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法求的最小值.【詳解】設(shè)，，且，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又的最小值為，所以，又，則，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，其中，且、，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.故選：D.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標(biāo)運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．13．在平行四邊形中，，