倍數(shù)問題專項訓(xùn)練題集倍數(shù)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要基石，貫穿于分?jǐn)?shù)運算、比例應(yīng)用等多個知識模塊。掌握倍數(shù)關(guān)系不僅需要清晰的概念認(rèn)知，更需通過典型問題的訓(xùn)練培養(yǎng)解題直覺。以下從基礎(chǔ)理解到綜合應(yīng)用，系統(tǒng)梳理倍數(shù)問題的核心題型與解題策略。一、倍數(shù)概念的核心梳理（一）倍數(shù)的定義與基本性質(zhì)若整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0）的商為整數(shù)且無余數(shù)，則稱a是b的倍數(shù)。理解時需注意：0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)（0÷b=0）倍數(shù)具有傳遞性：若a是b的倍數(shù)，b是c的倍數(shù)，則a是c的倍數(shù)一個數(shù)的倍數(shù)集合是無限集，最小倍數(shù)是其本身示例：在12、15、24、30中，哪些數(shù)是6的倍數(shù)？解析：通過除法運算可知12÷6=2，24÷6=4，故12和24是6的倍數(shù)。（二）公倍數(shù)與最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)稱為公倍數(shù)，其中最小的正整數(shù)稱為最小公倍數(shù)（LCM）。求解最小公倍數(shù)是解決倍數(shù)問題的關(guān)鍵工具，常用方法包括：1.列舉法：分別列出各數(shù)倍數(shù)，找出公共項2.分解質(zhì)因數(shù)法：將各數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)乘積，取各質(zhì)因數(shù)最高次冪相乘3.短除法：通過短除式求所有除數(shù)的乘積示例：求12和18的最小公倍數(shù)解析：分解質(zhì)因數(shù)得12=22×3，18=2×32，故LCM=22×32=36二、典型問題分類與解題策略（一）基本倍數(shù)判定核心特征：判斷一個數(shù)是否為另一個數(shù)的倍數(shù)，或已知倍數(shù)關(guān)系求原數(shù)。解題關(guān)鍵：熟練掌握2-10各數(shù)的倍數(shù)特征，靈活運用除法驗證。例題1：若四位數(shù)□56□能同時被2和3整除，這樣的四位數(shù)有多少個？解析：被2整除要求末位為0、2、4、6、8被3整除要求各位數(shù)字和是3的倍數(shù)（□+5+6+□=□+□+11）當(dāng)末位為0時，首位可填1、4、7（12、15、18是3的倍數(shù)）當(dāng)末位為2時，首位可填2、5、8（14、17、20→14+2=16？修正：2+5+6+2=15，5+5+6+2=18，8+5+6+2=21）共3+3+3+3+3=15個（末位5種情況，每種3個首位選擇）專項練習(xí)：1.用0、1、3、5組成的三位數(shù)中，哪些是3的倍數(shù)？2.已知一個數(shù)是15的倍數(shù)，且各位數(shù)字之和為9，這樣的兩位數(shù)有哪些？（二）公倍數(shù)的實際應(yīng)用核心特征：涉及周期性事件重合、物品分配等場景，需通過公倍數(shù)確定共同時間或數(shù)量。解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確識別問題中的周期量，將實際問題轉(zhuǎn)化為公倍數(shù)求解。例題2：某信號燈每45秒紅燈亮一次，每60秒綠燈亮一次，18:00同時亮燈后，下一次同時亮燈是幾時幾分？解析：求45和60的最小公倍數(shù)：LCM(45,60)=180秒=3分鐘18:00+3分鐘=18:03例題3：有一批零件，若每盒裝12個剩10個，每盒裝15個剩13個，這批零件至少有多少個？解析：轉(zhuǎn)化為：零件數(shù)+2能同時被12和15整除LCM(12,15)=60，故零件數(shù)=60-2=58個專項練習(xí)：3.甲每3天去一次圖書館，乙每4天去一次，兩人周一同時去后，下次同時去是周幾？4.某班級學(xué)生排隊，每排8人多5人，每排10人多7人，這個班至少有多少學(xué)生？（三）涉及余數(shù)的倍數(shù)問題核心特征：已知被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)中的部分量，求其他未知量。解題關(guān)鍵：靈活運用公式：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)（余數(shù)<除數(shù)）例題4：一個數(shù)除以7商是兩位數(shù)，除以9商是一位數(shù)，這個數(shù)最大是多少？解析：設(shè)數(shù)為N，N=7a=9b+r（0≤r<9）由題意：10≤a≤99，1≤b≤99b+8≤N<9×9+9=90（商是一位數(shù)則最大商9，最大余數(shù)8）7a<90→a≤12（7×12=84），驗證84÷9=9...3，符合條件故最大值為84專項練習(xí)：3.某數(shù)除以5余3，除以8余6，這個數(shù)最小是多少？4.一個三位數(shù)除以11商是a，余數(shù)是b，a+b的最大值是多少？（四）和差倍綜合問題核心特征：已知多個數(shù)的和差關(guān)系與倍數(shù)關(guān)系，求解具體數(shù)值。解題關(guān)鍵：通過線段圖建立數(shù)量關(guān)系，設(shè)較小數(shù)為1倍數(shù)，列方程或算式求解。例題5：甲乙兩數(shù)之和是98，甲數(shù)比乙數(shù)的3倍多14，求兩數(shù)各是多少？解析：設(shè)乙數(shù)為x，則甲數(shù)=3x+14方程：x+3x+14=98→4x=84→x=21甲數(shù)=3×21+14=77，乙數(shù)=21專項練習(xí)：5.三個連續(xù)偶數(shù)的和是66，其中最大數(shù)是最小數(shù)的幾倍？6.兩數(shù)相除商3余5，被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之和是113，求被除數(shù)。三、解題技巧與思維拓展（一）短除法的進(jìn)階應(yīng)用短除法不僅可求最小公倍數(shù)，還能快速分解質(zhì)因數(shù)，幫助判斷倍數(shù)關(guān)系。例如：判斷135是否為27的倍數(shù)：135=33×5，27=33，因質(zhì)因數(shù)種類和次數(shù)均包含，故是倍數(shù)快速求LCM：對于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的周期問題，可直接用短除式求多個周期的LCM（二）特殊倍數(shù)的快速判斷法則2/5：末位數(shù)字是0、2、4、6、8/0、53/9：各位數(shù)字之和是3/9的倍數(shù)4/25：末兩位數(shù)字組成的數(shù)是4/25的倍數(shù)11：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)（三）數(shù)學(xué)思想的滲透1.轉(zhuǎn)化思想：如例題3中將"剩余"轉(zhuǎn)化為"差量整除"2.數(shù)形結(jié)合：用線段圖直觀表示倍數(shù)關(guān)系（尤其適合和差倍問題）3.極限思想：在最值問題中，通過分析倍數(shù)關(guān)系的邊界條件確定范圍四、鞏固練習(xí)與總結(jié)綜合應(yīng)用題：1.某工廠生產(chǎn)零件，若每箱裝24個則剩10個，每箱裝28個則剩14個，這批零件至少有多少個？若零件數(shù)在____之間，實際有多少個？2.三個數(shù)的和是111，甲數(shù)是乙數(shù)的2倍，丙數(shù)比乙數(shù)多3，求這三個數(shù)的最小公倍數(shù)。3.有一個自然數(shù)，被6除余1，被8除余3，被10除余5，這個數(shù)最小是多少？如果這個數(shù)在____之間，它是多少？學(xué)習(xí)建議：1.建立錯題本，分類記錄典型錯誤（如忽略0的特殊性、混淆公倍數(shù)與公約數(shù)）2.每日進(jìn)行5分鐘快速口算訓(xùn)練（如100以內(nèi)數(shù)