第2章特殊三角形專題二等腰三角形中的分類討論例1B等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是80°，則它的頂角的度數(shù)是(

)A．80°

B．80°或20°C．80°或50°

D．20°方法點(diǎn)撥：以角對(duì)等腰三角形進(jìn)行分類討論時(shí)要分清楚底角和頂角，再進(jìn)一步分析求解．如果等腰三角形ABC的一個(gè)外角為80°，那么頂角的度數(shù)是________．100°變式1-1變式1-2已知在等腰三角形中，有一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少20°，則頂角的度數(shù)為_______________．44°或80°或140°已知△ABC中有一個(gè)內(nèi)角是30°，AB＝AC，AB邊的中垂線交直線BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)AD，求∠DAC的度數(shù)．【解】如圖①，當(dāng)∠B＝30°，是底角時(shí)．因?yàn)锳B＝AC，∠B＝30°，所以∠C＝30°.因?yàn)镈E垂直平分AB，所以BD＝AD.所以∠BAD＝∠B＝30°.所以∠ADC＝60°.所以∠DAC＝180°－30°－60°＝90°.變式1-3如圖②，當(dāng)∠BAC＝30°，是頂角時(shí)．因?yàn)锳B＝AC，∠BAC＝30°，所以∠B＝(180°－30°)÷2＝75°.因?yàn)镈E垂直平分AB，所以AD＝BD.所以∠BAD＝∠B＝75°.所以∠DAC＝75°－30°＝45°.綜上，∠DAC＝90°或45°.例27，1或4，4已知等腰三角形的周長(zhǎng)為15，其中一邊長(zhǎng)為7，則另外兩邊長(zhǎng)分別是____________．方法點(diǎn)撥：以邊對(duì)等腰三角形進(jìn)行分類討論時(shí)要分清楚底邊、腰，同時(shí)結(jié)合三角形三邊關(guān)系，進(jìn)行求解．已知△ABC的周長(zhǎng)為13，且各邊長(zhǎng)均為整數(shù)，那么這樣的等腰三角形ABC有(

)A．5個(gè)

B．4個(gè)

C．3個(gè)

D．2個(gè)C變式2-1如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A，B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的位置有(

)

A．6個(gè)

B．7個(gè)C．8個(gè)

D．9個(gè)C變式2-2例31cm

[2025嘉興月考]等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分為6cm和15cm兩部分，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是________．【點(diǎn)撥】等腰三角形ABC的底邊BC的長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線BD把其周長(zhǎng)分為兩部分，這兩部分的差為1cm，求△ABC的腰長(zhǎng)．變式3-1【解】因?yàn)锽D為AC邊上的中線，所以AD＝CD.①當(dāng)(AB＋AD)－(BC＋CD)＝1cm，即AB－BC＝1cm時(shí)．因?yàn)锽C＝5cm，所以AB＝5＋1＝6(cm)．所以△ABC的三邊長(zhǎng)為6cm，6cm，5cm.②當(dāng)(BC＋CD)－(AB＋AD)＝1cm，即BC－AB＝1cm時(shí)．因?yàn)锽C＝5cm，所以AB＝5－1＝4(cm)．所以△ABC的三邊長(zhǎng)為4cm，4cm，5cm.經(jīng)驗(yàn)證，這兩種情況都是成立的．綜上，△ABC的腰長(zhǎng)為6cm或4cm.例470°或20°

一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是50°，則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為________．【點(diǎn)撥】設(shè)這個(gè)等腰三角形為△ABC，其中AB＝AC，BD是邊AC上的高．如圖①，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，∠ABD＝50°，∠ADB＝90°，則∠A＝40°.因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝70°.如圖②，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，∠ABD＝50°，∠ADB＝90°，則∠DAB＝40°.所以∠BAC＝140°.因?yàn)锳B＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝20°.綜上所述，這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)是70°或20°.方法點(diǎn)撥：以腰上的高線對(duì)等腰三角形進(jìn)行分類討論時(shí)，要分鈍角三角形和銳角三角形，再進(jìn)一步分析求解．[2025臺(tái)州模擬]在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC邊所在直線相交所得的銳角為50°.求底角∠B的大?。窘狻糠謨煞N情況：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖①.因?yàn)镈E是AB的垂直平分線，所以∠DEA＝90°.又因?yàn)椤螮DA＝50°，所以∠A＝40°.因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C.因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，所以∠B＝70°；變式4-1②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖②，因?yàn)镈E是AB的垂直平分線，所以∠DEA＝90°.又因?yàn)椤螮DA＝50°，所以∠DAE＝40°.因?yàn)锳B＝AC，∠B＋∠C＝∠DAE，所以∠B＝∠C＝20°.綜上所述，∠B＝70°或20°.例5如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E是折線段A－D－C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合)，點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)．在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，使△PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有(

)A．2個(gè)B．3個(gè)

C．4個(gè)D．5個(gè)【點(diǎn)撥】【答案】C①當(dāng)BP是等腰三角形一腰長(zhǎng)時(shí)，符合點(diǎn)E的位置有2個(gè)，是BC的垂直平分線與以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑的圓的交點(diǎn)即是點(diǎn)P；②當(dāng)BP為底邊，C為頂點(diǎn)時(shí)，符合點(diǎn)E的位置有2個(gè)，是以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑的圓與以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓的交點(diǎn)即是點(diǎn)P；③當(dāng)PC為底邊，B為頂點(diǎn)時(shí)，這樣的等腰三角形不存在，因?yàn)橐訠為圓心，BA長(zhǎng)為半徑的圓與以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓沒有交點(diǎn)．故選C.方法點(diǎn)撥：動(dòng)態(tài)中分析等腰三角形的存在性問題時(shí)，先找準(zhǔn)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c，按a＝b，a＝c，b＝c展開討論，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、外角的性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識(shí)求解．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，△AED是一個(gè)足夠大的等腰直角三角形，∠AED＝90°，且可繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，邊AE，AD分別交線段BC于Q，P兩點(diǎn)．當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，求∠PAC的度數(shù)．變式5-1所以∠APQ＝90°.所以∠PAC＝∠APQ－∠C＝90°－40°＝50°；當(dāng)AQ＝PQ時(shí)，∠PAQ＝∠APQ＝45°.所以∠PAC＝∠APQ－∠C＝45°－40°＝5°.綜上所述，當(dāng)∠PAC的度數(shù)為50°或5°或27.5°時(shí)，△APQ為等腰三角形．D返回1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，點(diǎn)D，E分別是BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△BDE沿直線DE翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在AC邊上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的度數(shù)為(

)A．60°或105°

B．60°，120°或150°C．105°或150°D．60°，105°或150°返回D2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC≠AC，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)為(

)A．4

B．5C．6 D．7120°或20°返回3．如果一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4，那么這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是________．4．528°一個(gè)三角形可以被分割為兩個(gè)等腰三角形，已知原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36°，則原三角形最大內(nèi)角的所有可能值的總和為________．【點(diǎn)撥】分為以下情況：①原三角形是銳角三角形，最大角是72°的情況；②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情況；③原三角形是鈍角三角形，最大角是108°的情況；④原三角形是鈍角三角形，最大角是126°的情況；⑤原三角形是鈍角三角形，最大角是132°的情況．返回5．如圖，∠BOC＝60°，點(diǎn)A是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA＝10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，用ts表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)△POQ是等腰三角形時(shí)，則t的值為________．【點(diǎn)撥】返回6．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師給出如下定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的高線等于這條邊的一半，那么稱這個(gè)三角形為“垂美三角形”，這條邊稱為這個(gè)三角形的“垂美邊”．【概念理解】(1)如圖，已知∠A＝90°，AB＝AC，請(qǐng)證明等腰直角三角形ABC一定是“垂美三角形”；【探索運(yùn)用】(2)已知等腰三角形ABC是“垂美三角形”，請(qǐng)求出頂角的度數(shù)．返回7．【證明】取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)CF，DF.因?yàn)镃B＝CA，DB＝DA，所以CF⊥AB，DF⊥AB.所以C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線．所以CD⊥AB.如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)BD，AD，CD，BD＝AD.(1)求證：CD⊥AB.(2)∠CAD＝15°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)CE，且CE＝CA.①求證：DE平分∠BDC；【證明】因?yàn)锳C＝BC，∠ACB＝90°，所