機器人學—機器人動力學5機器人動力學一、機構的慣性參數(shù)二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模五、機器人動力學仿真六、設計項目：四足機器人的動力學分析

轉動慣量，又稱質量慣性矩，是經(jīng)典力學中物體繞某一定軸轉動時慣性大小的量度，常用I或J表示，其標準單位為kg·m2。當質點系繞一定軸轉動時，其轉動慣量為：一、機構的慣性參數(shù)1、轉動慣量對質量均勻分布的剛體而言：轉動慣量為描述剛體相對某一固定軸轉動的慣性參數(shù)，其只取決于剛體的形狀、質量分布和轉軸位置，而與剛體繞軸的轉動狀態(tài)無關。一、機構的慣性參數(shù)選用任一斜角直線坐標系，沿坐標系的正方向取基矢量

（不一定為單位向量），將與坐標軸一致的基矢量

稱為協(xié)變基矢量。2、張量矢量P在斜角直線坐標系

中可分解為：一、機構的慣性參數(shù)為了便于運算，利用協(xié)變基矢量

引入另一組逆變基矢量

2、張量逆變基矢量

與協(xié)變基矢量之間關系如下：一、機構的慣性參數(shù)凡可以在任何坐標系中寫成下列不變性形式的量定義為

r+s

階張量（T為張量的不變性記法）：2、張量其中，

為張量的分量記法。仿效矢量，張量也可以用分量和基矢量來表示，稱為并矢記法。如：一、機構的慣性參數(shù)假設某一剛體由質點系組成，其單個質點的質量為

。若該質點系以一角速度

繞定點O轉動，則剛體上任一矢徑為的質點的速度為：3、慣量張量則剛體相對于點的動量矩為：一、機構的慣性參數(shù)將

與

代入上式，進一步計算可得：3、慣量張量簡記為：一、機構的慣性參數(shù)可以看出，慣量張量為一對稱陣。如果?。?、慣量張量則剛體的慣量張量可以表示為：一、機構的慣性參數(shù)對于勻質連續(xù)的剛體，上式各元素的求和符號也可以轉化為積分符號：3、慣量張量慣量張量是剛體的固有屬性，它只取決于剛體上各點的質量及其相對于坐標系原點O的分布。通常將剛體關于其質心的慣量張量稱為中心慣量張量。一、機構的慣性參數(shù)已知一均質長方體，并建立參考坐標系如圖所示，若其長度

，寬度

，高度

，總質量

，試求其相對于參考坐標系的慣量張量。例5.1一、機構的慣性參數(shù)解：長方體相對于坐標軸x的轉動慣量為：同理可得長方體相對于坐標軸y與z的轉動慣量為：一、機構的慣性參數(shù)長方體繞三個軸轉動的慣性積為：因此，長方體相對于參考坐標系的慣量張量為：一、機構的慣性參數(shù)假設坐標系

是由質心坐標系

經(jīng)過平移轉換得到的坐標系，其原點

在

中的矢徑為

，則剛體在坐標系

中的慣量張量

為：4、慣量張量的平行移軸定理與坐標軸旋轉變換寫為矩陣形式：剛體對任意點的慣量張量等于中心慣量張量加上質量集中于質心時對任意點的慣量張量。1）慣量張量的平行移軸定理一、機構的慣性參數(shù)若將例5.1中的坐標系原點轉移至質心處，如圖所示，試利用平行移軸定理求其相對于質心坐標系的慣量張量。例5.2一、機構的慣性參數(shù)解：坐標系原點O在質心坐標系的位置為：由平行移軸公式，可得：因此根據(jù)平行移軸定理，可得其相對于質心坐標系的慣量張量

為假設一剛體繞一點

轉動，在原坐標系

中的慣量張量為

?，F(xiàn)將坐標系

繞原點

旋轉一定角度后形成一新坐標系

，如圖所示，

相對

的旋轉變換矩陣為

，

其中

為單位方向矢量。一、機構的慣性參數(shù)2）慣量張量的坐標軸旋轉變化根據(jù)二階張量的旋轉變換法則，剛體在中的慣量張量可以表示為：一、機構的慣性參數(shù)設剛體繞通過O點的任一軸線OL轉動,軸線的方向余弦為α、β、γ，則剛體對該軸線的轉動慣量為：5、慣性橢球和慣性主軸進而可得：因此，若軸線OL發(fā)生變化，轉動慣量一般也隨之發(fā)生變化。若在軸線OL上取一點P(x,y,z)，使一、機構的慣性參數(shù)則軸線OL的方向余弦可表示為：當OL方位發(fā)生變化時，P點的坐標(x,y,z)也隨之變化，若OL變化一周，則P點所構成的集合將形成一曲面?？傻肞點集合的曲面方程為：亦即,式中,為點的矢徑：一、機構的慣性參數(shù)由上式可知，P點的集合為以O點為中心的一個橢球面，如圖所示。這個橢球稱為剛體關于O點的慣性橢球。為了便于分析，不失一般性地取，則慣性橢球面的方程將變?yōu)椋簞傮w關于任意軸OL的轉動慣量，等于該軸與橢球面的交點P到O點距離的平方的倒數(shù)。一、機構的慣性參數(shù)慣性橢球的三根主軸稱為剛體關于O點的慣性主軸，以三根互相垂直的慣性主軸構成的坐標系

稱為主軸坐標系。剛體關于主軸的轉動慣量

稱為主轉動慣量。由于在主軸坐標系中，剛體對慣性主軸的慣性積為：因此在主軸坐標系中，慣性橢球的方程式為：采用主軸坐標系時，慣性積為0，慣性矩陣為對角矩陣，故在計算中會減少多個分量，計算更加簡單。因此在分析機構的慣性特性時，應盡可能地選用主軸坐標系，以減小后續(xù)機構動力學研究的復雜程度。設任一軸線OL對于主軸坐標系的方向余弦為

，則的計算式可簡化為：5機器人動力學一、機構的慣性參數(shù)二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模五、機器人動力學仿真六、設計項目：四足機器人的動力學分析二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析1、牛頓動力學方程牛頓方程是用來描述剛體隨質心平動的動力學特性的方程，主要用于解決剛體的平動問題。其形式為：式中，

為剛體質量；

為剛體質心線加速度；

為作用在剛體質心處的力。

牛頓方程描述了平移剛體所受的外力、質量和質心加速度之間的關系。二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析2、歐拉方程歐拉方程是用于描述剛體繞定點轉動的動力學方程，主要用于解決剛體的旋轉問題?，F(xiàn)以剛體的質心為原點，建立參考坐標系

與固聯(lián)坐標系

如圖所示歐拉方程描述了旋轉剛體所受外力矩、角加速度、角速度和慣量張量之間的關系由慣量張量的旋轉變換可知，剛體相對于參考坐標系的慣量張量為：式中，為固聯(lián)坐標系相對于參考坐標系的旋轉變換矩陣

；為剛體相對于固聯(lián)坐標系的慣量張量。二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析若剛體相對參考坐標系的瞬時角速度為ω，則剛體相對參考坐標系的瞬時角動量為：因此，根據(jù)動量矩定理可得，剛體上某一定點所受的合外力矩M為：旋轉變換矩陣滿足如下條件：可得剛體轉動的歐拉動力學方程為：二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析3、機器人機構的牛頓-歐拉動力學方程為建立機構的牛頓-歐拉方程，現(xiàn)任取機器人的某一連桿

進行分析，采用前置方法建立坐標系。機器人單根連桿的運動均可分解為連桿質心的平動與連桿繞質心的轉動。由連桿的受力分析可知，連桿所受的合外力與合外力矩為：二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析由牛頓方程與歐拉方程可知，該連桿的合外力與力矩平衡方程為：在串聯(lián)機器人中，各驅動關節(jié)的約束力與約束力矩為作用力/力矩沿z軸的分量，因此便可得機器人各關節(jié)的約束力與約束力矩為：式中，表示沿軸的單位方向向量?，F(xiàn)有一平面單連桿機械臂如圖所示，設機械臂的長度為

，連桿與水平軸間夾角為

，機械臂總質量為

且均勻分布，試利用牛頓-歐拉法對其進行動力學建模分析。例5.3二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析解：該機械臂的質心及慣量張量為：由于基座固定，因此其連桿的運動參數(shù)為：二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析該連桿所受的約束力與約束力矩為：將連桿的運動參數(shù)代入上式，可得：二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析因此，該機械臂所需約束力矩為：5機器人動力學一、機構的慣性參數(shù)二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模五、機器人動力學仿真六、設計項目：四足機器人的動力學分析三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法采用遞推的方式，由基座向末端執(zhí)行器遞推計算各桿的運動參數(shù)及慣性力，再由末端向第一關節(jié)遞推計算連桿所受約束力及關節(jié)力矩，便可以實現(xiàn)機器人的速度以及動力分析

牛頓-歐拉方程需要對串聯(lián)機器人逐桿分析，需要計算出所有的運動參數(shù)，然后再求受力參數(shù)，因此當機器人的連桿較多，結構較復雜時計算量會大大增加。三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法以串聯(lián)機器人的連桿i為研究對象，對其進行動力學分析。如圖所示，利用標準D-H法構建坐標系{i-1}與{i}。已知兩個坐標系原點間的位移矢量為

，連桿i的質量為

，其相對于自身質心

的慣量矩陣為

；桿件（i-1）對桿件i以及桿件i對桿件（i+1）所施加的力與力矩分別為

、

與

、

；連桿質心的線速度為

，繞質心旋轉的角速度為

。以上參數(shù)中，左上角標i的意義是參數(shù)在坐標系{i}中的表示。連桿i的運動及受力圖1、速度及加速度的向后遞推計算若已知連桿i-1相對其自身坐標系的角速度以及關節(jié)i的運動參數(shù)，便可求得連桿i的角速度為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法同理，連桿i末端的線速度為連桿i-1末端的線速度與由兩者牽連運動引起的相對速度之和：因此，在連桿質心處的線速度為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法若對連桿i的角速度以及末端線速度在時間尺度上進行求導，便可得連桿i的角加速度以及連桿末端的線加速度為：連桿質心處的線加速度為：2、關節(jié)力與力矩的向前遞推計算在坐標系{i}中，連桿i分別受到連桿i-1的作用力、連桿i+1的反作用力以及自身重力，因此其在質心處所受合外力為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法假設，則該加速度便可與重力加速度相抵消，從而暫時忽略連桿的重力項，因此上式可簡化為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法連桿i在質心處所受的等效合外力矩為：根據(jù)牛頓-歐拉公式，可得連桿i所受連桿i-1的力與力矩為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法在機器人的受力分析中，不同坐標系間力的表述轉換關系為：因此，若已知機器人末端所受力與力矩以及相鄰兩坐標系變換矩陣，便可向前依次遞推求得機器人各連桿所受約束力與力矩：例5.4三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法現(xiàn)有一平面2連桿機構如圖所示，其兩根連桿的質心慣量張量分別為

、

，質量為

、

，連桿.長度為

、

，質心分別位于兩連桿的中點，距連桿端點的距離分別為

、

。若其末端執(zhí)行器與外部環(huán)境間無相互作用力，試利用牛頓-歐拉方程計算各驅動關節(jié)的約束力與約束力矩。解：（1）機械臂質心及D-H坐標系原點位置矢量的確定：機械臂兩根連桿的質心位置矢量為：相鄰兩坐標系原點間的位置矢量為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法（2）機械臂各連桿速度及加速度的向后遞推：為忽略各連桿重力加速度的影響，我們設基座存在一個沿{0}坐標系y軸向上的線加速度，即：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法由于機械臂基座固定，因此其速度及加速度為：連桿1與連桿2的速度及加速度為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法同理，在求得連桿1的運動參數(shù)后，我們便可向后遞推得到連桿2的運動參數(shù)：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法（3）力與力矩的向前遞推：連桿2所受的約束力與力矩為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法由于末端機械手不受外界環(huán)境的作用，因此有：同理，在求得連桿2所受力與力矩后，便可向前遞推求得連桿1所受力與力矩為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法若忽略掉各驅動關節(jié)間摩擦力的影響，則機器人第i個驅動關節(jié)的驅動力矩為：三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法平面二連桿機構各連桿不計摩擦的關節(jié)驅動力矩為：式中：5機器人動力學一、機構的慣性參數(shù)二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模五、機器人動力學仿真六、設計項目：四足機器人的動力學分析四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模1、拉格朗日方程概述在理論力學中，拉格朗日方程的一般形式為：拉格朗日函數(shù)

（T為剛體動能，U為剛體勢能）。

為系統(tǒng)廣義坐標，對于直線運動，其為系統(tǒng)的位移

；對于旋轉運動，其為系統(tǒng)的轉角

。

為系統(tǒng)的廣義力，對于直線運動，其為系統(tǒng)的驅動力

；對于旋轉運動，其為系統(tǒng)的驅動力矩

。

為機構的自由度數(shù)。例5.5有一單連桿機械臂如圖所示，已知其連桿長度為l，質量為m，連桿繞質心的轉動慣量為

，末端機械手與周圍環(huán)境無相互作用。試構建其拉格朗日方程，并計算關節(jié)的平衡力矩。四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模解：由題可知，該機械臂的質心位置與角位移為：對上式在時間尺度上進行求導，可得機械臂的角速度與質心線速度為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模因此，機械臂的動能為：若規(guī)定基座為零勢能面，則該機械桿的勢能為重力所做的功：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模因此，該機械桿的拉格朗日函數(shù)為：由此計算可得：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模因此，該機械臂的驅動關節(jié)的驅動力矩為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模2、拉格朗日方程在機器人動力學中的應用在機器人系統(tǒng)中，其拉格朗日函數(shù)為系統(tǒng)的總動能與總勢能之差，即：單根連桿的動能為由質心線速度產生的動能與連桿繞質心旋轉產生的角動能之和：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模引入速度雅可比矩陣，連桿質心線速度與角速度可表示為：為連桿角速度對應的速度雅可比矩陣塊；為連桿末端線速度對應的速度雅可比矩陣塊。單根連桿的動能為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模串聯(lián)機器人系統(tǒng)的總動能為：若定義基坐標系{0}為系統(tǒng)的零勢能參考面，則單根連桿的勢能便為由重力所做功的負值：因此串聯(lián)機器人系統(tǒng)的總勢能為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模系統(tǒng)的拉格朗日方程為：機器人各關節(jié)的廣義驅動力為：將機器人各驅動關節(jié)的廣義驅動力定義為一個矢量，即可得機器人系統(tǒng)的動力學方程為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模將科氏力項與向心力項合并為一項，因此合并后的動力學方程為：若機器人末端執(zhí)行器與外部環(huán)境存在一相互作用力，則由末端執(zhí)行器所受的外部作用力所引起的關節(jié)負載為：因此，機器人關節(jié)總驅動力為：例5.6已知有一平面2R連桿機構如圖所示，并建立如圖所示的坐標系。設機械臂的兩根連桿長度分別為

和

，各桿件的質量分別為

和

，并且桿件的質量分布均勻，機械臂各關節(jié)角為

和

。若其機械臂末端與周圍環(huán)境無相互作用，試分析其兩個驅動關節(jié)的驅動力矩。四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模解：由上述條件可知，平面2R機械臂各連桿的質心在

坐標系中可表示為：對上述方程在時間尺度上進行求導，可得連桿1與連桿2的質心線速度為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模機械臂各連桿的動能分別為：因此，通過計算可得，機械臂連桿的動能為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模因此，平面2R機械臂的總動能為：由于機械臂的連桿為均質桿，故機械臂各連桿的勢能分別為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模因此，系統(tǒng)的總勢能為：可構建機械臂的拉格朗日函數(shù)為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模將拉格朗日函數(shù)分別對、

、和進行求導，可得：由拉格朗日方程可知，平面2R機械臂各關節(jié)所受驅動力矩

為：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模因此，平面2R機械臂的拉格朗日動力學方程為：將方程寫為矩陣形式，有：四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模慣性項、科氏力與向心力項和重力項分別為：5機器人動力學一、機構的慣性參數(shù)二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模五、機器人動力學仿真六、設計項目：四足機器人的動力學分析五、機器人動力學仿真1、通用機構的動力學仿真軟件進行通用機構開發(fā)時，可使用該類軟件進行三維模型的構建，并且可對所設計機構進行動力學建模、分析與求解，如基于多剛體系統(tǒng)動力學理論中的拉格朗日方程方法求解的ADAMS；應用于航空航天、國防工業(yè)、汽車、機器人等高端領域的LMSVirtual.Labmotion以及基于相對坐標系建模和遞歸求解的RecurDyn等。ADAMSLMSVirtual.LabmotionRecurDyn五、機器人動力學仿真2、通用建模和分析軟件的動力學仿真模塊在一些建模與分析軟件中，通常內嵌開發(fā)著動力學分析模塊，以便捷用戶對所設計模型的動力學分析：Solidworks：直觀地對三維結構進行運動學與動力學分析；Matlab：數(shù)學建模功能、機器人工具箱、Simulink插件，可以實現(xiàn)機器人的建模、動力學分析及載荷分析；ANSYS、COMSOL：動力學分析模塊，以實現(xiàn)對機構的動力學分析。SolidworksSimulation動力學分析COMSOL仿真界面五、機器人動力學仿真3、專用機械系統(tǒng)動力學仿真軟件為了適應機械工業(yè)的發(fā)展與需求，多個公司研發(fā)了針對于專用的機械系統(tǒng)建模及動力學分析的仿真軟件：VAMPIRE：英國鐵路道研究所研發(fā)，專門針對鐵路機車系統(tǒng)，可以實現(xiàn)機車動力學的自動建模，計算效率較高；SIMPACK：德國INTECGmBH公司開發(fā)，針對機械動力學仿真分析，可以進行靜力學、準靜態(tài)分析、運動學、頻域模態(tài)、時域積分分析等；CarSim：在車輛動力學分析領域，用來仿真車輛對駕駛員，路面及空氣動力學輸入的響應，已被廣泛應用于現(xiàn)代汽車控制系統(tǒng)的開發(fā)。五、機器人動力學仿真4、利用MATLABRoboticstoolbox的動力學仿真機器人動力學研究主要集中在機器人各關節(jié)位置、速度、加速度與各關節(jié)驅動力矩之間的關系。MATLABRoboticstoolbox工具箱是研究機器人學問題的一款功能較強的輔助工具，十分便于機器人正動力學以及逆動力學的仿真分析。（1）機器人正動力學問題在已知各關節(jié)驅動力矩的情況下，可以利用工具箱中的fdyn指令以求得各個關節(jié)的位置、速度以及加速度信息：[T,q,dq]=R.fdyn(T,torqfun)[T,q,dq]=R.fdyn(T,torqfun,q0,dq0)五、機器人動力學仿真在解得各關節(jié)坐標q以及速度dq之后，便可利用如下指令求解各關節(jié)的角加速度：d2q=R.accel(q,dq,torqfun)以較為經(jīng)典的PUMA560串聯(lián)機器人為例，其利用robotictoolbox的正運動學仿真如下：五、機器人動力學仿真(2)機器人逆動力學問題利用MATLABRoboticstoolbox工具箱的rne指令，可以實現(xiàn)機器人驅動力矩的反解，其具體指令形式為：tau=R.rne(q,dq,d2q)若同時考慮重力以及外部作用力的影響，則其逆動力學仿真的指令形式為：tau=R.rne(q,dq,d2q,G,F)5機器人動力學一、機構的慣性參數(shù)二、基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析三、牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法四、基于拉格朗日方程的機器人動力學建模五、機器人動力學仿真六、設計項目：四足機器人的動力學分析六、設計項目：四足機器人的動力學分析若已知機器人各桿件的質量、長度、扭轉角以及各關節(jié)轉角及距離，則可利用拉格朗日法進行四足機器人每條腿的動力學建模：（1）以四足機器人機身平臺為浮動基坐標系，建立機器人腿部的D-H坐標系，并確定其D-H參數(shù)；（2）構建正運動學方程，并確定各個連桿坐標原點的位置；（3）對各連桿的坐標原點在時間尺度上進行求導，以獲得連桿的運動速度；（4）計算機器人腿部各連桿的動能及機械腿的總動能；（5）計算機器人腿部各連桿的勢能及機械腿的總勢能；（6）將總動能與總勢能代入拉格朗日函數(shù)，以求得機械腿的廣義力矩。六、設計項目：四足機器人的動力學分析現(xiàn)有一四足機器人的基本結構如圖所示，已知其基座長為2l，寬為2w,厚為h，并且腿部連桿長度為

、

、

，其每條機械腿均具有3個轉動關節(jié)。請試著以右前腿為研究對象構建D-H坐標系，并對其進行動力學分析。本次課小結

機構的慣性參數(shù)

基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析

牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法

基于拉格朗日方程的機器人動力學建模

機器人動力學仿真

設計項目：四足機器人的動力學分析作業(yè)

5.、5.、5.、5.

謝謝!課程回顧慣性參數(shù)

轉動慣量、張量、慣量張量、平行移軸與坐標軸旋轉變換、慣性橢球和慣性主軸

基于牛頓-歐拉方程的機器人動力學分析

牛頓動力學方程、歐拉方程、牛頓-歐拉動力學方程、

牛頓-歐拉動力學方程的遞推算法

速度及加速度的向后遞推計算、關節(jié)力與力矩的向前遞推計算課程回顧

基于拉格朗日方程的機器人動力學建模

拉格朗日方程

機器人動力學仿真

動力學仿真軟件

四足機器人的動力學分析

課程回顧當質點系繞一定軸轉動時，其轉動慣量為：

轉動慣量轉動慣量為描述剛體相對某一固定軸轉動的慣性參數(shù)，其只取決于剛體的形狀、質量分布和轉軸位置，而與剛體繞軸的轉動狀態(tài)無關。對質量均勻分布的剛體而言：課程回顧

張量選用任一斜角直線坐標系，沿坐標系的正方向取基矢量

（不一定為單位向量），將與坐標軸一致的基矢量

稱為協(xié)變基矢量。矢量P在斜角直線坐標系

中可分解為：課程回顧

慣量張量假設某一剛體由質點系組成，其單個質點的質量為

。若該質點系以一角速度

繞定點O轉動，則剛體上任一矢徑為的質點的速度為：則剛體相對于點的動量矩為：課程回顧

慣量張量的平行移軸定理與坐標軸旋轉變換假設坐標系

是由質心坐標系

經(jīng)過平移轉換得到的坐標系，其原點

在

中的矢徑為

，則剛體在坐標系

中的慣量張量

為：寫為矩陣形式：剛體對任意點的慣量張量等于中心慣量張量加上質量集中于質心時對任意點的慣量張量。慣量張量的平行移軸定理課程回顧慣性橢球和慣性主軸設剛體繞通過O點的任一軸線OL轉動,軸線的方向余