2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在疾病控制中的貢獻(xiàn)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置）1.某地區(qū)某種傳染病在人群中的傳播過程可以近似看作服從參數(shù)為$\lambda$的泊松過程，已知在一個季度內(nèi)該地區(qū)發(fā)生10起此類傳染病案例，則下一個季度內(nèi)發(fā)生3起此類傳染病案例的概率約為（）。A.$\frac{\lambda^3e^{-\lambda}}{3!}$B.$\frac{\lambda^3e^{-10}}{3!}$C.$\frac{10^3e^{-10}}{3!}$D.$\frac{3^3e^{-3}}{3!}$2.設(shè)某疾病的潛伏期服從均值為5天的指數(shù)分布，則潛伏期超過7天的概率約為（）。A.$e^{-5/7}$B.$1-e^{-5/7}$C.$e^{-7/5}$D.$1-e^{-7/5}$3.在一項關(guān)于某種藥物有效性的研究中，隨機(jī)抽取了100名患者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，其中50名患者服用該藥物，50名患者服用安慰劑。經(jīng)過一段時間后，服用該藥物的50名患者中有30名治愈，服用安慰劑的50名患者中有20名治愈。為了檢驗(yàn)該藥物是否具有顯著療效，以下假設(shè)檢驗(yàn)中最適宜選用（）。A.單樣本t檢驗(yàn)B.雙樣本t檢驗(yàn)C.單樣本卡方檢驗(yàn)D.雙樣本卡方檢驗(yàn)4.設(shè)某地區(qū)人口總數(shù)為N，對該地區(qū)進(jìn)行一項關(guān)于某種疾病的抽樣調(diào)查，采用不放回抽樣方式隨機(jī)抽取n個人進(jìn)行調(diào)查，如果該地區(qū)患有該疾病的人數(shù)為D，則在樣本中觀察到k個人患有該疾病的概率為（）。A.$\binom{D}{k}\binom{N-D}{n-k}/\binom{N}{n}$B.$k/N$C.$D/N$D.$\binom{N}{n}/\binom{D}{k}\binom{N-D}{n-k}$5.已知某城市人口中感染某種傳染病的比例約為1%，對該城市進(jìn)行全員核酸檢測，檢測結(jié)果呈陽性的概率約為多少？（假設(shè)檢測結(jié)果準(zhǔn)確率很高，忽略個體差異）（）A.0.01B.0.99C.0.0101D.0.9899二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在答題卡相應(yīng)位置）1.設(shè)某種疾病的傳播過程可以用以下SIR模型描述：$\frac{dS}{dt}=-\betaSI,\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI,\frac{dR}{dt}=\gammaI$，其中S表示易感人群數(shù)量，I表示感染人群數(shù)量，R表示康復(fù)人群數(shù)量，$\beta$表示傳染率，$\gamma$表示康復(fù)率。則$\frac{d(S+I+R)}{dt}$的值為________。2.在一項關(guān)于吸煙與肺癌關(guān)系的病例對照研究中，隨機(jī)抽取了100名肺癌患者和100名健康人進(jìn)行調(diào)查，其中肺癌患者中有70人吸煙，健康人中有30人吸煙。則吸煙者患肺癌的相對風(fēng)險（RR）的估計值為________。3.設(shè)某地區(qū)某種傳染病的潛伏期服從參數(shù)為$\theta$的指數(shù)分布，則該疾病潛伏期的二階矩（即潛伏期平方的期望值）為________。4.已知某城市人口總數(shù)為100萬，對該城市進(jìn)行一項關(guān)于某種疾病的抽樣調(diào)查，采用分層抽樣方式，將城市人口按年齡分為三層，每層隨機(jī)抽取10%的人口進(jìn)行調(diào)查。如果該疾病在18歲以下人群中的患病率為1%，在18-60歲人群中的患病率為2%，在60歲以上人群中的患病率為5%，則樣本中該疾病的預(yù)期患病率為________。5.設(shè)某種疾病的傳播過程可以用以下網(wǎng)絡(luò)模型描述：網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)代表個體，邊代表個體之間的接觸關(guān)系。如果該疾病在某個節(jié)點(diǎn)發(fā)生，則與其相鄰的節(jié)點(diǎn)感染該疾病的風(fēng)險增加。為了分析該疾病的傳播風(fēng)險，可以采用________方法計算網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)的中心性，中心性較高的節(jié)點(diǎn)往往是該疾病的潛在傳播源。三、計算題（每小題10分，共30分。請寫出詳細(xì)的計算過程）1.某地區(qū)某種傳染病的傳播過程可以用SIR模型描述，該疾病的傳染率$\beta=0.3$，康復(fù)率$\gamma=0.1$。假設(shè)該地區(qū)易感人群數(shù)量為800萬人，感染人群數(shù)量為20萬人，康復(fù)人群數(shù)量為100萬人。請計算該疾病的基本再生數(shù)$R_0$，并判斷該疾病的傳播趨勢。2.在一項關(guān)于某種藥物有效性的臨床試驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了200名患者進(jìn)行雙盲對照試驗(yàn)，其中100名患者服用該藥物，100名患者服用安慰劑。經(jīng)過一段時間后，服用該藥物的100名患者中有60名治愈，服用安慰劑的100名患者中有40名治愈。請計算該藥物的治愈率，并檢驗(yàn)該藥物是否具有顯著療效（顯著性水平$\alpha=0.05$）。3.某地區(qū)對某種傳染病進(jìn)行了為期一個月的流行病學(xué)調(diào)查，收集了該疾病患者的年齡數(shù)據(jù)如下：20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90。請計算該疾病患者的平均年齡、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。四、證明題（每小題10分，共20分。請寫出詳細(xì)的證明過程）1.證明：如果某種疾病的潛伏期服從參數(shù)為$\theta$的指數(shù)分布，則該疾病在時刻$t$的累積發(fā)病率（即到時刻$t$為止感染過該疾病的人數(shù)比例）$F(t)=1-e^{-\thetat}$。2.證明：在雙樣本t檢驗(yàn)中，如果兩組數(shù)據(jù)的方差相等，則可以采用以下公式計算合并方差$S_p^2$：$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$，其中$n_1$和$n_2$分別表示兩組樣本的樣本量，$S_1^2$和$S_2^2$分別表示兩組樣本的樣本方差。五、應(yīng)用題（每小題25分，共50分。請結(jié)合所學(xué)知識，對問題進(jìn)行分析、建模、求解和解釋）1.某城市發(fā)生了一場傳染病疫情，為了控制疫情的蔓延，政府采取了封鎖城市的措施。假設(shè)在封鎖措施實(shí)施前，該傳染病在城市的傳播過程可以用SIR模型描述，傳染率$\beta=0.4$，康復(fù)率$\gamma=0.1$。封鎖措施實(shí)施后，傳染率降為$\beta'=0.1$。假設(shè)封鎖措施實(shí)施前，城市易感人群數(shù)量為800萬人，感染人群數(shù)量為10萬人，康復(fù)人群數(shù)量為50萬人。請建立該傳染病在封鎖措施實(shí)施前后的數(shù)學(xué)模型，并分析封鎖措施對該傳染病傳播的影響。2.某研究人員收集了某地區(qū)過去十年中某種傳染病的年度發(fā)病數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如下：100,120,140,160,180,200,220,240,260,280。該研究人員試圖用時間序列模型預(yù)測該地區(qū)未來兩年的該疾病發(fā)病趨勢。請對該數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并建立一個合適的時間序列模型進(jìn)行預(yù)測。試卷答案一、選擇題1.A2.C3.D4.A5.C二、填空題1.02.2.333.$\theta^2$4.0.355.網(wǎng)絡(luò)中心性三、計算題1.解：$R_0=\frac{\beta}{\gamma}=\frac{0.3}{0.1}=3$。因?yàn)?R_0>1$，所以該疾病處于流行狀態(tài)。2.解：該藥物的治愈率為$\frac{60}{100}=0.6$。檢驗(yàn)假設(shè)：$H_0$：該藥物與安慰劑的治愈率相同，$H_1$：該藥物比安慰劑的治愈率高。計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量：$z=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}=\frac{0.6-0.4}{\sqrt{0.5(1-0.5)(\frac{1}{100}+\frac{1}{100})}}=4.47$。拒絕域：$z>1.645$。因?yàn)?4.47>1.645$，所以拒絕$H_0$，認(rèn)為該藥物具有顯著療效。3.解：平均年齡$\bar{x}=\frac{1}{15}(20+25+\cdots+90)=55$。中位數(shù)$M=\frac{55+60}{2}=57.5$。方差$s^2=\frac{1}{14}[(20-55)^2+(25-55)^2+\cdots+(90-55)^2]\approx357.14$。標(biāo)準(zhǔn)差$s=\sqrt{357.14}\approx18.9$。四、證明題1.證明：設(shè)$F(t)$為時刻$t$的累積發(fā)病率。則$F(t)=P(T\leqt)$，其中$T$表示潛伏期。因?yàn)闈摲诜膮?shù)為$\theta$的指數(shù)分布，所以$P(T\leqt)=1-e^{-\thetat}$。因此，$F(t)=1-e^{-\thetat}$。2.證明：合并方差$S_p^2$的公式為$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$。其中，$\frac{(n_1-1)S_1^2}{n_1-1}+\frac{(n_2-1)S_2^2}{n_2-1}=S_1^2+S_2^2$。因此，$S_p^2=\frac{S_1^2+S_2^2}{n_1+n_2-2}$。五、應(yīng)用題1.解：封鎖措施實(shí)施前，該傳染病在城市的傳播過程可以用SIR模型描述，模型方程為：$\frac{dS}{dt}=-\betaSI,\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI,\frac{dR}{dt}=\gammaI$。封鎖措施實(shí)施后，傳染率降為$\beta'=0.1$，模型方程為：$\frac{dS}{dt}=-\beta'SI,\frac{dI}{dt}=\beta'SI-\gam