2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——相變理論與統(tǒng)計(jì)力學(xué)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，理想氣體分子的速度分布遵守（）。A.費(fèi)米-狄拉克分布B.玻色-愛因斯坦分布C.玻爾茲曼分布D.麥克斯韋-玻爾茲曼分布2.下列哪個(gè)量是系綜理論中描述系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的函數(shù)？A.系綜B.配分函數(shù)C.熱力學(xué)勢D.粒子數(shù)3.對(duì)于一個(gè)由近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，其內(nèi)能U與溫度T的關(guān)系通常由（）決定。A.玻爾茲曼分布B.能量均分定理C.熵增加原理D.吉布斯分布4.一級(jí)相變的特征是（）。A.系統(tǒng)的自由能隨溫度連續(xù)變化B.系統(tǒng)的比熱容隨溫度連續(xù)變化C.系統(tǒng)的自由能、比熱容、壓縮系數(shù)等宏觀量發(fā)生突變D.系統(tǒng)的熵在相變點(diǎn)為零5.在正則系綜中，系統(tǒng)的平均能量〈U〉等于（）。A.?(βF)/?βB.?(βF)/?(1/β)C.-?(lnZ)/?βD.-β?(lnZ)/?β6.下列哪個(gè)物理量在二級(jí)相變點(diǎn)附近表現(xiàn)出奇異性？A.系統(tǒng)的體積B.系統(tǒng)的粒子數(shù)C.系統(tǒng)的序參量D.系統(tǒng)的配分函數(shù)7.根據(jù)最概然原理，在可允許的微觀態(tài)中，系統(tǒng)最可能處于其微觀狀態(tài)數(shù)為最多的那個(gè)宏觀狀態(tài)，這對(duì)應(yīng)于（）。A.熵最大的狀態(tài)B.熵最小的狀態(tài)C.熱力學(xué)概率最大的狀態(tài)D.熱力學(xué)概率最小的狀態(tài)8.對(duì)于巨正則系綜，描述系統(tǒng)粒子數(shù)和能量都變化的微觀狀態(tài)數(shù)由（）決定。A.配分函數(shù)B.巨配分函數(shù)C.熱力學(xué)勢D.熵9.序參量φ的平方〈φ2〉通常用來量度系統(tǒng)的序或無序程度，在相變點(diǎn)兩側(cè)，〈φ2〉的行為是（）。A.〈φ2〉>0且不隨溫度變化B.〈φ2〉<0且隨溫度變化C.〈φ2〉在相變點(diǎn)處連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D.〈φ2〉在相變點(diǎn)處不連續(xù)10.在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，理想玻色氣體的分布函數(shù)f(ε)與能量ε的關(guān)系是（）。A.f(ε)=1/(exp[(ε-μ)/kT]-1)B.f(ε)=1/(exp[(ε-μ)/kT]+1)C.f(ε)=exp[-β(ε-μ)]D.f(ε)=1二、填空題1.在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，系統(tǒng)的熵S可以通過玻爾茲曼關(guān)系S=klnW來計(jì)算，其中W代表系統(tǒng)的________。2.一個(gè)系統(tǒng)的配分函數(shù)Z定義為Z=Σexp(-βEi)，其中β=1/(kT)，Ei是系統(tǒng)的第i個(gè)能量本征值，k是________。3.在巨正則系綜中，描述系統(tǒng)化學(xué)勢和粒子數(shù)漲落的物理量是________。4.連續(xù)相變的理論描述通常需要引入________的概念，并通過自由能函數(shù)來刻畫相變特性。5.根據(jù)能量均分定理，在溫度為T的熱平衡理想氣體中，每個(gè)自由度對(duì)系統(tǒng)內(nèi)能的貢獻(xiàn)是________。三、計(jì)算題1.(12分)一維無限深勢阱中，粒子能量本征值為Ei=(n2π2?2)/(2mL2)，其中n=1,2,3,...，m為粒子質(zhì)量，L為阱寬，?為約化普朗克常數(shù)。假設(shè)粒子處于基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的混合態(tài)，其波函數(shù)為ψ=√(1/2)(ψ?+ψ?)，求該粒子的平均能量〈E〉。2.(12分)對(duì)于一個(gè)由N個(gè)近獨(dú)立粒子組成的理想玻爾茲曼氣體，其巨配分函數(shù)為lnΓ=-Nμ+NkTlnZ，其中μ為化學(xué)勢，k為玻爾茲曼常量，Z為配分函數(shù)。求該氣體的內(nèi)能U和粒子數(shù)N的表達(dá)式。3.(13分)利用正則系綜，推導(dǎo)理想玻爾茲曼氣體的內(nèi)能U=3NkT/2，其中粒子能量ε=mv2/2，氣體體積為V，粒子質(zhì)量為m，T為溫度，k為玻爾茲曼常量。（提示：先寫出單粒子配分函數(shù)，再求平均能量）4.(13分)考慮一個(gè)簡單的序參量模型，自由能函數(shù)為F(T,φ)=a(T-Tc)φ2-bφ?，其中a>0,b>0，T為溫度，Tc為相變溫度，φ為序參量。求序參量φ在T<Tc時(shí)的表達(dá)式（假設(shè)φ為實(shí)數(shù)）。四、簡答題1.(5分)簡述費(fèi)米-狄拉克分布和玻色-愛因斯坦分布的主要區(qū)別。2.(5分)解釋什么是漲落，并說明漲落在相變過程中的作用。試卷答案一、選擇題1.D2.B3.B4.C5.D6.C7.C8.B9.D10.B二、填空題1.可允許的微觀態(tài)數(shù)2.玻爾茲曼常量3.漲落4.序參量5.kT/2三、計(jì)算題1.解析思路：利用波函數(shù)和能量本征值，計(jì)算能量期望值〈E〉=Σ|ψ(n)|2*Ei。對(duì)于混合態(tài)ψ=√(1/2)(ψ?+ψ?)，有|ψ?|2=|ψ?|2=1/2。計(jì)算得到〈E〉=(1/2)E?+(1/2)E?=(1/2)[(π2?2)/(2mL2)]+(1/2)[(4π2?2)/(2mL2)]=5π2?2/(4mL2)。答案：〈E〉=5π2?2/(4mL2)2.解析思路：內(nèi)能U=-?(lnΓ)/?(1/β)，其中β=1/(kT)。將lnΓ=-Nμ+NkTlnZ代入，得到U=-?[-Nμ+NkTlnZ]/?(1/β)=Nμ+NkT2?(lnZ)/?T。進(jìn)一步，由配分函數(shù)Z=Σexp(-βEi)，有?(lnZ)/?T=-kT2Σ(Ei/β)exp(-βEi)=kT2ΣEiρ(E)，其中ρ(E)是能態(tài)密度。因此U=Nμ+NkT2ΣEiρ(E)=Nμ+N?E?。結(jié)合理想氣體能量?E?=3NkT/2(對(duì)三維運(yùn)動(dòng))，且由化學(xué)勢μ=-kTln(nz(2πmkT)3???1)，其中n=N/V為粒子數(shù)密度，z=Z/ζ?，ζ?=Σexp(-βEi)是單粒子配分函數(shù)，代入可得U=3NkT/2。答案：U=Nμ+NkT2?(lnZ)/?T；U=3NkT/23.解析思路：理想玻爾茲曼氣體的單粒子配分函數(shù)Z=Σexp(-βEi)。對(duì)于速度在v與v+dv間的分子數(shù)為n(v)dv=Z(2πmkT)?3/2exp(-mv2/2kT)dv?？偭Ｗ訑?shù)N=∫n(v)dv=Z(2πmkT)?3/2∫exp(-mv2/2kT)dv。計(jì)算該積分得到N=Z(2πmkT)?3/?*sqrt(π/(m/kT))=Z/(2πmkT)3/2。內(nèi)能U=kT2?(lnZ)/?T。將Z=N(2πmkT)3/?代入，得U=kT2?[lnN+3/2lnT+3/2ln(2πmk)]/?T=kT2*(3/2)/T=3/2NkT。答案：U=3/2NkT4.解析思路：在T<Tc時(shí)，序參量φ不為零。對(duì)自由能函數(shù)F(T,φ)=a(T-Tc)φ2-bφ?求導(dǎo)，并令其為零以找到φ的穩(wěn)定值：?F/?φ=2a(T-Tc)φ-4bφ3=0。解此方程得φ=0或φ=±sqrt[a(T-Tc)/(2b)]。在相變點(diǎn)T=Tc時(shí)，φ=0不是穩(wěn)定解（其一階導(dǎo)數(shù)為零但二階導(dǎo)數(shù)不為零）。因此，在T<Tc時(shí)，φ的穩(wěn)定解為φ=±sqrt[a(T-Tc)/(2b)]。通常取φ=sqrt[a(T-Tc)/(2b)]來表示有序相的序參量。答案：φ=±sqrt[a(T-Tc)/(2b)]；φ=sqrt[a(T-Tc)/(2b)](取正值表示有序)四、簡答題1.解析思路：費(fèi)米-狄拉克分布適用于費(fèi)米子組成的體系（如電子氣），滿足泡利不相容原理，即不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于完全相同的量子態(tài)。玻色-愛因斯坦分布適用于玻色子組成的體系（如光子），玻色子不受泡利不相容原理限制，可以多個(gè)處于同一量子態(tài)。這是兩者最根本的區(qū)別，導(dǎo)致了對(duì)粒子數(shù)分布、能級(jí)占據(jù)情況以及相變性質(zhì)的差異。答案：費(fèi)米-狄拉克分布適用于費(fèi)米子，遵守泡利不相容原理；玻色-愛因斯坦分布適用于玻色子，不受泡利不相容原理限制。2.解析思路：漲落是指系統(tǒng)在熱平衡狀態(tài)下，其宏觀性質(zhì)（如粒子數(shù)密度、溫度、序參量）在空間或時(shí)間上的隨機(jī)波動(dòng)偏離其平均值的現(xiàn)象。漲落在相變過程中