專題07解三角形和復(fù)數(shù)

目錄

明晰學(xué)考要求................................................................................................................................................................1

基礎(chǔ)知識(shí)梳理................................................................................................................................................................1

考點(diǎn)精講講練................................................................................................................................................................4

考點(diǎn)一：正弦定理解三角形................................................................................................................................4

考點(diǎn)二：余弦定理解三角形................................................................................................................................5

考點(diǎn)三：三角形的面積公式................................................................................................................................6

考點(diǎn)四：正余弦定理的大題綜合........................................................................................................................7

考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的概念及分類................................................................................................................................9

考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算..................................................................................................................................10

考點(diǎn)七：復(fù)數(shù)的幾何意義..................................................................................................................................11

考點(diǎn)八：求復(fù)數(shù)的模..........................................................................................................................................12

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練..............................................................................................................................................................13

明晰學(xué)考要求

1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；

2、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；

3、理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義;

4、掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加法、減法運(yùn)算的幾何意義,

基礎(chǔ)知識(shí)梳理

一、正弦定理

1.正弦定理的內(nèi)容

在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則

定理正弦定理

abc

公式==2R，其中R為△ABC的外接圓的半徑.

sinAsinBsinC

常見變形①a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；

abc

②sinA,sinB,sinC；

2R2R2R

③a:b:csinA:sinB:sinC；

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角；

解三角形問(wèn)題

②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角．

角邊關(guān)系A(chǔ)BabsinAsinB

2.三角形的面積公式

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為A，B，C，其面積為S.

1

①Sah(h為BC邊上的高)；

2

111

②SbcsinAacsinBabsinC；

222

二、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則

定理余弦定理

a2b2c22bccosA,

公式b2a2c22accosB.

c2a2b22abcosC.

b2c2a2c2a2b2

常見變形cosAcosBa2b2c2

2bc，2ca，cosC

2ab

①已知三邊，求三個(gè)角；

解三角形問(wèn)題

②已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩角．

c2a2＋b2C為直角；

余弦定理與勾

c2a2＋b2?C為鈍角；

股定理的關(guān)系

c2a2＋b2?C為銳角.

三、三角形中常用結(jié)論?

1.兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊：abc,bca,acb

2.大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊：ABabsinAsinB

3.ABC，故有①sinABsinC；②cosABcosC；

ABCABC

③tanABtanC；④sincos,⑤cossin

2222

四、復(fù)數(shù)的定義及其分類

1.定義：形如zabi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a稱為z的實(shí)部，b稱為z的虛部(i為虛數(shù)單位)．規(guī)

定i21

2.復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)的分類zabi(a,bR)充要條件集合表示

實(shí)數(shù)b0

虛數(shù)b0

純虛數(shù)a0且b0

3.復(fù)數(shù)相等

在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,dR)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等的充要條件是ac且

bd

五、復(fù)平面

1.定義：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，推廣到復(fù)數(shù)，每一個(gè)復(fù)數(shù)abia,bR都與平面直角坐標(biāo)系上的

點(diǎn)a,b一一對(duì)應(yīng)，將這個(gè)平面稱為復(fù)平面.橫坐標(biāo)代表復(fù)數(shù)的實(shí)部，縱坐標(biāo)代表復(fù)數(shù)的虛部，橫軸稱為實(shí)

軸，縱軸稱為虛軸.

2．復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的模

①?gòu)?fù)數(shù)的幾何意義：

uuur

②復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)zabi(a,bR)的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|a2b2

六、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)＋，＋是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)

1.z1abiz2cdi

運(yùn)算計(jì)算公式

加法z1z2(ac)(bd)i

減法z1z2(ac)(bd)i

乘法2

z1z2(abi)(cdi)acadibcibdi(acbd)(adbc)i

zabi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i

1

除法22

z2cdi(cdi)(cdi)cd

2．復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算律，乘法運(yùn)算律

對(duì)于任意,,，有

z1z2z3C

交換律

z1z2z2z1

加法運(yùn)算律

結(jié)合律

(z1z2)z3z1(z2z3)

=

交換律z1z2z2z1

乘法運(yùn)算律結(jié)合律z1z2z3z1z2z3

＋＋

乘法對(duì)加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3

3．共軛復(fù)數(shù)

1.定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).

2.表示：z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即若z=a＋bi(a,bR)，則zabi

考點(diǎn)精講講練

考點(diǎn)一：正弦定理解三角形

（1）已知兩角一邊解三角形：①若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí),可由正弦定理求另一角所對(duì)的邊,再由三角形

內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；②若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí),先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,再由正弦

定理求另外兩邊；

（2）已知兩邊一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值；②如果已知的角為大邊所對(duì)的

角時(shí),由三角形中大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,由正弦值可求銳角唯一；③如

果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí),則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角,要分類討論.

【典型例題】

例1．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若b2，c2，

C45，則A（）

A．60B．75C．105D．120

例2．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b3，c2，

B60，則cosC=（）

6321

A．B．C．D．

3333

例3．（2021高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，已知A45，B60，AC63，則BC（）

A．26B．46C．22D．62

11

例4．（2024高二下·云南·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若a1,sinA,sinB，

63

則b（）

A．6B．4C．3D．2

【即時(shí)演練】

1．在VABC中，已知a3，b2，A60，則角B的值為（）

A．45或135B．45C．135D．30o或150

2．在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，C30，c5，a8，則cosA（）

3334

A．B．C．-D．

5555

3．VABC中，a5，B105，C30，則c．

π

4．在VABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且A，a1，c3，則cosC．

6

考點(diǎn)二：余弦定理解三角形

（1）已知兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形：直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊,再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定

理求其他角.

（2）已知三邊解三角形：已知先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦,從而求出第一個(gè)角;再利用余弦定

理的推論求出第二個(gè)角;最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.

注意:若已知三角形三邊的比例關(guān)系,常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k,從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.

【典型例題】

例1．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，a1,b2,C60，則c（）

A．3B．5C．7D．3

例2．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，AB3,AC2,BC4,D是BC的中點(diǎn)，則AD（）

510

A．B．5C．D．10

22

例3．（2023高三上·廣西·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a1，b2，

2

cosC，則c．

2

例4．（2020高二下·山東·學(xué)業(yè)考試）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c．若a:b:c4:5:6，則cos2C

的值為．

【即時(shí)演練】

π

1．在VABC中，已知a，b，c三邊分別對(duì)應(yīng)A，B，C三角，a5，b4，C，則c（）

3

A．3B．21C．41D．61

π

2．在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a1,b3,A，則c（）

6

33

A．1B．2C．1或2D．或

42

3．長(zhǎng)度分別為2，3，4的線段構(gòu)成圖形的形狀為（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不構(gòu)成三角形

4．已知VABC中，AB6,AC4,BC3，則AB中線CM長(zhǎng)等于.

考點(diǎn)三：三角形的面積公式

111

一般用公式SbcsinAacsinBabsinC進(jìn)行求解即可

222

【典型例題】

33

例1．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,ABC的面積為，且

4

π

b1,C，則邊c（）

3

A．7B．3C．7D．13

例2．（2020高三上·河北·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c．若

acbbca4，C60，則VABC的面積是（）

33

A．B．C．3D．23

42

例3．（2020高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若A，b1，VABC的

3

3

面積為，則a.

2

π

例4．（2023高二·天津·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，若AB3，AC4，CAB，則BC邊上的高為.

6

【即時(shí)演練】

1．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，VABC的三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,1，B7,2，C3,7，則VABC的面積為（）

A．120B．60C．30D．15

π

2．在VABC中，若a2,B，且VABC的面積為43，則c．

3

3．在ABC中，a2,B，其面積為53，則邊c.

3

5π

4．VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A,a27，c3b,求VABC的面積.

6

考點(diǎn)四：正余弦定理的大題綜合

【典型例題】

π33

例1．（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，面積為S.已知B,S，

32

再?gòu)蘑佗趦蓚€(gè)條件中選取一個(gè)作為已知條件，求VABC的周長(zhǎng).

①ac33；②ab63.

注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

例2．（2024高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知在VABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a5，b8，

π

C.

3

(1)求c；

(2)求sinB.

3

例3．（2023高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）已知a,b,c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，cosA.

5

(1)求sinA的值；

(2)若asinB4，求b的值.

例4．（2023高二·云南·學(xué)業(yè)考試）在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

2π

(1)已知sinA,B,b52，求a的值；

54

1

(2)已知a1,cosA,bc2，求bc的值.

2

【即時(shí)演練】

1．在VABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a3,b1,c7．

(1)求角C的大小；

(2)求sin(AC)的值．

2．已知VABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，a7,b8,c5．

(1)求角A的值；

(2)求sinB的值．

3．在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知a7,c8.

4

(1)若sinC，求角A的大小；

7

(2)若b5，求AC邊上的高.

2π

4．已知a，b，c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A．

3

(1)若BC，a23，求c；

(2)若VABC的面積為23，c2，求a．

考點(diǎn)五：復(fù)數(shù)的概念及分類

判斷一個(gè)復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù),應(yīng)首先保證復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部均有意義.其次根據(jù)分類

的標(biāo)準(zhǔn),列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式再求解.

【典型例題】

例1．（2024高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）已知i為虛數(shù)單位，則下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（）

A．13iB．5C．3iD．3i

例2．（2024高二下·湖南婁底·學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z12i，則z的虛部為（）

A．1B．1C．2D．2

例3．（2024高二上·廣東·學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)z35i，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A．5iB．-5C．5D．-5i

例4．（2023高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z1(m2)i，要讓z為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m為.

【即時(shí)演練】

1．已知復(fù)數(shù)(2xy)(xy)i的實(shí)部和虛部分別為5和1，則實(shí)數(shù)x和y的值分別是（）

A．2，1B．2，1C．1，2D．1，2

2．已知復(fù)數(shù)za21i（i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)），則“z為純虛數(shù)”是“a1”的（）

A．充分非必要條件B．必要非充分條件

C．充要條件D．既非充分又非必要條件

3．若復(fù)數(shù)z1ai（i為虛數(shù)單位）的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為

4．已知復(fù)數(shù)za23a4a1iaR是純虛數(shù)，則a.

考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

【典型例題】

例1．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)z滿足z12i2i，則z（）

44

A．iB．iC．iD．i

55

例2．（2023高三上·廣西·學(xué)業(yè)考試）設(shè)復(fù)數(shù)z112i，z21i（i是虛數(shù)單位），則z1z2．

2i

例3．（2024高二下·天津河?xùn)|·學(xué)業(yè)考試）i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．

i

例4．（2020高二下·山東·學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)(1i)2（）

A．22iB．22iC．2iD．2i

【即時(shí)演練】

1．復(fù)數(shù)z滿足zi3i（i為虛數(shù)單位），則z（）

A．13iB．13iC．13iD．13i

i2i

2．設(shè)復(fù)數(shù)z，則z的虛部是（）

1i

A．1B．1C．iD．i

3．已知i為虛數(shù)單位，則23i23i（）

A．5B．-1C．1D．7

z1

4．若復(fù)數(shù)z滿足1i，則z（）

zi2

A．2iB．2iC．2iD．2i

考點(diǎn)七：復(fù)數(shù)的幾何意義

找對(duì)應(yīng)關(guān)系:復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)zabi(a,bR)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Za,b來(lái)表示,是解決此類

問(wèn)題的根據(jù).

【典型例題】

例1．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z23i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A．2,3B．2,3C．2,3D．2,3

例2．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z12i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

z

例3．（2024高三上·江蘇南京·學(xué)業(yè)考試）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z

4i1

所在象限為（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

例4．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）在復(fù)平面內(nèi)，(3i)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【即時(shí)演練】

1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi1i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

2．復(fù)數(shù)ii2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

3．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量OA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i.若點(diǎn)A關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則向量OB對(duì)

應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A．2iB．2iC．12iD．12i

4．已知復(fù)數(shù)z1aa21i（aR且a1），i為虛數(shù)單位，則x在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為

象限.

考點(diǎn)八：求復(fù)數(shù)的模

（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)不全為實(shí)數(shù)時(shí)不能比較大小,而任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的模均可比較大小.

（2）復(fù)數(shù)模的意義是表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,公式為|z|a2b2

【典型例題】

例1．（2024高二下·浙江紹興·學(xué)業(yè)考試）復(fù)數(shù)1i的模長(zhǎng)為（）

A．2B．1C．2D．1

例2．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z滿足z34i26i，則z（）

3434

A．iB．i

5555

4343

C．iD．-i

5555

3i

例3．（2022高二下·安徽馬鞍山·學(xué)業(yè)考試）．

12i

12i

例4．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z，則|z|.

i

【即時(shí)演練】

12i

1．若復(fù)數(shù)z滿足z（i為虛數(shù)單位），則z的模z（）

2i

55

A．1B．C．5D．

53

2．若復(fù)數(shù)z滿足(1i)z3i（i為虛數(shù)單位），則z的模z（）

105

A．B．C．10D．5

22

3．2i2i3（）

A．B．2C．3D．4

4．復(fù)數(shù)252i2i的實(shí)部與虛部之和為.

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練

3π

1．在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a8，A，則VABC外接圓的半徑為（）

4

163

A．42B．82C．8D．

3

π

2．在△ABC中，若A，AB1，AC3，則BC邊上的高為（）