2025年大學《物理學》專業(yè)題庫——量子力學中的概率原理與波函數考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在括號內）1.在量子力學中，波函數ψ(x)的物理意義是（）。A.粒子的動量B.粒子的位置C.單位時間內粒子出現在點x附近的概率密度D.單位時間內粒子出現在點x附近的概率2.如果一個波函數ψ(x)滿足邊界條件ψ(0)=ψ(L)=0，并且在一維無限深勢阱中是能量本征態(tài)，那么該波函數一定是（）。A.奇函數B.偶函數C.非奇非偶函數D.不能確定是奇函數還是偶函數3.標準化的波函數ψ?和ψ?，其線性組合ψ=αψ?+βψ?也是（）。A.一定不能被標準化B.一定能被標準化C.是否能被標準化取決于α和β的具體值D.只有當α=1,β=0或α=0,β=1時才能被標準化4.一維定態(tài)薛定諤方程的形式為-?2/(2m)*d2ψ/dx2+V(x)ψ=Eψ，其中E代表（）。A.粒子的總能量B.粒子的勢能C.粒子的動能D.粒子的勢能函數5.根據海森堡不確定性關系，粒子的位置不確定性Δx和動量不確定性Δp的關系是（）。A.ΔxΔp=0B.ΔxΔp=hC.ΔxΔp≥?/2D.ΔxΔp≤?/2二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在橫線上）6.波函數ψ(x,t)滿足的歸一化條件是________。7.一維無限深勢阱中，粒子能量本征態(tài)的波函數ψ(x)必須滿足的邊界條件是________。8.設粒子在一維勢阱中運動，其波函數為ψ(x)，則粒子在x處出現的概率密度為________。9.薛定諤方程描述了量子力學系統(tǒng)中________隨時間的變化規(guī)律。10.不確定性關系表明，一個粒子不可能同時精確地知道它的________和________。三、計算題（共35分）11.（10分）在一維無限深勢阱（寬度為a）中，粒子處于基態(tài)（n=1）。求：(1)粒子的能量本征值E?；(2)粒子在x=a/4處出現的概率密度。12.（10分）粒子處于狀態(tài)ψ(x)=Asin(πx/L)，其中0≤x≤L，A為歸一化常數。(1)求歸一化常數A；(2)計算粒子在x=L/2處出現的概率密度。13.（15分）一個質量為m的粒子在一維無限深勢阱中運動，勢阱寬度為a。已知粒子處于能量本征態(tài)，其波函數為ψ(x)=√(2/a)sin(πx/2a)，0<x<a。(1)求該粒子的能量本征值E；(2)計算粒子位置expectationvalue?x?；(3)計算粒子動量expectationvalue?p?。（提示：利用相應的算符表達式和本征態(tài)的性質）四、證明題（共20分）14.證明：如果波函數ψ(x)滿足一維定態(tài)薛定諤方程-?2/(2m)*d2ψ/dx2+V(x)ψ=Eψ，并且勢能V(x)不顯含時間t，那么該波函數ψ(x)的線性組合ψ(x,t)=ψ(x)e^(-iEt/?)也是一個滿足相應含時間薛定諤方程的解。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.C4.A5.C二、填空題6.∫|ψ(x,t)|2dτ=1（或∫ψ*(x,t)ψ(x,t)dτ=1）7.ψ(0)=ψ(a)=0（或ψ(x=0)=ψ(x=a)=0）8.|ψ(x)|2（或ψ*(x)ψ(x)）9.狀態(tài)（或波函數/系統(tǒng)的狀態(tài)）10.位置/坐標；動量三、計算題11.(1)解析思路：利用一維無限深勢阱中能量本征值的公式E_n=n2π2?2/(2ma2)。對于基態(tài)n=1。答案：E?=π2?2/(2ma2)(2)解析思路：粒子在x=a/4處出現的概率密度為|ψ(x=a/4)|2。對于基態(tài)波函數ψ?(x)=√(2/a)sin(πx/a)，計算其在x=a/4處的絕對值平方。答案：|ψ(a/4)|2=(2/a)*sin2(π*a/4/a)=(2/a)*sin2(π/4)=(2/a)*(1/√2)2=(2/a)*1/2=1/a12.(1)解析思路：根據波函數歸一化條件∫|ψ(x)|2dx=1。將ψ(x)=Asin(πx/L)和積分區(qū)間0到L代入，求解A。答案：∫??|Asin(πx/L)|2dx=1=>A2∫??sin2(πx/L)dx=1利用sin2θ=(1-cos(2θ))/2，積分變?yōu)锳2/L*∫??(1-cos(2πx/L))dx=1=>A2/L[(x-(L/2π)sin(2πx/L))]??=1=>A2/L[L-0]=1=>A2=1=>A=1（取正值，因通常默認ψ>0）答案：A=√(1/∫??sin2(πx/L)dx)=1/[(1/L)*L/2]=√2/L(2)解析思路：粒子在x=L/2處出現的概率密度為|ψ(L/2)|2。將x=L/2和歸一化常數A=√2/L代入ψ(x)。答案：|ψ(L/2)|2=|(√2/L)sin(π*L/2/L)|2=|(√2/L)sin(π/2)|2=|(√2/L)*1|2=(2/L)2=2/L13.(1)解析思路：利用一維無限深勢阱中能量本征值的公式E_n=n2π2?2/(2ma2)。波函數形式為ψ(x)=√(2/a)sin(kx)，對比標準形式ψ(x)=√(2/a)sin(nπx/a)，可知動量量子數n=1，波數k=nπ/a=π/a。代入能量公式。答案：E=(1)2π2?2/(2m(2a)2)=π2?2/(8ma2)(2)解析思路：位置期望值?x?=∫??ψ*(x)xψ(x)dx。利用ψ(x)=√(2/a)sin(πx/2a)，ψ*(x)=√(2/a)cos(πx/2a)。答案：?x?=∫?2?(√(2/a)cos(πx/2a))x(√(2/a)sin(πx/2a))dx=(2/a)∫?2?xcos(πx/2a)sin(πx/2a)dx利用sin(2θ)=2sinθcosθ，積分變?yōu)?2/a)∫?2?x(1/2)sin(πx/a)dx=(a/a)∫?2?xsin(πx/a)dx=∫?2?xsin(πx/a)dx令u=πx/a，du=πdx/a，x=au/π，dx=a/πdu。積分限x=0對應u=0，x=2a對應u=2π。?x?=∫?2?(au/π)sin(u)(a/π)du=(a2/π2)∫?2?usin(u)du分部積分，令v=u,dv=du；dw=sin(u)du,w=-cos(u)。?x?=(a2/π2)[-ucos(u)]?2?+∫?2?cos(u)du=(a2/π2)[-2πcos(2π)+0cos(0)]+(a2/π2)[sin(u)]?2?=(a2/π2)[-2π(1)+0]+(a2/π2)[sin(2π)-sin(0)]=(a2/π2)[-2π]+(a2/π2)[0-0]=-2a/π+0=a/π(3)解析思路：動量算符?=-?2/(2m)*d2/dx2+V(x)（此處V(x)=0）。期望值?p?=???=∫??ψ*(x)(-?2/(2m)*d2ψ(x)/dx2)dx。由于V(x)=0，積分簡化為?p?=-?2/(2m)∫??ψ*(x)d2ψ(x)/dx2dx。利用分部積分公式∫udv=uv-∫vdu。令u=ψ*(x),dv=d2ψ(x)/dx2dx=d(ψ'(x))dx=ψ''(x)dx。則du=ψ'(x)dx,v=ψ'(x)。積分變?yōu)椋?p?=-?2/(2m)[ψ*(x)ψ'(x)]??+?2/(2m)∫??ψ'(x)2dx。由于ψ(x)在阱壁(x=0,L)處為零，其導數ψ'(x)在阱壁處也有連續(xù)性，故邊界項[ψ*(x)ψ'(x)]??=0*ψ'(0)+ψ*(L)*ψ'(L)=0*ψ'(L)+0*ψ'(L)=0。所以?p?=?2/(2m)∫??|ψ'(x)|2dx。計算ψ'(x)=d/dx[√(2/a)sin(πx/2a)]=√(2/a)*(π/2a)cos(πx/2a)。答案：?p?=?2/(2m)∫?2?|√(2/a)(π/2a)cos(πx/2a)|2dx=(?2π2)/(4ma2)∫?2?cos2(πx/2a)dx利用cos2θ=(1+cos(2θ))/2，積分變?yōu)??2π2)/(4ma2)∫?2?(1+cos(πx/a))dx=(?2π2)/(4ma2)[x+(a/π)sin(πx/a)]?2?=(?2π2)/(4ma2)[2a+(a/π)sin(2π)-(0+(a/π)sin(0))]=(?2π2)/(4ma2)[2a+0-0]=(?2π2)/(4ma2)*2a=(?π2)/(2ma)四、證明題14.證明思路：含時間薛定諤方程為i?dψ/dt=?ψ。將ψ(x,t)=ψ(x)e^(-iEt/?)代入左邊。dψ/dt=d/dt[ψ(x)e^(-iEt/?)]=ψ(x)*d/dt[e^(-iEt/?)]=ψ(x)*(-iE/?)*e^(-iEt/?)=(-iE/?)ψ(x)e^(-iEt/?)代入左邊得i?dψ/dt=i?[(-iE/?)ψ(x)e^(-iEt/?)]=Eψ(x)e^(-iEt/?)=Eψ。右邊?ψ=?[ψ(x)e^(-iEt/?)]。由于哈密頓算符?=-?2/(2m)*d2/dx2+V(x)，它僅依賴于坐標x，不顯含時間t，因此可以移出時間變量：?ψ=[-?2/(2