2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在人臉識(shí)別技術(shù)中的作用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)人臉圖像矩陣表示為\(A\in\mathbb{R}^{m\timesn}\)，其中\(zhòng)(m\)為圖像高度，\(n\)為圖像寬度，像素值在\([0,1]\)區(qū)間內(nèi)。簡(jiǎn)述主成分分析（PCA）在人臉識(shí)別中降維的基本思想。在計(jì)算特征臉時(shí)，樣本數(shù)據(jù)通常需要中心化處理，請(qǐng)解釋其數(shù)學(xué)原因。2.線性判別分析（LDA）在人臉識(shí)別中用于提取區(qū)分性特征。請(qǐng)寫出樣本協(xié)方差矩陣\(S_W\)和類間協(xié)方差矩陣\(S_B\)的定義公式，并解釋\(S_B\)的意義。二、1.假設(shè)有\(zhòng)(C\)個(gè)類別的人臉圖像，每個(gè)類別有\(zhòng)(N_c\)張圖像，圖像大小為\(m\timesn\)。請(qǐng)推導(dǎo)計(jì)算LDA特征向量（即投影方向）的數(shù)學(xué)公式。2.在人臉識(shí)別中，常用的相似度度量包括歐氏距離和余弦相似度。設(shè)向量\(x,y\in\mathbb{R}^d\)，請(qǐng)分別給出歐氏距離和余弦相似度的計(jì)算公式，并說明在人臉識(shí)別場(chǎng)景下，選擇哪種度量可能更合適，簡(jiǎn)述理由。三、1.設(shè)\(X_1,X_2,\dots,X_k\)是從高斯分布\(p(x|\omega_i)=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma_i|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu_i)^T\Sigma_i^{-1}(x-\mu_i)\right)\)中抽取的獨(dú)立同分布樣本，其中\(zhòng)(\omega_i\)表示第\(i\)類。請(qǐng)寫出貝葉斯分類決策函數(shù)的形式。2.在人臉識(shí)別系統(tǒng)中，誤識(shí)率（FalseAcceptanceRate,FAR）和拒識(shí)率（FalseRejectionRate,FRR）是重要的性能指標(biāo)。請(qǐng)解釋這兩個(gè)指標(biāo)的定義，并說明它們之間存在怎樣的關(guān)系。四、1.已知人臉圖像經(jīng)過PCA降維后得到的數(shù)據(jù)矩陣\(Y\in\mathbb{R}^{k\timesN}\)（\(k<d\)，\(N\)為樣本數(shù)量），其中\(zhòng)(Y\)的每一列代表一個(gè)降維后的樣本向量?，F(xiàn)要從\(Y\)中提取一個(gè)特征向量\(w\in\mathbb{R}^k\)，使得\(w^TY^TY\)達(dá)到最大值。請(qǐng)寫出該問題的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并說明如何求解該優(yōu)化問題（無需給出具體算法步驟）。2.人臉識(shí)別中的特征臉（Eigenface）是基于全體訓(xùn)練樣本協(xié)方差矩陣\(S=\frac{1}{N}YY^T\)的特征向量。請(qǐng)解釋為什么有時(shí)使用\(S\)而不是類內(nèi)協(xié)方差矩陣\(S_W\)來計(jì)算特征向量，并分析這種做法可能帶來的影響。五、1.假設(shè)我們正在設(shè)計(jì)一個(gè)基于LDA的人臉識(shí)別系統(tǒng)。簡(jiǎn)述從數(shù)據(jù)準(zhǔn)備到識(shí)別出結(jié)果的主要步驟，并指出每一步中可能涉及的關(guān)鍵數(shù)學(xué)計(jì)算。2.考慮一個(gè)場(chǎng)景，需要設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)模型來評(píng)估不同參數(shù)（如：PCA降維后的維數(shù)\(k\)、LDA使用的類數(shù)\(C\)）對(duì)最終人臉識(shí)別準(zhǔn)確率的影響。請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)可能的評(píng)估方法，并說明該方法中可能用到的數(shù)學(xué)工具或統(tǒng)計(jì)量。試卷答案一、1.PCA通過求樣本協(xié)方差矩陣的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量來確定投影方向。這些特征向量構(gòu)成特征臉空間。其核心思想是將原始高維人臉圖像數(shù)據(jù)投影到由這些特征臉構(gòu)成的低維子空間上，使得投影后數(shù)據(jù)的類內(nèi)散布盡可能小，類間散布盡可能大，從而保留圖像的主要特征信息，同時(shí)降低數(shù)據(jù)維度。樣本數(shù)據(jù)中心化處理是為了消除數(shù)據(jù)集中的整體均值偏移，使得數(shù)據(jù)以原點(diǎn)為中心分布，確保PCA計(jì)算的特征向量反映的是數(shù)據(jù)本身的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，而不是位置的偏移。2.\(S_W=\sum_{i=1}^C\sum_{x\in\omega_i}(x-\bar{x}_i)(x-\bar{x}_i)^T\)，其中\(zhòng)(\bar{x}_i\)是第\(i\)類樣本的均值向量。\(S_B=\sum_{i=1}^CN_c(x_i-\bar{x})(\bar{x}_i-\bar{x})^T\)，其中\(zhòng)(\bar{x}\)是所有樣本的總體均值向量。\(S_B\)的意義是度量不同類別均值向量之間的差異，即度量各類樣本之間的分離程度。LDA的目標(biāo)就是找到投影方向\(w\)，使得投影后\(S_W\)最小化（類內(nèi)散布最?。?，\(S_B\)最大（類間散布最大）。二、1.LDA目標(biāo)是最大化投影后類間散度\(w^TS_Bw\)并最小化投影后類內(nèi)散度\(w^TS_Ww\)。這等價(jià)于求解廣義特征值問題：\(S_Bw=\lambdaS_Ww\)。特征向量\(w\)（取前\(d-C\)個(gè)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量）即為L(zhǎng)DA的投影方向。2.歐氏距離：\(\|x-y\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^d(x_i-y_i)^2}\)。余弦相似度：\(\text{Sim}(x,y)=\frac{x^Ty}{\|x\|_2\|y\|_2}\)。在人臉識(shí)別中，選擇余弦相似度通常更合適。因?yàn)闅W氏距離敏感于圖像的縮放、旋轉(zhuǎn)和平移，而余弦相似度衡量的是向量方向的一致性。人臉圖像在采集時(shí)可能存在這些變化，但人臉的主要身份特征（如眼睛、鼻子、嘴巴的位置關(guān)系）在方向上相對(duì)穩(wěn)定，因此基于方向的余弦相似度更能抵抗這些變化，反映人臉的內(nèi)在結(jié)構(gòu)相似性。三、1.貝葉斯分類決策函數(shù)為\(g(x)=\arg\max_{\omega_i}P(\omega_i|x)=\arg\max_{\omega_i}\frac{P(x|\omega_i)P(\omega_i)}{P(x)}\)。由于\(P(x)\)對(duì)所有類別相同，可忽略，簡(jiǎn)化為\(g(x)=\arg\max_{\omega_i}P(x|\omega_i)P(\omega_i)\)。對(duì)于高斯模型，\(P(x|\omega_i)\)形式已知，\(P(\omega_i)\)是先驗(yàn)概率。決策規(guī)則是計(jì)算后驗(yàn)概率或?qū)?shù)后驗(yàn)概率，選擇后驗(yàn)概率或?qū)?shù)后驗(yàn)概率最大的類別。2.FAR定義為：\(FAR=\frac{N_{FP}}{N_{FP}+N_{TN}}\)，其中\(zhòng)(N_{FP}\)是將被識(shí)別為錯(cuò)誤身份的正例（偽陽性）數(shù)量，\(N_{TN}\)是被正確識(shí)別為“未知”或“拒絕”的負(fù)例（實(shí)際身份錯(cuò)誤，但被正確拒絕）數(shù)量。FRR定義為：\(FRR=\frac{N_{FN}}{N_{FN}+N_{TP}}\)，其中\(zhòng)(N_{FN}\)是未被識(shí)別出的正例（偽陰性）數(shù)量，\(N_{TP}\)是被正確識(shí)別為對(duì)應(yīng)身份的正例（真陽性）數(shù)量。FAR和FRR之間存在互補(bǔ)關(guān)系，通常隨著系統(tǒng)閾值調(diào)整而變化：降低閾值傾向于降低FRR但增加FAR，提高閾值則傾向于降低FAR但增加FRR。四、1.優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)是最大化\(w^TY^TYw\)。這是一個(gè)關(guān)于\(w\)的二次型優(yōu)化問題。由于\(Y^TY\)是實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征向量正交且能表示任何向量。最大值\(\lambda_{\max}(Y^TY)\)對(duì)應(yīng)的特征向量\(w\)即為所求。求解方法通常涉及\(Y^TY\)的特征值分解或求解對(duì)應(yīng)的線性方程組。2.使用全體樣本協(xié)方差矩陣\(S=\frac{1}{N}YY^T\)計(jì)算特征向量可以得到對(duì)所有類別都有代表性的“通用”特征臉，這些特征臉捕捉了數(shù)據(jù)集中普遍存在的主要變化（如光照、表情、姿態(tài)的共性部分）。如果使用類內(nèi)協(xié)方差矩陣\(S_W\)，得到的特征臉更側(cè)重于區(qū)分不同類別的特定特征。在某些情況下，混合使用或先使用\(S\)后使用\(S_W\)可能會(huì)得到更好的識(shí)別效果。使用\(S\)的缺點(diǎn)是可能無法充分突出類別間的差異，導(dǎo)致識(shí)別率下降。五、1.主要步驟：①數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理：采集多類別人臉圖像，進(jìn)行歸一化、去噪聲等預(yù)處理。②訓(xùn)練集劃分：將數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練集和測(cè)試集（或交叉驗(yàn)證集）。③特征提?。簩?duì)訓(xùn)練集圖像進(jìn)行PCA降維，得到特征臉。④模型訓(xùn)練：對(duì)降維后的訓(xùn)練數(shù)據(jù)應(yīng)用LDA，得到最優(yōu)投影方向（特征向量）。構(gòu)建每個(gè)類別的均值向量。⑤圖像識(shí)別：對(duì)測(cè)試集圖像，先進(jìn)行預(yù)處理和PCA降維，再應(yīng)用LDA投影到?jīng)Q策空間，計(jì)算待識(shí)圖像與各類別均值向量在決策空間中的距離或相似度。⑥結(jié)果判斷：選擇距離最近（或相似度最高）的類別作為識(shí)別結(jié)果。關(guān)鍵計(jì)算包括：樣本均值計(jì)算、協(xié)方差矩陣計(jì)算（\(S_W,S_B\)或\(S\)）、特征值分解、投影計(jì)算。2.評(píng)估方法：可以使用交叉驗(yàn)證或獨(dú)立的測(cè)試集。方法：①選擇不同的\(k\)值（如PCA維數(shù)從50到300每50取一個(gè)值）和/或不同的\(C\)值（如LDA投影后保留的維數(shù)從10到100每10取一個(gè)值）。②對(duì)于每