培優(yōu)點(diǎn)2解三角形中的幾何計(jì)算問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點(diǎn)解讀 202思維升華 303典型例題 4題型一：利用兩次正弦定理消元法 4題型二：利用兩次余弦定理建立等量關(guān)系 5題型三：等面積法 6題型四：角平分線問題 7題型五：中線問題 8題型六：高問題 9題型七：四心問題 1004課時(shí)精練 12

解三角形圖形計(jì)算常以三角形、四邊形（可拆為三角形）為背景，結(jié)合高、中線、角平分線等元素。核心用正余弦定理求邊長、角度，結(jié)合面積公式計(jì)算。

解決三角形圖形類問題的方法：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.

題型一：利用兩次正弦定理消元法【例題1】如圖，在中，角所對的邊分別為是內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足．

(1)若，求的大?。?2)若，求的正切值；(3)若，求的值．【例題2】如圖，在中，，，，為內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)若，求的長；(2)若，求．【變式1】（2025·全國·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若平分，點(diǎn)在線段上，且，求的長．【變式2】（2025·高三·浙江·開學(xué)考試）在中，分別是角所對的邊，且滿足.(1)求的大??；(2)點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且滿足，求的值.【變式3】在中，已知的平分線與邊相交于點(diǎn).(1)求證：；(2)若，，，求.題型二：利用兩次余弦定理建立等量關(guān)系【例題3】的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若D為AB中點(diǎn)，，，求的周長．【例題4】在四邊形中，平分．(1)求；(2)當(dāng)取最大值時(shí)，求．題型三：等面積法【例題5】（2025·高三·黑龍江·開學(xué)考試）在中，內(nèi)角所對邊分別為，(1)若，求的值.(2)若的角平分線交于點(diǎn).（?。┤簦蟮淖畲笾?；（ⅱ）若，，求的面積.【例題6】（2025·高三·貴州貴陽·開學(xué)考試）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，，，且的面積為．(1)求；(2)若在邊上，且線段平分，求線段的長度．【變式4】如圖，平面四邊形中，，記.(1)用表示；(2)求四邊形面積的范圍；(3)當(dāng)為何值時(shí)，.題型四：角平分線問題【例題7】已知平面四邊形ABDC中，對角線CB為鈍角的平分線，CB與AD相交于點(diǎn)O，，，.(1)求的值；(2)求的長；(3)若，求的面積.【例題8】已知的內(nèi)角的對邊分別為.求角的平分線長的取值范圍.【變式5】（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且向量，,點(diǎn)M在邊BC上，AM是角A的平分線．(1)求角A；(2)求AM的長．【變式6】已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求C；(2)若的平分線交于D，且，求的值.題型五：中線問題【例題9】（2025·高三·浙江·開學(xué)考試）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足(1)求角A；(2)若，邊中線長為1，求的面積．【例題10】在中，角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求角；(2)若，且邊的中線的長為，求的面積；(3)若是銳角三角形，求的范圍．【變式7】在中，，是邊上的中線，記，．(1)求；(2)若，，求．題型六：高問題【例題11】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大??；(2)若，，求邊AC上的高．【例題12】（2025·山東聊城·三模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，且邊上的高為，求的周長．【變式8】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且(1)求A；(2)若，，求BC邊上的高題型七：四心問題【例題13】（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(diǎn)G是的重心，且．(1)若，求的值；(2)求的取值范圍．【例題14】（2025·浙江·三模）已知在中，角A，B，C所對的邊記為a，b，c，設(shè)其外心為O.若.(1)求角A的大小；(2)若，求的面積.【變式9】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）四面體滿足兩兩垂直(1)點(diǎn)在面內(nèi)的正投影是的什么心？請給出證明(2)設(shè)點(diǎn)為的外心，為的外接圓半徑，設(shè)①請寫出與的關(guān)系（用表示）．②求證：為定值．【變式10】在中，角所對的邊分別為，已知，且滿足(1)求角的大小(2)的內(nèi)心為，求周長的取值范圍.【變式11】（2025·江蘇·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，．(1)若，求的周長；(2)若的內(nèi)切圓、外接圓半徑分別為，求的取值范圍．

1．（2025·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）在中，角的對邊為，，，，且.(1)求；(2)若的周長為，求邊上的高.2．如圖，在平面四邊形中，，若是上一點(diǎn)，．記，．(1)證明：；(2)若.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求線段長度的取值范圍．3．如圖，在四邊形中，，，，.(1)當(dāng)、、、四點(diǎn)共圓時(shí)，求；(2)求四邊形面積的最大值；(3)求的最大值．4．如圖，在平面四邊形中，．(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)求四邊形面積S的最大值．5．記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，點(diǎn)在邊上，且，，求.6．（2025·河南·三模）已知是內(nèi)一點(diǎn)，.(1)若，求；(2)若，求.7．的內(nèi)角的對邊分別為為平分線，.(1)求；(2)上有點(diǎn)，求.8．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若，求；(3)若，且邊上的中線，求的周長.9．在三角形中，分別是邊的中點(diǎn)，已知．(1)求三角形的面積；(2)求三角形的周長．10．在中，角的對邊分別為，已知，，為邊上一點(diǎn)．(1)若為的中點(diǎn)，且，求；(2)若的面積為，且平分，求的長．11．（2025·高三·全國·開學(xué)考試）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)求證：(2)若D為BC的中點(diǎn)，，，求的面積.12．（2025·高三·安徽·期中）如圖，在平面四邊形中，與的交點(diǎn)為E，平分，，．(1)證明：；(2)若，求．13．如圖，四邊形中，．

(1)求；(2)為邊上一點(diǎn)，且的面積為，求的外接圓半徑．14．（2025·江西新余·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，，，.(1)求；(2)求四邊形的面積.15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求；(2)若，的面積為，求b；(3)已知的外接圓半徑為，的平分線交于點(diǎn)D，若，求的周長．16．在銳角中，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，．(1)求角；(2)設(shè)是角的平分線，與邊交于，若，，求，；17．（2025·高三·河北·開學(xué)考試）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求角；(2)若邊上的中線的長度為，求面積的最大值．18．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且，.(1)求角；(2)若，求邊AC上的角平分線BD長；(3)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍.19．在中，角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若邊上的高為，求．20．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求C；(2)若邊上的高為，求的最小值．21．（2025·廣東茂名·二模）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求；(2)若，且邊上的高為，求的周長．22．（2025·廣東·一模）在△中，角的對邊分別為，已知(1)求;(2)若分別為邊上的中點(diǎn)，為的重心，求的余弦值.23．（2025·全國·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，為的外心.(1)求的面積；(2)求周長的取值范圍.24．（2025·廣東肇慶·二模）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.記的內(nèi)角所對的邊分別是，已知__________.(1)求.(2)設(shè)為的內(nèi)心（三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），且滿足，求的面積.25．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別記作已知的周長為，且有．(1)求的面積；(2)設(shè)內(nèi)心為，外心為O，