培優(yōu)點(diǎn)07指對同構(gòu)問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點(diǎn)解讀 202思維升華 303典型例題 5題型一：雙變量地位同等同構(gòu) 5題型二：指對同構(gòu)法的理解 7題型三：同構(gòu)方程 10題型四：加法同構(gòu) 13題型五：乘法同構(gòu) 16題型六：利用同構(gòu)法解決零點(diǎn)問題 19題型七：求函數(shù)的最值問題 27題型八：不等式問題 31題型九：朗博同構(gòu)放縮 34題型十：公切線方程中的隱形同構(gòu) 4004課時精練 43

同構(gòu)法是一種解決等式或不等式問題的有效方法。其核心思路是對給定的等式或不等式進(jìn)行變形，讓等式或不等式的左右兩邊在結(jié)構(gòu)與形式上達(dá)成完全一致，進(jìn)而構(gòu)造出一個函數(shù)。由于該函數(shù)具有單調(diào)性這一重要性質(zhì)，我們可以借助函數(shù)的單調(diào)性來處理問題。同構(gòu)法在處理含有指數(shù)和對數(shù)混合的等式或不等式問題時優(yōu)勢明顯。通過同構(gòu)法，能夠?qū)?fù)雜的指數(shù)、對數(shù)混合問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)單調(diào)性的研究，簡化問題求解過程，幫助我們更高效地找到問題的答案，為解決此類數(shù)學(xué)問題提供了清晰且實(shí)用的思路與途徑。

一、八大同構(gòu)函數(shù)圖像①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．二、同構(gòu)1、常規(guī)變形方式=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．2、變形同構(gòu)=1\*GB3①；②；=3\*GB3③④⑤3、雙變量同構(gòu)(1)為增函數(shù)．(2)為減函數(shù)．

題型一：雙變量地位同等同構(gòu)【例1】已知函數(shù)，若對于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】即，即，令，由，得，從而，記，由及得，在上單調(diào)遞增，令，又在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且恒成立，故，則，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：C．【變式1-1】（2025·福建莆田·三模）已知函數(shù)，，若對區(qū)間內(nèi)任意兩個實(shí)數(shù)，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】假設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為，故，即；令，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．綜上所述，．故選：A．【變式1-2】若對都有成立，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．e D．2e【答案】B【解析】由，得，則，即，有，令，所以，令，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以當(dāng)時，，所以，故a的取大值為2．故選：B．【變式1-3】已知，向量與的夾角為，若對任意的，當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由條件可知，，，即恒成立，即，兩邊同時除以，整理為，，設(shè)，，，得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，由題意可知，在單調(diào)遞減，所以．故選：D題型二：指對同構(gòu)法的理解【例2】已知是方程的一個根，則．【答案】3【解析】因?yàn)槭欠匠痰囊粋€根，則，所以，即．令，則，所以在上單調(diào)遞增．又，即，所以，所以．【變式2-1】閱讀材料：“同構(gòu)法”是通過函數(shù)單調(diào)性解決問題時的常用方法，如下面的典型例題．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是多少？解析：，有，得，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．閱讀參考以上材料，解答下列問題：(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)已知，求的值．【解析】（1）函數(shù)在上的單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)且，所以，因?yàn)榍?，所以，，則，所以，即，即，所以在上的單調(diào)遞增；（2）由，則，即，顯然，即，因?yàn)?，所以，，所以，則，由（1）知在上的單調(diào)遞增，所以，即，即．【變式2-2】對不等式進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．【解析】首先將不等式進(jìn)行處理，因?yàn)?，不等式兩邊同時除以可得：，令，則，原不等式可化為，即．進(jìn)一步變形為．考慮函數(shù)，則不等式左邊為，對于右邊，可變形為，即．所以不等式同構(gòu)變形為，同構(gòu)函數(shù)為．【變式2-3】對不等式進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．【解析】顯然，則，∴．【變式2-4】對下列不等式進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）顯然，則，同構(gòu)函數(shù)為；（2）顯然，則，同構(gòu)函數(shù)為；（3）顯然，則，同構(gòu)函數(shù)為；（4）顯然，則，同構(gòu)函數(shù)為；（5），同構(gòu)函數(shù)為；（6），同構(gòu)函數(shù)為．題型三：同構(gòu)方程【例3】（2025·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程（，，）可化為同構(gòu)方程，則，．【答案】38【解析】對兩邊取自然對數(shù)得

①．對兩邊取自然對數(shù)得，即

②．因?yàn)榉匠挞伲跒閮蓚€同構(gòu)方程，所以，解得．設(shè)（），則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個，所以，所以，故．故答案為：3；8．【變式3-1】同構(gòu)式通俗講是結(jié)構(gòu)相同的表達(dá)式，如:，稱與為同構(gòu)式．已知實(shí)數(shù)滿足，則．【答案】3【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，由，得，則，即，因此，則，所以．故答案為：3【變式3-2】（2025·高三·安徽·開學(xué)考試）對任意實(shí)數(shù)，恒有成立，關(guān)于的方程有兩根為，，則下列結(jié)論正確的為()A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，由題意得出，則．且．①當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時，函數(shù)沒有最小值；②當(dāng)時，即當(dāng)時，令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．此時，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，，得．由題意可知，關(guān)于的方程有兩個實(shí)根，即有兩個實(shí)數(shù)根．方程的其中一個實(shí)根為，則，，即，又方程的另一個實(shí)根為，，因此，，故選B．【變式3-3】已知實(shí)數(shù)，滿足，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以．?lián)立，所以與是關(guān)于x的方程的兩根．構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，且該函?shù)為增函數(shù)，由于，所以，又，所以，即，解得．故選：D．【變式3-4】（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，，即，也即，由可得，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，在恒成立，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，解得，故選:B．題型四：加法同構(gòu)【例4】（2025·四川·模擬預(yù)測）已知當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由，可得．令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故在上單調(diào)遞增，由，可得，所以，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【變式4-1】任意的，不等式恒成立，則的范圍是．【答案】【解析】由已知條件可得，再利用換元法令，將問題轉(zhuǎn)化為研究直線恒在曲線的上方，即可得到答案；，令，，①，令，①對恒成立，對，對，令，則，，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)與相切時，設(shè)切點(diǎn)為，或，直線要恒在曲線的上方，直線斜率的取值范圍為，故答案為：．【變式4-2】（2025·湖北·三模）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，令，則恒成立，則恒成立，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故a的最大值為2．故選：B．【變式4-3】（2025·海南·模擬預(yù)測）已知當(dāng)時，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，所以不符合題意；當(dāng)由，即，令，，所以在上單調(diào)遞增，，即，在上恒成立，，令，，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，即，,故選：B．題型五：乘法同構(gòu)【例5】（2025·河北廊坊·模擬預(yù)測）當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，，即在時恒成立，令，則，令得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以．故選：D．【變式5-1】（2025·江西宜春·二模）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式可化為，，又，所以，故，由已知不等式在上恒成立，因?yàn)橛幸饬x，故，又，所以，當(dāng)時，不等式恒成立，設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故，令，則，令，可得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故，所以，所以的取值范圍為故選：C．【變式5-2】已知對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則．∵時，，，∴，故在上單調(diào)遞增．∵對恒成立，∴當(dāng)時，，則有，當(dāng)時，可等價變形為．∵在上單調(diào)遞增，且，（），∴由可得，即對恒成立．設(shè)，則．當(dāng)時，，，，故．∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，．∵對恒成立，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．【變式5-3】已知對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可知，，，則，即，設(shè)，，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，，則，則，則，恒成立，設(shè)，，令，得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，，則．故選：B題型六：利用同構(gòu)法解決零點(diǎn)問題【例6】已知函數(shù)和，證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【解析】證明：由題，，所以時，時，時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時，考慮和的解的個數(shù)，設(shè)，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，而，設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)，所以，故，故有兩個不同的零點(diǎn)，即的解的個數(shù)為2，設(shè)，則，所以時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，而，所以有兩個不同的零點(diǎn)，故的解的個數(shù)為2；同理可得，當(dāng)時，由可知、均僅有一個解；當(dāng)時，由可知、均無解．故若存在直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，則．設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以，所以在上單調(diào)遞增，而，故在上有且僅有一個零點(diǎn)，且，當(dāng)時，即，即，當(dāng)時，即，即，因此存在直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，且，此時有兩個不同的根，有兩個不同的根，故，，，，所以即，即，故為方程的解，同理為方程的解，又可化為，所以即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故，即，故成等差數(shù)列．【變式6-1】已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若，證明：方程有唯一解，且直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左至右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列．【解析】（1）由題意，在中，若，，定義域?yàn)?，，令，解得，?dāng)變化時，和的變化情況如下表:1-不存在-0+單調(diào)遞減不存在單調(diào)遞減e單調(diào)遞增所以，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）由題意及（1）得，方法一：在中，定義域?yàn)?，?dāng)時，解得：．-不存在-0+單調(diào)遞減不存在單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在處取得極小值，為（i）當(dāng)時，由（1）知，當(dāng)時，，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時，，不存在零點(diǎn)．（ii）當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立，不存在零點(diǎn)；當(dāng)）時，單調(diào)遞減，至多存在一個零點(diǎn)．當(dāng)時，；當(dāng)時，又，所以在上存在一個零點(diǎn)；當(dāng)時，又，所以在上存在一個零點(diǎn)；（當(dāng)時，，當(dāng)時，）所以，在上存在一個零點(diǎn)．（iii）當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立，不存在零點(diǎn)．當(dāng)時，若只有一個零點(diǎn)，則極小值令，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得：綜上，的取值范圍為或方法二：只有一個零點(diǎn)等價于在只有一個零點(diǎn)，又，則在上只有一個零點(diǎn)，，（i）當(dāng)時，恒成立，不存在零點(diǎn)．（ii）若，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，令，所以在上存在一個零點(diǎn)；（iii）若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值．若只有一個零點(diǎn)，則，又，則．又在單調(diào)遞減，解得綜上，的取值范圍為或（3）由題意及（1）（2）得，在中，，，令，解得：．∴在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增．所以．由（1）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，則直線與、最多有4個交點(diǎn)．令，當(dāng)時，，所以恒成立．當(dāng)時，令，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增，，∴在上單調(diào)遞增，，∴，即，在中，，∴，即，∴，∴，∴，即，所以恒成立．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．當(dāng)x→1時，，，則在有唯一的零點(diǎn)，即存在，使得，直線與、恰有三個交點(diǎn)，分別記為，，，不妨設(shè)，由得，即，要證，即證，而，即．由得，即，又，，，而在單調(diào)，∴，又由得，即，又，，而在單調(diào)，所以．由，得，得證．【變式6-2】（2025·高三·上海青浦·期中）已知函數(shù)和，．(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)和有相同的最小值，①求的值；②證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【解析】（1）由，得，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）①的定義域?yàn)?，而，若，則，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，無最小值，不符合題意，故．令，得，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以．的定義域?yàn)?，而．?dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以．因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為．綜上所述，．②證明：由①知，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．設(shè)，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時，恒成立，即在時恒成立，所以時，，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在上存在唯一交點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為，此時可作出函數(shù)和的大致圖象，由圖象知當(dāng)直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)時，直線必經(jīng)過點(diǎn)，即，因?yàn)?，所以，即，令得，解得或，由，得，令得，解得或，由，得，所以?dāng)直線與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)時，從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，因?yàn)?，所以，所以，，成等差?shù)列．所以存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．題型七：求函數(shù)的最值問題【例7】（2025·高三·甘肅蘭州·期中）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則，于是，，所以，構(gòu)造函數(shù)，且，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，于是，又，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即（舍去）時取到最小值，所以，故答案為：．【變式7-1】已知函數(shù)，，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，所以，令，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故選：A【變式7-2】已知函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即，構(gòu)造函數(shù)當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，此時，令，令，解得，所以當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，所以的最小值為，綜上的最小值為．故選：B．【變式7-3】（多選題）（2025·高三·黑龍江佳木斯·期中）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，的最小值為 D．當(dāng)時，的最大值為【答案】ACD【解析】由已知，當(dāng)時，即，，，，所以有，A正確；取，則，此時令，則有，，B項(xiàng)錯誤；∵，

∴當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；所以，的圖象如圖所示．又，即．當(dāng)時，如圖易知，與只有一個交點(diǎn)，由可得，此時，，．則．令，則．當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減．所以，在處有最小值，C項(xiàng)正確；當(dāng)時，．令，．當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增．所以，在處有最大值，D項(xiàng)正確．故選：ACD．題型八：不等式問題【例8】（2025·福建三明·模擬預(yù)測）已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，B均為大于1的實(shí)數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，即，設(shè)，可得，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)時，，可得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即．故選：B．【變式8-1】設(shè)a，B都為正數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，即．設(shè)，則，．，，．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以．故選：B．【變式8-2】若，則

(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，B作出圖象如圖所示，可見時，既有單調(diào)減函數(shù)區(qū)間，單調(diào)增函數(shù)區(qū)間，故都不正確；對于C，設(shè)，作如圖所示，因，此時，在上為減函數(shù)，故有，得，故C正確，D不正確，故選C．【變式8-3】若(a，B為變量)成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】方法一：對于A、B，由，可得，令，則，因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以，故A正確，B錯誤；對于C，取，符合，但，故C錯誤；對于D，取，符合，但，故D錯誤．方法二：對于A、B由，可得，令，則，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，即，對于C，取，符合，但，故C錯誤；對于D，取，符合，但，故D錯誤．故選：A．【變式8-4】已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時，．【解析】（1）法1：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時，在區(qū)間成立，故，即在單增；當(dāng)時，，在區(qū)間成立，故，∴在單增；當(dāng)時，，設(shè)兩根為，則，當(dāng)或時，，，當(dāng)時，，，故在單減，在和單增．綜上：當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在單減，在和單增．法2：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，解得，，解得或．∴在單減，在和單增．（2）當(dāng)時，在單增，故在單增，所以．所以在上恒成立；（3）法1：由（2）知，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，．要證，只需證，只需證．令，，，，∴在單增，即．法2：要證，只需證，只需證．設(shè)，只需證．則令，則，，，∴在單減．故只需證即可．，，．所以原不等式成立．題型九：朗博同構(gòu)放縮【例9】已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法1：要使在上恒成立，只需即可．，又，易知：在上遞增．因?yàn)楫?dāng)趨向于0時，趨向負(fù)無窮，當(dāng)趨向正無窮時，趨向正無窮，所以，在上存在唯一的零點(diǎn)，滿足，所以，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是．由得：，必有，，兩邊同時取自然對數(shù)，則有，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，即，故，于是實(shí)數(shù)m的取值范圍是．解法2：要使在上恒成立，等價于在上恒成立．令，則只需即可．，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以有唯一的零點(diǎn)，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r取自然對數(shù)，則有，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，即，即．即．于是實(shí)數(shù)m的取值范圍是解法3：（切線放縮，避開零點(diǎn)）要使在上恒成立，等價于在上恒成立．先證明，令，則，于是，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，當(dāng)時，有，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，于是實(shí)數(shù)m的取值范圍是．解法4：（切線放縮，避開零點(diǎn)）先證明，令，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以．∵∴，當(dāng)時，等號成立；而在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使得成立．【變式9-1】（2025·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，則，令，，∵，∴p(x)在(0，+)上單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；∴，∴≥恒成立，則．故選：A【變式9-2】（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）求導(dǎo)得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值．（2）方法一：由題知不等式在上恒成立，則原問題等價于不等式在上恒成立，記，則，記，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，①當(dāng)時，因?yàn)椋圆坏仁胶愠闪?，所以；②?dāng)時，因?yàn)榇嬖?，使得，而，此時不滿足，所以無解．綜上所述，．方法二：由題知不等式在上恒成立，原問題等價于不等式在上恒成立，即在上恒成立．記，則，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)榧矗佼?dāng)時，因?yàn)椋圆坏仁胶愠闪?，所以；②?dāng)時，令，顯然單調(diào)遞增，且，故存在，使得，即，而，此時不滿足，所以無解．綜上所述，．【變式9-3】（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)若過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有一條，求實(shí)數(shù)t的值；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)，由，求導(dǎo)得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得，化簡可得，，依題意方程僅只一個實(shí)根，于是，解得或，所以當(dāng)或時，過點(diǎn)P作曲線的切線有且僅有一條．（2）設(shè)，，則恒成立，于是在上單調(diào)遞增，則，即，因此當(dāng)時，恒有成立，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，，使得，于是在上恒成立，所以當(dāng)時，，即成立；當(dāng)時，存在滿足，即，此時，，不合題意，綜上，a的取值范圍是．題型十：公切線方程中的隱形同構(gòu)【例10】（2025·高三·福建漳州·開學(xué)考試）已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則k的最大值是（

）A． B． C．2e D．4e【答案】B【解析】因?yàn)槭呛偷墓芯€，設(shè)切點(diǎn)分別為和，則，由，可得，則又由，可得，且，則，所以，可得，即，顯然同號，不妨設(shè)，設(shè)，（其中），可得，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，要使得有解，則需要，即即，解得，所以，即的最大值為．故選：B．【變式10-1】（2025·遼寧沈陽·二模）若直線與直線是曲線的兩條切線，也是曲線的兩條切線，則的值為（

）A． B．0 C．-1 D．【答案】C【解析】由和互為反函數(shù)可知，兩條公切線和也互為反函數(shù)，即滿足，，即，，設(shè)直線與和分別切于點(diǎn)和，可得切線方程為和，整理得：和，則，，由，得，且，則，所以，所以,故選：C【變式10-2】已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為且，與曲線的切點(diǎn)為且，又，，則直線與曲線的切線方程為，即，直線與曲線的切線方程為，即，則，解得，故．故選：C．【變式10-3】（2025·福建龍巖·三模）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)曲線上的點(diǎn)，，；曲線上的點(diǎn)，，；，，，．故選：D．

1．（2025·甘肅金昌·三模）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)有，當(dāng)即時，不等式恒成立；當(dāng)即時，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即因?yàn)?，故即在上恒成立，而時，恒成立即恒成立，故在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故，故，故，故選：B．2．（2025·海南·模擬預(yù)測）已知當(dāng)時，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，所以不符合題意；當(dāng)由，即，令，，所以在上單調(diào)遞增，，即，在上恒成立，，令，，所以時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，即，,故選：B．3．（2025·河北秦皇島·一模）已知函數(shù)，若任意兩個不相等的正實(shí)數(shù)，，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)，則由，也就是說，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋深}意恒成立，即恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D．4．已知滿足，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，即，也即，由可得，即，構(gòu)造函數(shù)，由和都為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，解得．故選：B．5．（2025·高三·山西呂梁·期末）已知實(shí)數(shù)滿足，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知，所以，所以令，則，因?yàn)?，恒成立，所以，在上單調(diào)遞減，所以，，即因?yàn)?，所以，即故選：C6．（多選題）已知，，a>0．若y=f(x)，y=g(x)圖象有公共點(diǎn)P，且在該點(diǎn)處的切線重合，則B的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】設(shè)公共點(diǎn)，由求導(dǎo)得：，由求導(dǎo)得：，于是得，因，解得，由得：，因此，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，于是得，即B可以取或或．故選：ABC7．（多選題）已知函數(shù)，，，若，圖象有公共點(diǎn)P，且在該點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)B的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】設(shè)函數(shù)與圖象的公共點(diǎn)為，可得，即，又由與，可得與，又因?yàn)辄c(diǎn)處切線重合，可得，即，解得或，因?yàn)?，所以，將代入，可得，其中，設(shè)，可得，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)極小值，也是最小值，即為，即，所以，解得，結(jié)合選項(xiàng)，可得A、B符合題意．故選：AB．8．（多選題）（2025·廣東廣州·一模）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，．設(shè)，其中．則，故在上單調(diào)遞增．又，，則，使．即存在，，使．但此時，．故A錯誤．對于B選項(xiàng)，．設(shè)，其中．則．得在上單調(diào)遞增．注意到．則．又在上遞增，則有．故B正確．對于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，則由，有．故C正確．對于D選項(xiàng)，因，，則．設(shè)，其中．則．設(shè)，其中．則，得在上單調(diào)遞增．（1）若，注意到，，則，使．即，則，設(shè)，則，得在上單調(diào)遞減，則．（2）當(dāng)，，注意到．則，此時．（3）當(dāng)，注意到則，又由（1）分析可知在上單調(diào)遞增．則．綜上，有．故D正確．故選：BCD9．同構(gòu)式通俗的講是結(jié)構(gòu)相同的表達(dá)式，如：，，稱與為同構(gòu)式．已知實(shí)數(shù)滿足，，則．【答案】8【解析】，令，易知在R上單調(diào)遞增，又，所以．故答案為：10．（2025·江西贛州·一模）若a，，自然對數(shù)的底數(shù)為e，則的最小值為．【答案】2【解析】由，設(shè)，求導(dǎo)，，令，解得：，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故答案為：211．（2025·高三·安徽六安·期末）已知函數(shù)，，若，，則的最大值為．【答案】【解析】由得：；由得：，；，令，，，在上單調(diào)遞增，；令，則，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即的最大值為