PAGE培優(yōu)點(diǎn)15不等式證明方法目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點(diǎn)解讀 202思維升華 303典型例題 4題型一：直接法（轉(zhuǎn)化為最值問題） 4題型二：指對(duì)切線放縮 5題型三：指對(duì)增強(qiáng)放縮 6題型四：對(duì)稱化構(gòu)造法(和型) 7題型五：對(duì)稱化構(gòu)造法(積型) 8題型六：換元構(gòu)造輔助函數(shù) 9題型七：比值代換 10題型八：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友 12題型九：主元法 13題型十：與數(shù)列結(jié)合的不等式問題 14題型十一：凹凸反轉(zhuǎn) 16題型十二：拐點(diǎn)偏移問題 1704課時(shí)精練 19

在高考數(shù)學(xué)考綱里，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用板塊的關(guān)鍵內(nèi)容，著重考查學(xué)生的邏輯推理、運(yùn)算求解以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力?？季V要求學(xué)生掌握構(gòu)造合適函數(shù)的方法，能依據(jù)所證不等式的特征，巧妙構(gòu)建函數(shù)模型。熟練運(yùn)用求導(dǎo)公式與法則，準(zhǔn)確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，精準(zhǔn)判斷函數(shù)的單調(diào)性。進(jìn)而依據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)在特定區(qū)間上的最值，利用最值與不等式的關(guān)系完成證明。此考點(diǎn)常與函數(shù)、方程等知識(shí)綜合考查，難度較高。備考時(shí)，學(xué)生需深入理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，多做針對(duì)性練習(xí)，總結(jié)常見題型和解題策略，提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與靈活性，以應(yīng)對(duì)高考中的此類難題。

1、常用導(dǎo)數(shù)放縮①(切點(diǎn)橫坐標(biāo)是，)②③(切點(diǎn)橫坐標(biāo)是，)④⑤⑥2、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高中數(shù)學(xué)的重要方法，常見方法有以下幾種：（1）構(gòu)造函數(shù)法：將不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)。如證明，可設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷其單調(diào)性。若在某區(qū)間單調(diào)遞增，且能求出在該區(qū)間端點(diǎn)值或極限值大于0，則可證不等式成立。（2）放縮構(gòu)造函數(shù)法：當(dāng)直接構(gòu)造函數(shù)難以處理時(shí)，對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)放縮，再構(gòu)造函數(shù)。（3）多次求導(dǎo)法：對(duì)于一些復(fù)雜函數(shù)，一次求導(dǎo)難以判斷單調(diào)性，需多次求導(dǎo)。通過多次分析導(dǎo)數(shù)的變化情況，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而證明不等式。3、對(duì)(指)數(shù)平均不等式對(duì)數(shù)平均不等式：兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)平均，有如下關(guān)系：，即幾何平均數(shù)對(duì)數(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)．指數(shù)平均不等式：設(shè)，，則，有如下關(guān)系：．

題型一：直接法（轉(zhuǎn)化為最值問題）【例1】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)若曲線與相切．（ⅰ）求a；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．【變式1-1】（2025·河南南陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，恒成立；【變式1-2】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)令，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，設(shè)極值點(diǎn)為，證明：.【變式1-3】已知函數(shù)．(1)求的零點(diǎn)及；(2)求的極值；(3)求證：．題型二：指對(duì)切線放縮【例2】（2025·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù).(1)若函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【變式2-1】（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)若恒成立，求的最小值；(3)求證：.【變式2-2】設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.題型三：指對(duì)增強(qiáng)放縮【例3】（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為．(1)求實(shí)數(shù)的值(2)證明：．【變式3-1】（2025·湖南岳陽·三模）已知函數(shù)（）．(1)設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，①寫出曲線的兩條相互垂直的切線方程，并說明理由；②設(shè)，數(shù)列滿足，，證明：．【變式3-2】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值．(2)求證：．【變式3-3】當(dāng)時(shí)，求證：．題型四：對(duì)稱化構(gòu)造法(和型)【例4】已知函數(shù)，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若，（其中）滿足，求證：.【變式4-1】已知函數(shù)．(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍；(2)在（1）的條件下，求證：．【變式4-2】已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)在處取得極值，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：.【變式4-3】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，且，求證：．題型五：對(duì)稱化構(gòu)造法(積型)【例5】已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，試證明：【變式5-1】定義：若函數(shù)與在公共定義域內(nèi)存在，使得，則稱與為“契合函數(shù)”，為“契合點(diǎn)”．(1)若與為“契合函數(shù)”，且只有一個(gè)“契合點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)若與為“契合函數(shù)”，且有兩個(gè)不同的“契合點(diǎn)”．①求b的取值范圍；②證明：．【變式5-2】已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線．(1)求的值，并討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，其中，證明：．【變式5-3】（2025·高三·山東濰坊·期末）已知函數(shù)，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求的取值范圍；(3)若有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，證明：.題型六：換元構(gòu)造輔助函數(shù)【例6】已知函數(shù)在處的切線與直線平行（1）求實(shí)數(shù)的值，并求的極值；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，求證：.【變式6-1】已知函數(shù)，其中為常數(shù)且．（1）若曲線與直線相切，求的值；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，若，證明：．【變式6-2】已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，是兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：【變式6-3】已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：．【變式6-4】已知函數(shù).(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：.【變式6-5】已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．題型七：比值代換【例7】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.【變式7-1】已知函數(shù).(1)討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況；(2)若有兩個(gè)不同極值點(diǎn)、.當(dāng)時(shí)，證明：.【變式7-2】曲率是指曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，曲率越大，表示曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越大．記，定義曲線在點(diǎn)處的曲率為．(1)比較曲線在點(diǎn)和處彎曲程度的大小；(2)若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、，使得曲線在、處的曲率均為．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．【變式7-3】（2025·四川巴中·二模）已知函數(shù)，函數(shù)是定義在的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，滿足.(1)令函數(shù)，求證：在上是減函數(shù)；(2)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)取值范圍；(3)對(duì)任意正數(shù)，試比較與的大小.題型八：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友【例8】（2025·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)證明：.【變式8-1】已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知的導(dǎo)函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí)，.【變式8-2】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【變式8-3】（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）已知質(zhì)數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求m的值；(2)證明：對(duì)一切，都有．題型九：主元法【例9】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若是兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：.【變式9-1】（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若在上單調(diào)遞增，則稱為“強(qiáng)增函數(shù)”.(1)若是“強(qiáng)增函數(shù)”，求的取值范圍；(2)已知，請(qǐng)判斷的導(dǎo)數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由(3)已知，，，.證明：.參考結(jié)論：當(dāng)時(shí)，.【變式9-2】（2025·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）給定函數(shù)，若過點(diǎn)P恰能作曲線的k條切線，則稱P是的“k秩點(diǎn)”，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的“k秩數(shù)”．(1)若是函數(shù)的“k秩點(diǎn)”，求其“k秩數(shù)”；(2)證明：是函數(shù)的“0秩點(diǎn)”；(3)記使函數(shù)的“1秩數(shù)”小于0的“1秩點(diǎn)”構(gòu)成的集合為．證明：對(duì)，，且，有．【變式9-3】（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的切線斜率．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，若，求證：若，則．題型十：與數(shù)列結(jié)合的不等式問題【例10】（2025·遼寧鞍山·一模）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：；(3)證明：．【變式10-1】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（或級(jí)數(shù)）逼近論是函數(shù)（或級(jí)數(shù)）論的一個(gè)重要組成部分，涉及的基本問題是函數(shù)（或級(jí)數(shù)）的近似表示問題.將一函數(shù)用較簡(jiǎn)單的函數(shù)（或級(jí)數(shù)）來找到最佳逼近，且所產(chǎn)生的誤差可以有量化的表征——這種處理復(fù)雜函數(shù)（或級(jí)數(shù)）的方法，我們稱之為函數(shù)（或級(jí)數(shù)）逼近.用函數(shù)去逼近，在處的值稱為逼近估差.法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德用有理函數(shù)去逼近一些常見函數(shù)，有較高的精確度.比如對(duì)數(shù)函數(shù)兩個(gè)常見的逼近函數(shù)為：，(1)證明：時(shí)，；(2)對(duì)時(shí)，用分別去逼近和的逼近估差分別為，.證明：①；②，必有一數(shù)小于0.02.【變式10-2】（2025·浙江紹興·二模）已知數(shù)列滿足，且.為等差數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，有．(1)設(shè)．（i）求，并證明為等差數(shù)列．（ii）在的前5項(xiàng)中隨機(jī)取3項(xiàng)，設(shè)其小于的項(xiàng)數(shù)為X．求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(2)證明：【變式10-3】（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，，且.(1)求和；(2)證明：；(3)設(shè)，證明：.題型十一：凹凸反轉(zhuǎn)【例11】已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，.【變式11-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的最大值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【變式11-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)的最小值與的最小值之和為，求的值．(2)若，，證明：．題型十二：拐點(diǎn)偏移問題【例12】已知函數(shù)，，，令．(1)，研究函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；(3)，正實(shí)數(shù)，滿足，證明：．【變式12-1】已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；（3）若，正實(shí)數(shù)，滿足，證明：.【變式12-2】（2025·高三?河北?期中）已知函數(shù)（）.(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且正數(shù)滿足，證明.【變式12-3】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.（1）求的最小值；（2）若，實(shí)數(shù)、滿足且，證明：.

1．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：.2．（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性：(2)若對(duì)任意，函數(shù)均有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍：(3)設(shè)且，證明：．3．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若存在數(shù)列滿足，，.稱是“的關(guān)聯(lián)數(shù)列”，稱為數(shù)列的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”；(1)若數(shù)列的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，求最小正數(shù)A的值，使數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若某數(shù)列的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.證明：當(dāng)時(shí)，；(3)若數(shù)列的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，求證：4．（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）已知，．(1)判斷的單調(diào)性；(2)若函數(shù)圖象在處切線斜率為，求；(3)求證：．5．（2025·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：，．6．（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．(1)證明：；(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：當(dāng)時(shí)，．7．（2025·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，(1)設(shè)，求的極值；(2)證明：8．已知函數(shù)的圖象與軸相切于原點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，證明：當(dāng)時(shí)，．9．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，證明：當(dāng)時(shí)，.10．（2025·安徽合肥·三模）已知函數(shù)(1)證明不等式：；(2)記，證明：；(3)已知，證明：.11．（2025·山東聊城·三模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，（i）求的最小值；（ii）證明：．12．（2025·河北秦皇島·三模）已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且．(1)求；(2)若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，證明：．13．（2025·高三·上海楊浦·開學(xué)考試）若函數(shù)在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數(shù)”，其中稱為在上的中值點(diǎn).(1)判斷函數(shù)是否是上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)，存在，使得，且是上的“雙中值函數(shù)”，是在上的中值點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）證明：.14．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．15．已知函數(shù)